關于有限群超可解性的一種新判定方法

劉阿明，李保軍，黃 程

(成都信息工程學院應用數學學院，四川成都，610225)

0 引言

討論的群皆為有限群文中未交代的符號和定義都是標準的[1－2]。

群的超可解性的描述和判定是有限群研究的重要課題之一。不同于冪零群或可解群，2個正規子群之積不一定為超可解子群。因此2個超可解子群乘積的結構以及超可解子群的積仍為超可解群的條件成為廣受關注的研究內容。譬如，Baer[3]證明了，如果G為2個正規超可解子群之積，且G'(群G的換位子群)冪零，則G為超可解群;Friesen[4]證明2個指數互質的正規的超可解子群之積仍為超可解群;文獻[5－6]等討論了非正規超可解子群的積為超可解的一些條件。

近年來，群論專家們在對群的超可解性的研究中，引入許多新的研究工具和子群性質，其中被廣泛關注的內容是A Skiba[7]提出的子群弱s-置換性質。

定義1[7]:G是有限群，H≤G，稱H在G中是弱s-可置換的，如果存在H的1個次正規子群T使HT=G，并且H∩T≤HsG，其中HsG是由H的所有在G中s-可置換的子群生成的子群。

借助子群的弱s-置換性質，研究超可解子群的積的問題，并給出群的超可解性的一些判別方法證明以下定理:

定理1 設G=AB，其中A在G中是擬正規的且B為超可解的。若A的Sylow子群的所有極大子群都在G中是弱s-可置換的，則G為超可解群。

1 預備知識

為了方便引用，列出弱s-置換子群的一些基本性質和一些已知的結論。

引理1[7]設G是群，H≤K≤G，則下面結論成立:

(1)如果H在G中是s-可置換的，那么H在G中是弱s-可置換的;

(2)如果H?G，那么K/H在G/H中是弱s-可置換的當且僅當K在G中是s-可置換的;

(3)如果H在G中是弱s-可置換的，那么H在K中是弱s-可置換的;

(4)如果H?G，對于任何在G中是弱s-可置換的E滿足，那么HE/H在G/H中是弱s-可置換的。

引理2[1]設H是群G的次正規子群，則Soc()G≤NG()H，其中Soc()G為G的所有極小正規子群的積。

引理3[8]群G的p-超可解的，若Op'()G=1，則p為的極大素因子，且G/Op(G)為冪指數整除p－1的交換群。

群G稱為是一個Dπ-群，如果G滿足:(1)有Hall π-子群;所有Hall π-子群共軛;(2)所有π-子群均含于某一 Hall π -子群。對Dπ-群，得到:

引理4設G=AB，且A，B，G都為Dπ-群。則存在G的Hallπ-子群H使得H=(H∩A)(H∩B)。

證明 設Aπ，Bπ分別為A，B的 Hall π-子群，Gπ為G的 Hallπ-子群，由Dπ-群定義，可設Aπ?Gπ。Bπ?Gπx，x∈G。則x=ab，a∈A，b∈B。于是Bπb－1?Gπa。但Bπb－1仍為B的 Hall π -子群，因此Bπ?Gπa，令H=Gπa，則Bπ?H。又由Aπa?Gπa=H，以Aπ代替Aπa有Aπ?H。于是AπBπ?H.通過對階的比較，立即可得Aπ=H∩A，Bπ=H∩B且H=(H∩A)(H∩B)。

引理5[9]設V是域GF(p)上n(≥1)維向量空間，令G是V的線性變換組成的交換群，其冪指數能整除p－1，如果群G既約的作用在V上(即V沒有非平凡的G不變子空間)，則必有n=1且G是循環群。

2 定理1的證明

為了證明定理1，先證明下述2個引理。

引理6 設p為G的最小素因子，A是G的擬正規子群，B為p-冪零子群，且G=AB。若A的Sylowp-子群的所有極大子群在G中是弱s-可置換的，則G為p-冪零的。

證明:引理不成立，并設G為極小階反例。4個步驟完成證明。

(1)Op'()G=1

由引理1，容易驗證引理條件對G/Op'()G成立。假設Op'( )G≠1。則。由G的極小性可知，G/Op'()G是p-冪零的。于是G為p-冪零的，矛盾。

(2)A是p-群且G是p-可解群

由引理1(3)可知，A的Sylowp-子群的所有極大子群在A中也是弱s-可置換的。于是，由文獻[10]中推論2.6和引理3.2，可得A為p-冪零的。令K為A的正規的p-補，即K為A的 Hallp'-子群且K?A。則K≤Op'()G=1，因此A是p-群。由A在G中擬正規，得A≤Op(G)且因此有G=Op(G)B為p-可解群。

豎爐檢修完畢，開爐前需預先將爐內銅原料碼成圓柱狀料柱直至加料口；開爐生產后，燒嘴高溫火焰直接噴射至爐內銅原料，將料柱熔化成銅液；銅原料從加料口緩慢下降過程中，高溫煙氣在煙囪效應的作用下逆銅原料流向上升，與料柱充分換熱后由爐頂排出，熱量利用充分，節能降耗效果顯著；煙氣溫度由爐底的約1 200 ℃降至加料口的約400 ℃，加料口作為補新風口，最終排煙溫度降至約300 ℃[2]；通過持續預熱、熔化料柱，在爐底會形成一股連續的銅液流，銅液在重力作用下，匯入爐底斜坡從出銅口流出。銅液在爐內滯留時間短，難以提溫，向爐壁熱傳導也較少，熱損失少。

(3)G為p-閉的

設T=Opp'()G，由步驟(2)知，A?T，因此T=T∩AB=AT∩()B，由引理1易知T滿足定理條件。若T＜G，則由G的選擇知T是p-冪零的，但Op'()T?Op'()G=1，因此T為p-群;又因為G是p-可解群，必有Op( )G/T≠1，記R/T=Op( )G/T，則由T為p-群得R?Op()G?T，矛盾。因此，T=G，即G為p-閉的。

(4)最后矛盾

設Bp和Bp'分別為B的Sylowp-子群和Hallp'-子群，因為B是p-冪零的，所以Bp'?B。由步驟(3)知，G為p-閉的，因此B也是p-閉的，于是Bp?B，即B=Bp×Bp'。因為A在G中是擬正規的，所以ABp'≤G;若ABp'＜G，則由歸納可知ABp'是p-冪零的，即Bp'?ABp'，又因為A是擬正規子群，A是ABp'的次正規Sylowp-子群，所以A?ABp'，即ABp'=A×Bp'，因此A?CG(Bp')中，進而有ABp?CG(Bp')，這表明Bp'?G=AB，由步驟(1)得Bp'=1，從而G=ABp是p-群，矛盾。因此可設G=ABp'，則A是G的正規Sylowp-子群，同步驟(2)的證明可知G為p-冪零的，這是最后的矛盾，因此結論成立。

引理7 設G為p-閉的，A是G的擬正規子群，B為p-超可解子群且G=AB，若A的Sylowp-子群的所有極大子群在G中是弱s-可置換的，則G為p-超可解的。

證明:假設引理不成立并設G為極小階反例，即G是滿足條件的極小階非p-超可解群，通過以下步驟證明:

(1)Op'(G)=1

(2)AG=1

假設AG≠1，并設N是包含在AG中的G的極小正規子群，由引理1，容易驗證G/N也滿足定理條件。由G的選擇知G/N是p-超可解的。又由于所有p-超可解的群類為飽和群系，因此N≤/Φ()G。于是存在G的極大子群M，使對于A的Sylowp-子群Ap，Ap=Ap∩NM=N(Ap∩M)，即N在Ap中有補P1=Ap∩M，設Gp是G的Sylowp-子群，因為N?G，存在N的極大子群L，且L?Gp，令P=LP1，則P是Ap的極大子群，由已知條件可得，P在G中是弱s-可置換的，設T是G的次正規子群，則P∩T≤PsG，如果N≤/Op(G)，則NOp(G)/Op(G)?N是G-主因子，但G/Op(G)是p-群，其所有的G主因子是循環群，因此N是循環群，所以N≤Op(G)≤T，則L=N∩P≤T∩P≤TsG，所以L=N∩TsG在G是s-擬正規的，即得Op(G)≤NG(L)，所以L?Op()G·Gp=G，由N的極小性得L=1，所以，即得G為p-超可解的，矛盾。所以AG=1。

(3)設N是包含在Op()G中的G的極小正規子群，則G/N為p-超可解群

由G的極小性，只需驗證G/N也滿足定理條件。顯然G/N=(AN/N)(BN/N)且AN/N是GN/N的擬正規子群，BN/N為p-超可解子群。設S/N為AN/N的Sylowp-子群的任一極大子群，P為S的Sylowp-子群。則顯然P為A的Sylowp-子群的一個極大子群，從而在G中是弱s-可置換的。即存在次正規子群T使PT=G，并且P∩T≤PsG。由于|G:T|=|P:P∩T|為p-數，所以N?Op()G?T。于是G/N=(PN/N)(T/N)=(S/N)(T/N)，且S/N∩T/N=(PN∩T)/N=(P∩T)N/N≤PsGN/N≤(S/N)S(G/N).因此S/N在G/NG中是弱s-可置換的，即G/N滿足定理條件。

(4)A為p-子群

設N是包含在Op(G)中的G的極小正規子群，由步驟(1)知N?Op(G)中，顯然Z(Op(G))?G，又由N∩Z(Op(G))≠1知N?Z(Op(G))，即N∩A?Z(Op(G));另一方面，A是G的擬正規子群，因此Op(G)?NG(A)，并且有Op(G)?NG(A∩N)。因為G為p-閉的，表明G=Op(G)·Op(G)?NG(A∩N)，即A∩N?G，由N是G的極小正規子群，則A∩N=1或A∩N=N，但AG=1，所以A∩N=1，由引理2知AN=A×N，即A?CG(N)。

令Ap是A的Sylowp-子群，則ApB=Op(G)B≤G。令M=ApB則Ap在M中是擬正規的，且M也滿足定理的條件。若M＜G，則由G的選擇可知，M是p-超可解的，設R?N是M的極小正規子群，則R=p，又由N?CG(A)得R?G=AB=AM，N的極小性表明，N=R為p階群。又由步驟(3)知G/N為p-超可解的，所以G為p-超可解的，矛盾。這一矛盾表明，G=M=ApB，由此，不妨設A=Ap，即A為p-群。

(5)Op'(B)=1

假設Op'(B)≠1，則 (Op'(B))G=(Op'(B))BA=(Op'(B))A≤AOp'(B)，令L是含于 (Op'(B))G的G的極小正規子群，則L≤Op'(B)，由步驟(1)知L必為p-群，從而L?A，矛盾于步驟(2)AG=1，因此Op'(B)=1。

(6)G的Hallp'-子群為冪指數整除p－1的交換群

由步驟(5)Op'(B)=1，且B為p-超可解群，由引理3知B的Hallp'-子群Bp'?B/Op(B)為冪指數整除p－1的交換群，但A為p-群，因此Bp'為G的Hallp'-子群，是冪指數整除p－1的交換群。

(7)最后矛盾

因為G為p-閉的且G的Hallp'-子群是冪指數整除p－1的交換群，由引理5得G為p-超可解的，矛盾。這一最后矛盾表明，引理成立。

給出定理1的證明:

由引理6知，G為p-冪零的，其中p為G的最小素因子。令M為G的p-補，則M=(M∩A)·(M∩B)且滿足定理條件，重復此過程，可以得到G為Sylow塔群。設q是的極大素因子，則G為q-閉的，又由引理7可知G為q-超可解的。令Q是G的Sylowq-子群，則。設X是Q在G中的補，則由引理4可知，,從而用歸納法可知x是超可解的，又因為，且Q?Z∞()G，所以G為超可解群。

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