奇異超線性和次線性n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題的非平凡解

謝 靜

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 數(shù)理系, 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

在非線性常微分方程邊值問(wèn)題非平凡解存在性的研究中,很多作者在各種文獻(xiàn)中對(duì)非線性函數(shù)賦予了各種條件,利用不同的理論獲得了其非平凡解的存在性[1-11].在文獻(xiàn)[4]中研究了n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題：

(H1)a:(0,1)→[0,+∞)連續(xù)且a(t)≠

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)連續(xù);

1 準(zhǔn)備知識(shí)

K(t,s)=k1(t,s)+k2(t,s),

(3)

k1(t,s)=

引理2[4]令D<1,格林函數(shù)K(t,s)定義如式(3),則其滿足:

(i)K(t,s)≥0連續(xù),?t,s∈[0,1];

(ii)K(t,s)≤K(s),?t,s∈[0,1],并且存在常數(shù)γ>0,使得

其中：當(dāng)s=0時(shí),K(s)=0；當(dāng)s≠0時(shí),

K(s)=k1(τ(s),s)+k2(1,s),

且K(s)≤A(1-s)n-1,其中

由引理2易知：

2) 當(dāng)t∈[η1,1]時(shí),γK(s)≤K(t,s)≤K(s),故0<γ≤1;

3) 當(dāng)s=0,1時(shí),K(s)=0;當(dāng)s∈(0,1)時(shí),K(s)>0.

P={u∈C[0,1],u(t)≥0,t∈[0,1]},

顯然P是C[0,1]中的一個(gè)錐.令Br={u∈C[0,1],‖u‖0)是C[0,1]中以為r半徑的開(kāi)球，作如下假設(shè):

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)連續(xù);

設(shè)(Tu)(t)=

(4)

(Au)(t)=

(5)

其中,K(t,s)定義如式(3).

引理3 假設(shè)(H1)、(H2)滿足,則

A:C[0,1]→C[0,1]是全連續(xù)算子.

證明略.

很明顯,如果算子A存在不動(dòng)點(diǎn)u,則u是n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)的解.

引理4 假設(shè)(H1)、(H2)都滿足,則對(duì)于算子T(由式(4)定義)滿足:

(i)T:C[0,1]→C[0,1]是全連續(xù)算子且T(P)?P;

(ii) 譜半徑r(t)≠0且T存在一個(gè)相應(yīng)于第一特征值λ1=(r(T))-1的正的特征函數(shù).

證明方法類似于參考文獻(xiàn)[2].

(i) 如果‖Au‖≥‖u‖,?u∈?Ω,則deg(I-A,Ω,θ)=0.

(ii) 如果θ∈Ω,‖Au‖≤‖u‖,?u∈?Ω,則deg(I-A,Ω,θ)=1.

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)條件(H1)和(H2)滿足,如果存在常數(shù)b≥0,使得

f(u)≥-b,?u∈(-∞,+∞),

(6)

(7)

(8)

其中：λ1是算子T的第一特征值,則n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)至少有一個(gè)非平凡解.

證明 由(7)式可知,存在r1>0,使

f(u)≥λ1|u|, ?|u|≤r1.

(9)

0,t∈[0,1],

λ1(Tu)(t),t∈[0,1].

(10)

設(shè)A在?Br1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)(否則,證明已完成).令u*是T的相應(yīng)于λ1的正特征函數(shù),即u*=λ1Tu*,下面證明：

u-Au≠μu*, ?u∈?Br1∩P,μ≥0.

(11)

如果存在u1∈?Br1∩P和τ0≥0,使得u1-Au1=τ0u*,則τ0>0且u1=Au1+τ0u*≥τ0u*.令

τ*=sup{τ|u1≥τu*|},

(12)

很容易看出τ*≥τ0>0且u1≥τ*u*.又因?yàn)門(P)?P,則λ1Tu1≥τ*λ1Tu*=τ*u*.

由(10)式可得：u1=Au1+τ0u*≥λ1Tu1+τ0u*≥τ*u*+τ0u*=(τ*+τ0)u*.這與τ*的定義相矛盾,因此(11)式成立.

deg(I-A,Br1,θ)=

i(A,Br1∩P,P)=0.

(13)

f(u)≤σλ1u, ?u≥r2.

(14)

設(shè)T1u=σλ1Tu,t∈C[0,1],則T1:C[0,1]→C[0,1]是有界線性算子且T1(P)?P.令

(15)

顯然M<+∞.令

(16)

下面證明ω是有界的.

(T1u)(t)+M,

其中M由(15)式定義.因此((I-T1)u)(t)≤M,?t∈[0,1].

又因?yàn)門1(P)?P,則(r(T1))-1(P)?P,因此有u(t)≤(I-T1)-1M,t∈[0,1],并且ω是有界的.

i(θ,Br3∩P,P)=1.

(17)

這是個(gè)矛盾.由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃约?17)式有：

deg(I-A,Br3,θ)=

deg(I-H(0,·),Br3,θ)=

deg(I-H(1,·)，Br3,θ)=

(18)

由(13)和(18) 式有：

deg(I-A,Br3,θ)-

deg(I-A,Br1,θ)=1.

故n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)至少有一個(gè)非平凡解.

定理2 假設(shè)條件(H1)和(H2)滿足,如果存在常數(shù)b≥0,使得

f(u)≥-b,?u∈(-∞,+∞);

(19)

(20)

(21)

其中λ1是算子T的第一特征值,則n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)至少有一個(gè)非平凡解.

證明 由(21)式可知,存在ε>0,當(dāng)u足夠大時(shí),使得f(u)≥(λ1+ε)u.

由(19)式可知,存在b1>b≥0,使得

f(u)≥(λ1+ε)u-b1,?u∈(-∞,+∞).

(22)

令R1>

其中γ由引理2給出.

令u*是算子T相應(yīng)于第一特征值λ1的正特征函數(shù),則

u*=λ1Tu*.

(23)

從而T(P)?P1.由(23)式可知,u*∈P1.假設(shè)A在?BR1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)(否則,已證).

下面證明：

u-Au≠τu*,?u∈?BR1,τ≥0.

(24)

若存在u1∈?BR1,τ1>0,使得u1-Au1=τ1u*.

由(22)式可知：

τ1u*(t).

(25)

因?yàn)閎1>b>0,故f(u1(s))+b1>0.又因?yàn)門(P)?P1,u*∈P1,則

(26)

由(22)、(26)式及引理2得：

從而由(25)、(26)式可知：

(27)

(28)

由引理7可知：

deg(I-A,BR1,θ)=0.

(29)

由(20)式可知,存在0

定義T1u=λ1Tu,u∈[0,1],故|(Au)(t)|≤λ1(Tu)(t)=(T1u)(t),即

|Au|≤T1u

(30)

且T1:C[0,1]→C[0,1]是線性全連續(xù)算子,T1(P)?P,r(T1)=1.

下證Au≠τu,?u∈?BR2,τ≥1.

(31)

否則,若存在u2∈?BR2,τ2≥1,使得Au2=τ2u2,假設(shè)τ2>1(若τ2=1,得證).

由引理8可知：

deg(I-A,BR2,θ)=1.

(32)

由(27)和(32)式,有

deg(I-A,BR1,θ)-

deg(I-A,BR2,θ)=0-1=-1.

定理3 假設(shè)條件(H1)～(H3)都滿足,如果存在常數(shù)b≥0,使得

f(u)≥-b, ?u∈(-∞,+∞),

(33)

(34)

其中λ1是T的第一特征值,如果存在r0>0,使得f(u)<ηr0,-r0

(35)

則n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)至少有一個(gè)非平凡解.

證明：由(33)式可知,存在0

由(34)式可知,存在ε>0,R1>r0,當(dāng)u>R1時(shí),f(u)≥(λ1+ε)u.

假設(shè)A在?Br1和?BR1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)(否則已證).

由(13)式可知:

deg(I-A,Br1,θ)=0.

另外由定理2及(29)式可知:

deg(I-A,BR1,θ)=0.

?u∈?Br0,由(35)式和引理2可知：

則‖Au‖≤‖u‖.由引理9得deg(I-A,Br0,θ)=1,因此

deg(I-A,Br1,θ)=1;

deg(I-A,Br0,θ)=1.

3 結(jié) 論

受文獻(xiàn)[1-3]的啟發(fā)討論了奇異超線性和次線性n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題,即

在滿足(H1)(H2)(H3)的條件下,結(jié)合線性全連續(xù)算子的第一特征值條件,運(yùn)用錐上的拓?fù)涠壤碚?得出非平凡解存在的結(jié)果.其中

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)連續(xù);

這里允許a(t)在t=0和t=1奇異且f不必是非負(fù)的,這一工作可看作是文獻(xiàn)[4-5]相應(yīng)n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性結(jié)論的推廣.下一步的工作設(shè)想:假設(shè)條件(H1)～(H3)滿足,如果存在常數(shù)b≥0,使得

f(u)≥-b,?u∈(-∞,+∞),

其中λ1是算子T的第一特征值,用拓?fù)涠壤碚撗芯縩階m點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)-(2)至少有兩個(gè)非平凡解.

參考文獻(xiàn)：

[1] Cui Y J,Zou Y M.Nontrivial Solutions of Singular Superlinearm-point Boundary Value Problems[J].Applied Mathematics and Computation,2007,187(2):1256-1264.

[2] Sun J X,Zhang G W.Nontrivial Solutions of Singular Sublinear Sturm-Liouville Problem[J].J Math Anal Appl,2007,326(1):242-251.

[3] Zhang G W,Sun J X.Nontrivial Solutions of Singular Superlinear Sturm-Liouville Problem[J].J Math Anal Appl,2006,313(2):518-536.

[4] Pang C C,Dong W,Wei Z L.Green’s Function and Positive Solutions ofnth Orderm-point Boundary Value Problem[J].Applied Mathematics and Computation,2006,182(2):1231-1239.

[5] Yang J B,Wei Z L.Positive Solutions ofnth Orderm-point Boundary Value Problem[J].Applied Mathematics and Computation,2008,201:715-720.

[6] Xian X.Positive Solutions for Singular Semi-position Three-point Systems[J].Nonlinear Anal,2007,66(4):791-805.

[7] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].山東:科學(xué)技術(shù)出版社,2003:31-47.

[8] 謝靜.非線性奇異n階m點(diǎn)邊值問(wèn)題的非平凡解[D].沈陽(yáng):東北大學(xué)理學(xué)院,2009:7-26.

[9] 劉小會(huì).非線性半正(k,n-k)共軛邊值問(wèn)題的非平凡解[D].沈陽(yáng):東北大學(xué)理院,2008:3-20.

[10] 崔玉軍.非線性算子與微分方程邊值問(wèn)題的多解[D].山東:山東大學(xué),2006:10-15.

[11] 孔慧.奇異(k,n-k)邊值問(wèn)題的解和多重正解[D].沈陽(yáng):東北大學(xué)理學(xué)院,2008:13-20.