基于尖點突變理論的平行組拼雙肋拱側傾失穩臨界荷載計算新方法*

禹奇才，劉愛榮,肖才濤，傅繼陽

(廣州大學-淡江大學工程結構災害與控制聯合研究中心∥廣東高校結構安全與健康監測工程技術研究中心∥廣州市結構安全與健康監測重點實驗室, 廣東 廣州 510006)

拱在外力作用下一般會發生兩種失穩形式：面內失穩和面外失穩。對于大跨肋拱橋，面外失穩臨界荷載遠低于面內失穩，所以獲得其側傾失穩臨界荷載顯得非常重要。

失穩問題是拱結構的重要課題之一，目前計算結構穩定性的方法最常用的有三種[1-3]：①靜力法。靜力法是通過建立平衡微分方程，在滿足邊界條件的情況下求得臨界荷載，即求解彈性系統平衡路徑分支點所對應的荷載值。這種方法比較繁瑣，且平衡微分方程為超越方程，求解十分困難。②能量法。能量法避免了直接求解法的問題，通過建立彈性系統的位勢ΔEp，求解泛函的一級變分，使得ΔEp=0，即總勢能保持不變，說明初始平衡位置是中性平衡的，從而得到臨界荷載計算公式。已有學者們提出了一系列的能量法，如Timoshenko法、Rayleigh-Ritz法、Galerkin法和勢能駐值原理等。通過能量法可求解彈性系統的總勢能不再是正定時的荷載值。③動力法。動力法假定體系通過擾動使得結構在原平衡位置附近作微小自由振動，獲得振動方程，并求出其自振頻率的表達式，根據體系處于臨界狀態時頻率等于零這一條件確定臨界荷載。

除了以上三種常見的失穩計算方法，近年來，突變理論也逐漸在工程中得到應用。突變理論是研究自然界中不連續(跳躍性)變化現象的一種數學方法。應用突變理論可得出拱結構失穩的尖點突變模型和臨界條件[4]。

突變理論是法國數學家勒內湯姆[5]20世紀70年代提出的一種新的數學理論，并由Posto T[6]完善應用的研究不連續現象的一種新興的數學分支，是研究非線性問題的重要手段。近40年來突變理論已經在自然學科、社會學科、生物學科和經濟學等領域取得了廣泛的應用。目前，基于突變理論的拱結構屈曲研究代表性研究成果有：魏德敏、戴莉莉、沈茂山[4,7-8]應用突變理論研究單拱的面內靜力失穩和非線性動力穩定性；潘岳[9]利用折迭突變和尖點突變模型，研究了圓弧雙鉸拱面內對稱和反對稱失穩。雖然突變理論可作為研究拱結構失穩行為的一種方法，但大部分學者致力于彈性拱面內失穩的分析，對于拱結構的面外失穩的研究，目前尚未見諸報道。相對于面內失穩研究，面外失穩屬空間彎扭變形問題，更具復雜性，拱的面內失穩變形通過一個幾何方程即可描述，而面外失穩變形需要建立多個幾何變量方程來描述。另外面外失穩所涉及的變形能較多，建立能量方程比較困難。本文構建了平行組拼雙肋拱的側傾失穩能量表達式，首次通過數學轉換，建立了尖點突變模型，獲得了平行組拼雙拱肋系統的平衡曲面M方程和分歧點集B方程，通過分析體系失穩條件，計算了分歧點集解，推導了系統側傾失穩臨界荷載計算公式，提出了平行組拼雙拱肋側傾失穩臨界荷載計算新方法，采用突變理論所推出的臨界荷載計算公式不僅簡潔明了，而且計算精度較高。

1 突變理論的基本原理

突變理論是以分叉理論、奇異理論和拓撲學為數學工具，用以分析如巖石突然斷裂、橋梁突然坍塌、拱壩等受壓結構失穩等傳統的微積分方法不能解釋的不連續變化現象的數學分支。突變理論通過給出系統在突變過程的勢函數，討論相應的突變模型，特別是控制空間中突變集的幾何形狀，定性研究不連續變化現象。按照幾何形狀的不同，可分為折疊型、尖點型、燕尾型等7種類型的初等突變[10]。

拱結構一般在設計荷載作用下變形光滑連續，但在特殊情況下，如剛度不足，突然失穩，從一種連續的狀態突然跳躍到不連續的狀態，其失穩突變過程具有突跳性、滯后性、發散性、多模型性和不可達性等特征，這與尖點突變模型的典型性質相符合[10]，故本文采用尖點突變模型研究平行組拼雙肋拱的側傾失穩問題。尖點模型突變流形和分叉集如圖1[11]。

圖1 尖點突變模型示意圖Fig.1 Cusp catastrophe model sketch

由圖1，尖點突變的勢函數為

(1)

式中x是狀態變量，a和b是控制變量，控制變量a為分裂因素，控制變量b為正常因素，狀態空間(x,a,b)是三維的。如果系統在演變過程中控制變量a>0，則系統的狀態位于奇點集的另一側，系統是穩定的。如果a<0，但系統沿路徑2演化，而不去跨越分叉集，則系統只能以漸變的方式進化。只有a<0，且系統沿路徑1跨越分岔集，系統才發生突變。

相應的平衡曲面M(平衡路徑)方程為

(2)

平衡曲面的奇點集S除了滿足式(2)，尚應滿足：

(3)

聯立式(2)、(3)并消去狀態變量x可得分叉集B：

Δ=4a3+27b2=0

(4)

由圖1可知，平衡曲面M是一帶有褶皺的曲面，M曲面分為三葉。

(5)

(6)

能量取極小值，物體才處于穩定狀態。所以上下葉表示系統的穩定平衡狀態，中葉表示不穩定狀態。

2 拱側傾失穩的尖點突變

2.1 平行組拼雙肋拱側傾失穩的力學模型

平行組拼雙肋拱在徑向均布荷載作用下，側傾失穩后的變形圖、空間曲線坐標如圖2所示。

圖2 平行組拼雙肋拱側傾失穩變形Fig.2 Parallel dual-arch-ribs buckling deformation

組拼拱發生側傾失穩后，任意截面s垂直于拱平面x軸，在指向拱軸法向的y軸和在拱軸切線重合的z軸三個方向分別發生了線位移u、υ、ω并繞這三個軸發生轉角β、γ、θ。拱肋截面主軸x、y、z也發生了變位，相對于變形拱的坐標系取為ξ、η、ζ。

假設拱軸線為圓弧拱，則發生側傾失穩后圓弧拱的扭轉角及側傾位移函數可分別表示為:

(7)

式中C1、C2分別為拱側傾變形后拱頂扭轉角及拱頂側傾位移的0.5倍，α為圓弧拱的圓心角，φ為截面s對應的圓心角。

公式(7)滿足拱腳兩端固接邊界條件，即：

2.2 側傾屈曲的能量方程

略去拱的軸向壓縮變形能和剪切變形能的影響，平行組拼雙肋拱的總勢能可表示為：

∏=Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ

(8)

上式中Ux為拱肋的面內彎曲變形能、Uy為側向總體彎曲變形能、Uz為扭轉變形能、Uy1為拱肋局部彎曲變形能、Uby為橫撐彎曲變形能、V為豎向外力勢能、UQ為橫向干擾力所做的功。

1)面內彎曲變形能Ux。

(9)

(10)

式中，EIx為拱肋面內抗彎剛度，k為側向變形曲率，R為圓弧拱半徑。

2)拱肋的側傾變形能Uy和扭轉變形能Uz。

(11)

代入位移函數，得

(12)

式中，EIy為拱肋的側向抗彎剛度，GId為拱肋抗扭剛度。

3) 局部彎曲變形能Uy1和Uby。

組拼雙肋拱側傾失穩的變形和對應的彎矩圖如圖3示，拱肋截面繞y軸的轉角為γ，拱肋局部變形在節點A的轉角為γ2，則由于剛性節點上各桿的夾角保持不變，橫撐在節點A的轉角γ1=γ-γ2。設橫撐的桿端彎矩為M1，拱肋的桿端彎矩為M2。

圖3 拱肋和橫撐的局部變形和彎矩圖Fig.3 Local transformation and bending moment

由橫撐的轉角位移方程，可得：

(13)

式中EIby為橫撐沿拱肋徑向的抗彎剛度。

由節點A的平衡條件M1=2M2，得

(14)

設想將彎曲變形能平攤在節間長度d上，則全部橫撐的彎曲變形能為

(15)

則一個節間內單根拱肋的局部彎曲變形能為

(16)

整體結構局部彎曲變形勢能可表示為

(17)

(18)

4) 外力勢能Vy。

拱軸受均布徑向荷載作用后豎向變形為υ，則外力勢能Vy等于q在υ上所做的功的負值，即：

(19)

5) 橫向干擾力做功。

設x軸方向的橫向干擾力為Q，則橫向干擾力所做的功為

(20)

將式(10)、(12)、(17)、(19)、(20)代入式(8)得總勢能：

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(21)

由平衡曲面方程：

(22)

所以，

(23)

將式(23)代入(21)得

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(24)

2.3 突變模型的建立

利用簡單的數學變換，將系統總勢能轉化成以a,b為控制變量，以x為狀態變量的尖點突變模型。作變量代換，令：

(25)

(26)

(27)

變量代換后則，系統能量方程可表示為：

2.4 側傾屈曲條件分析

由圖1可知，拱的側傾失穩突變行為是一種以b為正常因素，以-a為分裂因素的尖角突變，它的行為曲面M分為三葉。由式(5)，上、下葉表示為

(28)

而中葉表示為

(29)

從圖1中的C平面(控制平面)，M的折線在C上的投影稱為尖角分叉集合，任何加載路徑經過分叉集合時都會使拱產生突變行為。

建立靜態平衡方程：

(30)

上式可表示為尖點突變模型平衡曲面M，平衡曲面M上兩條垂直切線的點集S的方程為

(31)

S集在控制平面上的投影為分叉集B，如圖1。

令：

?2+(?-1)2)+

(32)

所以，

a=(qcr-q)×

(33)

由上式可知qcr與橫撐間距d2成反比，與拱肋間距b成反比。

當在平衡曲面M中葉時，則必須滿足式(29)即，3x2+a<0，由x2>0，所以a<0即q>qcr時，即結構處于失穩狀態。

當在平衡曲面M上、下葉時，由式(28)得3x2>-a，由圖1，當a>0時，即q-a恒成立；當a<0，即q>qcr時，且滿足3x2>-a時，此時對應組拼雙肋拱失穩后的平衡狀態， M曲面是在褶皺外的上、下葉上。由b的正負決定曲面M是在上葉還是下葉。當b<0時，即Q<0對應上葉。當b>0，Q>0對應下葉。橫向干擾力Q的正負值表示力的方向。

當在平衡曲面M的S集上時，由式(31)得3x2+a=0，此時對應著臨界狀態，組拼雙肋拱處于平衡狀態，即x=0，所以a=0，q=qcr，qcr即為臨界荷載，當q>qcr時，發生第一類分支點失穩。

3 算例分析

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

為了驗證本文所推導的側傾臨界荷載計算公式的正確性，采用Midas/Civil軟件，建立一組不同跨徑、不同矢跨比的組拼雙肋拱有限元計算分析模型，有限元模型中的橫撐數目和間距根據表1中的d確定，圖4僅僅為有限元計算模型示意圖。拱肋和橫撐均采用梁單元。表1給出了跨徑為60～120 m的平行組拼雙肋拱的計算參數；表2為臨界荷載理論解與有限元數值解的比較，可以看出理論解與有限元計算結果的比較非常吻合，最大誤差為4.97%。說明本文基于尖點突變理論所推導的平行組拼雙肋拱側傾失穩臨界荷載的理論計算公式是正確、可靠的。

表1 計算參數

4 結 論

1)引入突變理論，推導了平式組拼雙肋拱的側傾失穩能量方程，建立了雙拱肋側傾屈曲的尖點突變模型。

2)基于突變理論基本原理，根據尖點突變模型的M曲面圖形，分析了平式組拼雙肋拱側傾臨界荷載與平衡曲面M上中下葉的對應關系，首次推導出平行組拼雙肋拱的側傾失穩臨界臨界荷載qcr計算公式。

3)通過與有限元數值解進行對比，證明了突變理論適用于組拼雙肋拱的側傾失穩分析，且驗證了本文所建立的尖點突變模型和所推導的臨界荷載qcr計算公式的正確性。

4)由本文推導的側傾失穩臨界荷載qcr計算公式可知qcr與橫撐間距d2成反比，與拱肋間距b成反比。

表2 臨界荷載理論解與有限元解的比較

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