概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的數(shù)學建模案例

孫建英

（青島理工大學琴島學院基礎(chǔ)部，山東青島 266106）

0 引 言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》與《高等數(shù)學》、《線性代數(shù)》并稱為理工類高等本科院校的三大基礎(chǔ)學科，它的重要性已不言而喻。尤其是隨著計算機的迅猛普及，概率統(tǒng)計在經(jīng)濟、管理、金融、保險、醫(yī)學、生物等方面的應(yīng)用更是得到了長足的發(fā)展，但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有很多抽象的概念、定理，學生理解起來都比較困難，更別提應(yīng)用自如了，而且現(xiàn)在很多院校使用的教材從知識的講解角度來講，雖無可挑剔，堪為經(jīng)典，但是案例過于陳舊，數(shù)量不足，這就要求高校教師要不斷地自我學習，更新案例，使學生深刻體會到概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科強大的生命力和發(fā)展動力［1－6］。文中將數(shù)學建模的案例和思想引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂中，教學中從問題到理論，再從理論到應(yīng)用，讓學生體會到“學以致用”的真正含義，從而激發(fā)學生的學習興趣和探索精神。

1 數(shù)學建模案例在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用

1.1 案例1：概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的引入

“興趣是最好的老師”，緊緊抓住學生的好奇心，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程第一堂課要做的事情。概率論最早起源于歷史上兩位偉大的數(shù)學家帕斯卡和費馬關(guān)于賭資分配問題的一次偉大的通信。我們把它變成這樣一個簡單的數(shù)學模型。甲、乙兩個人去射擊，各自押了50元錢，看誰能射中靶心，規(guī)則是先正中靶心三局的贏得全部賭資。結(jié)果三局后，賭局被迫中斷了，此時，乙一勝兩負，問如何分配這100元賭資。這個問題可以留給學生們課下討論，學完等可能事件的概率后，就會發(fā)現(xiàn)進行五局比賽后，一定能分出勝負，已經(jīng)進行了三局，剩下的兩局共有四種情況，甲贏的情況有三種，所以甲乙按照3∶1來分賭資，甲分得75元，乙分得25元。

1.2 案例2：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用

概率中的很多問題與人們的生活是息息相關(guān)的。像常說的“三個臭皮匠頂個諸葛亮”，可以用獨立事件的概率來分析，“狼來了”的故事就可以用全概率和貝葉斯公式來分析。把“狼來了”這個故事抽象成這樣一個數(shù)學模型，假設(shè)小孩第一次喊狼來了時是半真半假的，他說假話時，狼真的來的概率為0.25，他說真話時，狼真來的概率為0.8，當他說了兩次假話后，村民還會相信狼真的來了嗎？

解：設(shè)Ai表示“小孩第i次喊話時，狼沒來”，Bi表示“小孩第i次說謊”，i＝1，2，則

村民第一次受騙的概率為：

村民第一次受騙后，小孩說謊的概率就上升為：

村民第二次受騙的概率為：

同時小孩說謊的概率就上升為：

大家說，村民們受了兩次騙后，第三次還會去幫助這個愛說謊的孩子嗎？

1.3 案例3：棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用

保險問題近幾年一直是個熱點話題，保險公司確定的遠遠高于保險費的賠償金會不會導致保險公司賠本？保險公司如何來確定每個人交付的保險費？我們把這些問題抽象成這樣一個數(shù)學模型。某保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù)，被保險人每年交付保險費160元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，保險公司支付2萬元賠償金，已知一個人一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，如今有5 000人參加保險，問保險公司盈利的概率為多少？

解：設(shè)X為一年中發(fā)生重大人身事故的人數(shù)，則X～B（n，p），n＝5 000，p＝0.005，np＝25，由棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理得，保險公司盈利的概率為

這是一個很經(jīng)典的案例，我們可以把它擴充的更豐富一些，就能用一個簡單的案例卻讓學生多角度、深層次地把握這個知識。思考如下：

問題（1）：保險公司一年內(nèi)從該項業(yè)務(wù)得到的收益在10萬元到20萬元之間的概率為多少？

問題（2）：從保險公司的角度，如果每個人要交的保險金為b元，要保證公司這個業(yè)務(wù)盈利的可能性大于99%，那么這個b該如何確定？

問題（3）：要保證公司這個業(yè)務(wù)盈利超過10萬元，則如何確定每個人要交的保險金b元？

2 結(jié) 語

數(shù)學建模進入大學課堂的20多年，可以說已從星星之火迅速發(fā)展成為燎原之勢，除了數(shù)學建模大賽的推動外，數(shù)學建模這門課程本身的這種提出問題、分析問題、模型建立、模型求解、模型檢驗、修正模型等解決問題的思想越來越被廣大的教育工作者所接受，并廣泛應(yīng)用到各自的專業(yè)領(lǐng)域里，取得了良好的效果［7－8］。但是在運用過程中，教師們也要把握住幾點：

1）如何把這些案例恰如其分地引入到課堂上，既能幫助學生們理解和應(yīng)用所學到的知識，又不喧賓奪主地占用過多的課堂時間，不能把概率論和數(shù)理統(tǒng)計課堂變成數(shù)學建模課；

2）除了課堂上，課外也可以布置一些開放性的數(shù)學建模案例，通過學生們自己動手查資料，討論，激發(fā)他們自主學習的興趣，還能進一步鞏固課堂知識；

3）對教師們也提出了更高的要求，教師們自己也要廣泛地涉獵其它專業(yè)領(lǐng)域，尋找合適的案例更新自己的案例庫，提高教學水平和科研能力。

［1］ 王新春，肖繼光，劉曉紅.案例在概率論教學中的應(yīng)用［J］.河北理工大學學報：社會科學版，2010，10（2）：105-107.

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［4］ 陳海杰，沙榮方，劉明華.應(yīng)用案例分析提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學效果［J］.東北農(nóng)業(yè)大學學報：社會科學版，2012，10（01）：98-100.

［5］ 王昕，程希明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例教學探析［J］.沈陽師范大學學報：自然科學版，2013，31（3）：372-375.

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［7］ 唐小峰，姚云飛.數(shù)學建模案例融入高等數(shù)學教學的研究［J］.阜陽師范學院學報：自然科學版，2013，30（2）：87-89.

［8］ 施三支.大學數(shù)學課程的教學改革與數(shù)學建模［J］.長春理工大學學報：社會科學版，2013（5）：192-193.