分立的一維β—FPU晶格中周期的準周期的和混沌呼吸子

田 強，徐 權

分立的一維β—FPU晶格中周期的準周期的和混沌呼吸子

田 強1，徐 權2

（1.北京師范大學物理系，北京100875；2.大慶師范學院物理與電氣信息工程學院，黑龍江大慶163712）

通過對帶有色散項的β—FPU模型的研究，利用在全振子的線性相互作用項中引入一個周期相互作用項，成功將其時空進行了分離變量處理，進而得到了周期的、準周期的和混沌的呼吸子存在于帶有色散項的一維分立β—FPU晶格中的證據(jù)。

β—FPU晶格；周期呼吸子；準周期呼吸子；混沌呼吸子

0 引言

自從Sievers和Takeno發(fā)現(xiàn)了分立呼吸子［1］（一種時間上具有周期性，空間上具有局域性質(zhì)的模型），幾十年來非線性晶格系統(tǒng)的局域激發(fā)一直是能量局域性質(zhì)及傳輸領域的研究熱點，而且越來越被眾多學者專家重視。隨后，特殊FPU晶格模型中呼吸子存在的證據(jù)被大量獲得。例如雙原子FPU晶格中的呼吸子和禁帶呼吸子，β—FPU問題［2－6］，F(xiàn)PU鏈中呼吸子的非拓撲動力學［7－8］，F(xiàn)PU鏈中扭結(jié)孤子與呼吸子之間的相互作用［9］，F(xiàn)PU晶格中亮呼吸子和暗呼吸子［10－11］等等。

接下來的突破是在哈密頓晶格的研究中發(fā)現(xiàn)了準周期的和混沌的呼吸子存在的證據(jù)。準呼吸子是由Johansson和Aubry引入的，［12］準呼吸子的典型特征可以作如下描述：在反連續(xù)極限條件下，準周期解很容易獲得，其特征就是不同位置的振子具有不成比例的頻率ωn。最簡單的是兩個位置的振子分別具有ω1和ω2兩個不成比例的頻率，而其它振子是靜止的。混沌呼吸子是由Cretegny等引入的，混沌呼吸子的典型特征可以描述如下［13］：最初最高頻率（π－mode）不穩(wěn)定的微擾導致了一定數(shù)量的局域的類呼吸子結(jié)構(gòu)凝聚系統(tǒng)的能量，隨后進一步退化為少量的局域結(jié)構(gòu)和一個高能量的峰，他們在相對長的時間內(nèi)是穩(wěn)定的，每個局域結(jié)構(gòu)類似呼吸子，但運動無規(guī)律。在大多數(shù)情況下，混沌呼吸子最后將塌陷在一個熱狀態(tài)（平衡態(tài)）。這種居于激發(fā)與呼吸子明顯的不同是前者是在個不規(guī)范（混沌）路徑運動的，而且大多數(shù)只有有限的壽命，因此被命名為混沌呼吸子。

最近的一些研究主要是探索準周期呼吸子和混沌呼吸子的行為。但是這些研究都只限于沒有色散項的簡單FPU模型［14－17］。本文將探索帶有色散項的FPU模型中準周期呼吸子和混沌呼吸子的情況。

1 分立的一維β—FPU晶格中周期的、準周期的和混沌呼吸子

具有N個質(zhì)量相等原子非線性耦合成的FPU系統(tǒng)的運動方程可以寫成：α模型

β模型

這里un是粒子離開原始平衡位置的位移。假定解可以寫成純空間和時間乘積的形式：

方程（4）和（5）右邊都是不依賴于時間的空間項，左邊是時間項與空間項δ0n的混合。當δ0n是一個常數(shù)時α模型沒有解，所以，這里只研究β模型有

方程（7a）的數(shù)值解如圖1所示

圖1 顯示方程（7a）具有空間局域解。方程（7b）的數(shù)值解如圖2所示

（a），（b）是方程（7b）周期性解的相軌跡和振動曲線其中K＝1，β＝±1及＝1；（c），（d）是方程（7b）準周期性解的相軌跡和振動曲線其中K＝1＋0．2cos（2．368t），β＝±1及＝1；（e），（f）是方程（7b）混沌解的相軌跡和振動曲線其中K＝1＋0．8cos（2．368t），β＝±1及＝1。

圖2（a）和（b）顯示帶有線性色散項的一維β－FPU模型具有穩(wěn)定的呼吸子。圖2（c）和（d）給出在線性色散項中引入一個周期性調(diào)幅的系數(shù)，帶有線性色散項的一維β－FPU模型中也具有準周期呼吸子。這種在線性色散項中引入周期性驅(qū)動參數(shù)情況可以在實驗中完成。圖2（e）和（f）給出在線性色散項中引入一個周期性調(diào)幅的系數(shù)，帶有線性色散項的一維β－FPU模型中也具有混沌呼吸子。

3 結(jié)語

本文對帶有色散項β－FPU模型進行研究，巧妙地將其進行了空間和時間的分離，進而獲得了精確的呼吸子。同時通過在全體振子的線性色散項中引入一個周期性驅(qū)動項實現(xiàn)了兩個具有不成比例頻率的單個呼吸子的耦合，進而得到了準周期呼吸子和混沌呼吸子在具有線性色散項β－FPU模型中存在的證據(jù)。本文將對在實驗中獲得準周期呼吸子和混沌呼吸子具有很強的理論指導意義。

［1］Sievers A J，Takeno S.Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals［J］.Phys.Rev.Lett，1998，61：970－973.

［2］Cretegry T，Livi R，SpicciM.Localization in Nonlinear Lattices［J］.Physica D，1998，88：119.

［3］James G and Noble P Breathers on diatomic Fermi－Pasta－Ulam lattices［J］Physica D，2004，196：124－171.

［4］HornguistM，Lennholm E and Basu CDiscrete breathers in aperiodic diatomic FPU latticeswith long range order［J］Physica D，2000，136：88.

［5］Maniadis P，Zolotaryuk A V and Tsironis G PExistence and stability of discrete gap breathers in a diatomic beta Fermi－Pasta－Ulam chain.［J］Phys.Rev.E.，2003，67：046612.

［6］James G and Kastner M Bifurcations of discrete breathers in a diatomic Fermi-Pasta-Ulam chain［J］Nonlinearity，2007，20：631.

［7］Ullmann K，Lichtenberg A Jand Corso G Energy equipartition starting from high－frequencymodes in the Fermi－Pasta－Ulamβoscillator chain［J］Phys.Rev.E.，2000，61：2471.

［8］Gershgorin B，Lvov Y V and Cai D Renormalized waves and discrete breathers inβ－Fermi－Pasta－Ulam chains［J］.Phys.Rev.Lett.，2005，95：264302.

［9］Reigada R，Sarmiento A and Lindenberg K Asymptotic dynamics of breathers in Fermi－Pasta－Ulam chains［J］Phys.Rev.E，2002，66：046607.

［10］Khomeriki R Interaction of a kink soliton with a breather in a Fermi－Pasta－Ulam chain［J］.Phys.Rev.E.，2002，65：026605.

［11］Sanchez－Rey B，JamesG，uevas JC and Archilla JFR Brightand dark breathers in Fermi－Pasta－Ulam lattices［J］.Phys.Rev.B，2003，70：014301.

［12］Johansson M and Aubry SExistence and stability of quasiperiodic breathers in the discrete nonlinear Schr dinger equation［J］.nonlinearity，1997，10：1151

［13］Cretegny T，Dauxois T，Ruffo S，and Torcini A，Localization and equipartition of energy in theβ－FPU chain：Chaotic breathers［J］.Phyica D，1998，121：109.

［14］Chechin GM，Dzhelauhova G S and Mehonoshina E A Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers［J］.Phys.Rev. E，2006，74：036608.

［15］Antonopoulos C and Bountis TStability of simple periodic orbitsand chaos in a Fermi－Pasta－Ulam lattice［J］.Phys Rev.E，2006，73：056206.

［16］Hennig D Periodic，quasiperiodic，and chaotic localized solutions of a driven damped nonlinear lattice，［J］.Phys Rev.E，1999，59：1637.

［17］Maniadis Pand Bountis TQuasiperiodic and chaotic discrete breathers in a parametrically driven system without linear dispersion［J］.Phys Rev. E，2006，73：046211.

0431

A

2095－0063（2014）03－0022－03

2014－03－15

田強（1961－），男，北京人，北京師范大學物理系教授，博士生導師，從事非線性輸運理論、半導體量子點光學性質(zhì)和電學性質(zhì)、bose愛因斯坦凝聚等領域研究。

國家自然科學基金（11247255）。

DOI 10.13356／j.cnki.jdnu.2095－0063.2014.03.006