常見巖石力學破壞準則的研究分析

王成武

(淮陰工學院 建筑工程學院，江蘇 淮安 223001)

作為近代以來發展的一門新型基礎學科，巖石力學具有很強的應用性和實踐性。其應用范圍涉及與巖石工程相關的如采礦、土木建筑、水利水電、地質、石油等眾多行業領域。在各種復雜應力狀態下，巖石材料的屈服和破壞規律理論，稱之為巖石的強度理論。[1]自該學科產生以來，對巖石強度準則或破壞判據的研究一直是巖石力學研究的熱點問題之一。

在巖石力學發展的100多年中，很多科學家提出了許多有價值的強度準則。但是到目前為止，一種“放之四海而皆準的”帶有普遍適用性的強度準則還沒有被提出，不同的強度準則都有各自的優缺點、應用范圍和適用條件。[2]所以，在工程實踐中，應該針對不同的巖石問題，分析不同強度準則的適用性和精確度，這樣才能保證研究的客觀性和科學性。

1 幾種常見的強度理論的表述及分析

1.1 Mohr一Coulomb強度理論。

1.1.1基本表述。

1773年，法國科學家庫倫提出的一種“內摩擦”準則認為，剪切破壞是巖石的主要破壞形式，巖石的強度由兩部分構成，一是巖石自身抵抗剪切的黏結力c；二是剪切破壞面上由法向應力引起的摩擦阻力σtanφ。1900年，莫爾(Mohr)將該理論從雙向應力狀態推廣到三向應力狀態。平面中的剪切強度準則為：

τf=c+σtanφ

(1)

1.1.2特點討論。

1.1.2.1莫爾-庫倫理論表述了剪切面上τ與該面上正應力的關系，對作為散體材料的土，是比較合理的。但是巖石的破壞往往不是剪切破壞，故莫爾庫倫準則更適用于土質材料而不是巖石材料。

1.1.2.2莫爾-庫倫準則假設中主應力σ2對強度沒有影響，且它的強度包線常常假設為直線，在低圍壓時，不會引起較大的誤差，但是當應力水平很大時，可能會引起比較大的誤差。

圖1 莫爾—庫倫強度準則的屈服面

1.1.2.3當用莫爾庫倫準則作為塑形模型的屈服準則時，其屈服面及在平面上軌跡有導數不連續的角點(如圖1所示)，這在數值計算中不夠方便。

1.2 Tresca準則。

1.2.1基本表述。

Tresca強度準則實際上是古典強度理論中的最大剪應力理論。它是Tresca于1864年針對金屬材料所提出的一個屈服準則?？捎孟率奖硎荆?/p>

σ1-σ3=2kt

(2)

其中，σ1、σ3分別是最大和最小主應力，kt為材料常數。

在土力學中，這一準則只有對飽和粘土的不排水強度指標的計算才適用，它在π平面的斷面是一個正六邊形，如圖2所示。

對于巖土材料，人們將這個強度準則推廣成廣義的Tresca準則，可表示為：

(σ1-σ3)=2kt+αtIt

(3)

其中，αtIt反應平均主應力的影響。該公式定義的破壞面在主應力空間是一個正六棱錐體。

圖2 Tresca強度準則在平面的軌跡

1.2.2 特點討論。

1.2.2.1 該準則表達形式比較簡單，在已知單元體主應力的情況下，判別便捷。

1.2.2.2 Tresca準則只有對內摩擦角φ=00時的巖土材料才適用，應用范圍比較窄；而且該準則沒有反應平均主應力的影響，與實際巖土類材料屈服破壞的情況不符。

1.2.2.3 不管是Tresca準則還是廣義Tresca準則，其在π平面上的投影都是正六邊形，角點處導數不連續，在應用于數值計算時會帶來不便。[4]

1.3 Mises準則。

1.3.1 基本表述。

Mises實際上是古典強度理論中從能量角度出發研究材料強度條件的形變能理論，實質上也是一種以八面體剪應力判斷破壞的理論。它可以用下式表示：

(4)

其中，km是材料常數。Mises準則在主應力空間是一個圓柱面，在π平面上的軌跡是一個圓周。如圖3所示。

圖3 Mises準則的屈服面

1.3.2 特點討論。

1.3.2.1 Mises準則在π平面上的投影是一個圓周，導數是處處連續的，因此在數值計算中選用Mises準則作為屈服準則是有利的。

1.3.2.2 Mises準則沒有反應平均主應力對強度的影響，所以，和前面提到的Tresca準則一樣，只可以在飽和粘土的不排水強度近似計算中使用。

1.4 Drucker-Prager準則。

1.4.1 基本表述。

為了克服Mises準則沒有反映平均主應力對強度的影響的缺陷，Drucker和Prager提出了反映平均主應力對強度的影響的廣義Mises準則，即Drucker-Prager準則，具體的表達式為：

(5)

其中，αm是材料常數。Drucker-Prager準則在主應力空間是一個正圓錐體的面，在π平面上的軌跡仍是一個圓周。如圖4所示。

圖4 Drucker-Prager準則的屈服面

1.4.2 特點討論。

1.4.2.1 Drucker-Prager準則在π平面上的軌跡是一個圓，因此在數值計算中得到廣泛運用。但如果該準則的參數選取不當,可能導致預測與試驗結果之間有較大差異。因為該準則中的兩個材料常數不是直接由試驗確定的，而是通過別的參數進行轉化計算得到的。

1.4.2.2 Drucker-Prager準則考慮了平均主應力對強度的影響，更適用于巖土類材料，應用范圍更廣。

1.4.2.3 Drucker-Prager準則在應力空間的子午面上，抗剪強度和平均應力之間也是線性關系，因此不能反映高應力水平下強度的非線性。

1.5 雙剪應力強度理論。

1.5.1 基本表述。

F=τ13+bτ12+β(σ13+bσ12)-c=0

(當τ12+βσ12≥τ23+βσ23時)

(6)

F=τ13+bτ23+β(σ13+bσ23)-c=0

(當τ12+βσ12≤τ23+βσ23時)

(7)

其中，b、c、β為三個材料常數，該強度理論在主應力空間中的極限面是一個不等邊開口的棱錐體表面。

1.5.2 特點討論。

1.5.2.1 不僅充分考慮了兩個較大主應力或中主應力的影響，還考慮了凈水壓力對屈服或破壞的影響，對巖土類材料較為適用。

1.5.2.2 在參數符合一定條件時，廣義雙剪應力公式可以與一些經典的強度理論一致。如b=β=0，式(6)(7)則變成了Tresca強度準則表達式，即變成最大剪應力強度理論；如b=0，b=-sinφ'，c=c'cosφ'，則變成了莫爾—庫倫強度理論的表達式，調整參數b和β可以變成各種形式，故這種理論的應用范圍較廣。

1.5.2.3 雙剪應力強度理論的屈服曲面具有棱角，導數不連續，不便于塑形應變增量方向的確定和數值分析。

1.6 脆性斷裂理論(格里菲斯強度理論)。[6]

1.6.1 基本表述。

Griffith研究發現，即使是陶瓷、玻璃這些宏觀上看起來比較完整致密的脆性材料，在其內部微觀上也會有許多細小的裂隙存在。材料受力時在細小裂隙的尖端往往存在拉應力集中的現象，當拉應力增長超過材料局部抗拉強度的時候，就會引起這些脆性材料的斷裂。[6]1921年，Griffith通過對長度為2c的橢圓形裂隙的擴展研究，在一定假設條件的基礎上推導出在雙向壓縮條件下脆性材料的裂紋擴展準則，也就是Griffith強度準則。

圖5 Griffith準則裂縫擴展破壞機理簡圖

Griffith方程為：

(8)

1.6.2 特點討論。

1.6.2.1 玻璃、巖石等脆性材料的單軸抗壓強度一般為抗拉強度的8-10倍，這與格里菲斯方程的結論較為吻合，這同時也反映了脆性材料拉壓不等的基本力學特性。

1.6.2.2 Griffith準則是基于對脆性材料的研究而提出來的，因而只適用于研究脆性巖石的破壞。而對其他類型的巖石材料，莫爾-庫倫強度準則的適用性要強于Griffith準則。

1.6.2.3 該準則主要描述的是巖石的張性裂縫擴展控制性破壞。但是對裂隙被壓閉合，抗剪強度增高解釋不夠；該準則可以作為裂隙擴展的條件，描述材料的宏觀破壞不足，其實用性意義不高。

1.7 Hoek-Brown強度準則。

1.7.1基本表述。

20世紀60年代以來，世界各國提出了適用于巖石的經驗強度公式。如：完整巖塊的Bieniawski經驗強度準則、Hoek-Brown經驗強度準則、Balmer經驗強度準則；節理化巖體的Yudhbir經驗強度準則、廣義Hoek-Brown經驗強度準則、Balmer經驗強度準則的改進；各向異性巖體的結構面的抗剪強度準則、結構面的強度準則等。

這其中，Hoek-Brown經驗強度準則及其后來的改進準則則被工程界所普遍接受，該準則除了能夠適用于完整均質巖石材料外，還適用于節理化巖體和非均值巖體等，在巖石工程中得到廣泛采用。[7]其表達式為：

(9)

其中，σ1、σ3為巖體破壞時最大、最小主應力；σc是巖石的單軸抗壓強度；m、s為經驗參數。

1.7.2 特點討論。

1.7.2.1 Hoek-Brown準則是應用最廣的強度準則之一，它可以模擬巖體破壞的非線性特點，而且也考慮了應力狀態、巖石強度、結構面等因素的影響。

1.7.2.2 該準則對巖體破壞面上正應力對強度的影響有很好的反映，同時也能對巖塊的破壞機理進行闡述。與摩爾-庫侖強度準則一樣，Hoek-Brown準則也沒有考慮中主應力σ2對強度的影響，因此該準則與真三軸實驗的結果有所出入。

1.7.2.3 該準則還彌補了莫爾-庫倫準則在巖體受拉區的不足,考慮了最小主應力σ3、低應力區、拉應力對強度的影響,因而更符合巖塊的破壞特點。[8]但是對具有顯著非線性的強度曲線，該準則則不能描述。

1.8 統一強度理論。

1.8.1 基本表述。

俞茂宏基于雙剪強度理論在1991年提出了一種將系列線性準則統一于一體的強度理論——統一強度理論的理論公式。[9]經過幾十年的不斷發展，統一強度理論的包容性更強、適用性更廣，目前已經在眾多領域得到推廣運用。該理論以扁平正交八面體為基本力學模型，同時采用2個數學建模方程。[10]雖然數學表達形式比較簡單，但是內涵卻十分豐富。是一種與以往各種單一強度理論或破壞準則完全不同的系列強度理論。[11]

(10)

(11)

1.8.2 特點討論。

1.8.1 統一強度理論不僅在各種線性準則之間建立了聯系，現有的各種線性破壞準則都可以視為是統一理論的特例；統一理論不能統一非線性準則，但是可以線性逼近它們。

1.8.2 統一強度理論的參數是線性的，和莫爾-庫倫準則的參數相同。統一理論闡述了有些準則所不能說明的中主應力效應問題，還能進一步充分發揮材料的強度潛能。[10]該理論也更符合巖土類材料的性質。[12]

1.8.3 統一理論還可以產生出在單剪理論之內，雙剪理論之外以及介于單剪理論和雙剪理論之間的一系列新的準則。[13]

2 關于強度理論的展望

巖石強度理論是研究巖石在復雜應力條件下發生屈服和破壞規律的理論。一百多年來，巖石力學強度理論獲得了長足的進步。到目前為止，提出的模型數以百計；研究強度的學者以及關于強度方面的文獻數以萬計；學習、應用強度理論的人則要以千萬計。對于已有的巖石強度理論的分類也是多種多樣，如：從理論提出的時間、含有參數的個數、線性與否、極限面與邊界、理論的功能等等。[14]隨著巖石應力應變關系數學模型研究的發展，人們認識到強度只不過是應力應變的一個特殊階段，因而強度理論被納入巖石的本構模型之中。[5]

如何針對實際巖石工程中不同的問題，去合理地選擇不同的巖石強度理論(屈服準則、破壞準則,或材料模型)顯然是至關重要的。現實中，選擇什么樣的強度理論也就決定了會得到什么樣的研究、設計、計算結果。所以正確的認識強度理論、正確的選擇強度理論變得比計算過程要更加重要。隨著巖石工程領域研究、應用、實驗驗證等方面的不斷發展，相信在未來的巖石力學研究和工程應用中,需要有、也會有更多的復雜應力狀態強度實驗結果以及更精確的強度理論出現。[12]

[1]李廣信.高等土力學[M].北京:清華大學出版社, 2004.

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[5]俞茂宏. 強度理論百年總結[J].力學進展,2004(34):529-561．

[6]呂霽,崔穎輝，等. 巖石力學強度理論的研究現狀分析[J].北方工業大學學報,2010(22):73-78．

[7]石祥超,孟英峰，等.幾種巖石強度準則的對比分析[J]. 巖土力學，2011(32):209-216．

[8]吳黎輝.巖體經驗強度準則研究 [D].西安:長安大學,2004．

[9]俞茂宏.線性和非線性的統一強度理論[J].巖石力學與工程學報，2007(4):662-669．

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