一類5階常微分方程特征值的估計

吳 平

(蘇州職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215004)

1 問題的提出[1]115-132,[2]72-77

設(shè)(a,b)?R是一個有界區(qū)間，考慮

的特征值估計問題，其中a

k1g(x)k2

(3)

其中k1，k2，為正實數(shù).

在本文中，我們運用[1]的方法，并且對其方法進行適當(dāng)改進，考慮問題(1)—(2)的特征值估計，獲得了用前n個特征值來估計第n+1個特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關(guān)，其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的用途.

根據(jù)方程理論知，問題(1)—(2)的特征值是離散的，且都是正實數(shù).

設(shè)問題(1)—(2)的特征值為

0<γ1γ2…γn…

與之相對應(yīng)的正交特征函數(shù)為

y1,y2,…,yn,… 即滿足

(4)

利用5次分部積分法,得

(5)

利用(3)和(5),得

(6)

設(shè)

其中

顯然，bij=bji，φi與yj正交(i,j=1,2,…,n)

于是,我們利用Rayleigh定理,得到下列不等式

γn+1

(7)

計算得

-T5(g(x)T5φi)

(8)

(9)

設(shè)

利用(9)，得

(10)

利用(7)、(10)，有

(11)

用γn替代(11)中的γi，成立著

(12)

2 主要定理[3]11-14,[4]1-5

引理1 設(shè)yi是問題(1)—(2)對應(yīng)特征值γi的特征函數(shù)，則

證明利用分部積分，Schwartz不等式，得

(13)

同理

化簡，得

(14)

利用分部積分，Schwartz不等式和(13)，(14)和(6)，得

化簡得引理1(Ⅰ).引理1(Ⅰ)代入(14)得引理1(Ⅱ).引理1(Ⅰ)(Ⅱ)代入(13)即得引理1(Ⅲ).

引理2 設(shè)γ1,γ2,…,γn為問題(1)—(2)的n個特征值，則

L

證明

(15)

利用分部積分法，得

利用(15)、(16)、(17)和(18)，得

(19)

利用(19)，有

利用(3)，引理1(Ⅰ)和(6)，得

(21)

利用(3)，Schwartz不等式，引理1(Ⅰ)和(6)，得

(22)

利用(20)、(21)和(22)，得

L

即得引理3.

引理3 對于φi和γi(i=1,2,…,n)，則

證明利用φi的定義，有

(23)

利用分部積分，有

即

得

(24)

利用(23)、(24)，得

利用Schwartz不等式、(4)和引理1(Ⅲ)，有

化簡即得引理3.

定理1 如果λi(i=1,2,…,n+1)是問題(1)—(2)的特征值，則

(Ⅰ)γn+1

(Ⅱ)γn+1

證明由引理3，得

再利用(12)和引理2，得定理1(Ⅰ).在定理1(Ⅰ)中右端用γn替代γi可得定理1(Ⅱ).

定理2 對于n≥1，則

證明選參數(shù)υ>γn，利用(11)，得

(25)

(26)

其中ε>0，是待定系數(shù).

利用(25)、(26)和引理1(Ⅱ)，化簡為

(γn+1-υ)E+FL

(27)

n

(28)

為了使(28)右端的值達到最小，取

(29)

將(29)代入(28)，得

(30)

利用引理2、(27)、(30)，得

(γn+1-υ)E

(31)

其中，選擇使(31)式右端等于零，即

(32)

設(shè)

易知，h(υ)是在(γn,+)內(nèi)單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)，其值域為(0,+)，因此，存在唯一的υ使(32)成立，從(31)知υ≥γn+1，用γn+1替代等式(32)中的υ，即得定理2.

3 結(jié)語

方程的特征值問題是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一個重要領(lǐng)域，它所涉及的問題和內(nèi)容復(fù)雜而廣泛，本文研究了一類常微分方程特征值的上界估計，并得到了用前n個特征值來估計第n+1個特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關(guān)，其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.

參考文獻：

[1] G.H.Hile and R.Z.Yeh. Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator[J].Pacific.J.Math.1984(112).

[2] 吳 平.某類微分系統(tǒng)特征值的帶權(quán)估計[J].荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2007(3).

[3] 吳 平.某類系統(tǒng)離散譜的上界估計[J].寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2008(2).

[4] 吳 平.某類微分系統(tǒng)的譜估計[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2013(2).