試論數學理性主義的形成與發展

羅玉萍

(鄭州大學馬克思主義學院，河南 鄭州 450001)

數學是人類理性的產物，是我們與感性知覺世界之間聯系最為有效的紐帶。隨著數學的發展和人類文明的進步，人類逐步從紛繁復雜的現象中把握自然規律，在這一過程中數學履行著科學的認識功能，提供了研究自然界的有力工具。隨著科學技術的進步，數學在人類理性發展過程中的作用不斷地突顯出來，并為人類思維所理解。數學不僅直接關系到科學研究的基本方法，而且也表明了科學研究的基本目標——揭示自然界內在的數學規律。數學理性精神的形成與發展對人類認識世界、把握自然規律具有重要意義。

一、數學方法的形成

數學方法對于自然科學的必要性和重要性，古希臘人早就認識到了。“如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立和發展的概念、方法和結果，我們就不可能理解近50年來數學的目標，也不可理解它的成就。”［1］(P114)古希臘人給自然科學提出了精確性的規范。“把對自然作用力的神秘、玄想和隨意性去掉，并把似屬混亂的現象歸結為一種井然有序的可理解的格局，走向這方面的有決定意義的一步是數學的應用。第一批提出這種合理化和數理哲學性自然觀的人是畢達哥拉斯學派。”［1］(P167)“素以數學領先的所謂畢達哥拉斯學派不但促進了數學研究，而且是沉浸在數學之中，他們認為，‘數’乃萬物之源。……他們想到自然間萬物似乎莫不可由數組成，數遂為自然間的第一義;他們認為，數的要素即萬物的要素，而全宇宙也是一數，并應是一個樂調。”［2］(P12－13)在畢達哥拉斯看來，萬物皆為數，世界是數與和諧。這種和諧關系也就是萬物之間的關系，它們構成世界的秩序。因此，用數學就能從紛繁復雜的萬物現象中把握自然的規律，從而履行科學的認識功能。畢達哥拉斯的這一思想是近代和現代科學的精確性理想和科學方法論精確性原則的發端。數作為始基，揭示了萬物普遍具有量的規定。從自然哲學的方法論上來說，就是用數學去解釋萬物，以定量分析的方法從整體上把握自然。

畢達哥拉斯的數學方法論思想為柏拉圖所發展。羅素指出:“所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。”［3］(P65)在畢達哥拉斯那里，數是和具體物體相聯系的，有其物質基礎。而在柏拉圖那里，數已脫離具體事物抽象為理念。柏拉圖把“萬物皆為數”同“理念論”相結合，把數學模型印在始基上。“柏拉圖在他的理念中，著手根據數學模型來構造宇宙。”［4］(P120)柏拉圖認為科學知識來源于可洞見的理念世界，而理念世界是由數和形組成的。這就是說，科學認識就在于用數學概念的體系去把握自然。這條方法論原理成為西方科學傳統的一個重要因素和環節。柏拉圖認為，可感覺的事物構成物理世界，概念也構成一個世界，即理念世界，洞見理念而獲得的知識必須加以證明，而這種證明應以某些概念作為出發點即公理。柏拉圖提出，應從自明的假設出發進行證明。這一方法對于希臘數學的發展具有極端重要性，它是古希臘科學方法論的最高成就——公理方法的開端，而且，克萊因指出:“至少從柏拉圖時代起，數學上就要求根據一些公認的原理作出演繹證明。”［1］(P52)

從畢達哥拉斯到柏拉圖發展的數學方法論，為自然科學的發展奠定了方法論基石，開創了精密科學傳統。希臘科學與當代科學的連續性就在于:“象希臘人一樣，我們也假設出一些理論上的實體去解釋現象，象希臘科學一樣，我們的科學也具有關于物質世界的基本的數學結構的深刻意義。”［4］(P131)

二、科學的數學化

近代時期，歐洲的科學家注意到數學在自然科學研究上的重要性。這種信念最有力的證據是哥白尼和開普勒的工作，他們為了具有數學優越性的理論而堅決地去推翻久已被公認的天文學和力學的定律以及宗教信條。17世紀，笛卡爾和伽利略選定科學應該使用的概念，重新規定科學活動的目標，改變科學中的方法論，把理論科學歸結到數學。他們這樣做，不僅使科學得到出乎意料和史無前例的力量，而且把科學和數學緊密地結合起來。因此，要想理解從17世紀到19世紀數學推動科學的力量，就必須先考察笛卡爾和伽利略的思想。

在自然哲學中，笛卡爾是哲學學派——“唯理論”(rationalism)的奠基者。笛卡爾把數學看作是哲學方法的典范，并致力于創建一個具有數學確定性的思想體系。“我們如何去把握清晰明確的知識，應該運用什么方法?數學是榜樣，給我們提示了推理應遵循的步驟;只有數學家能夠發現確實而自明的命題。”［5］(P286)笛卡爾要求把一切“放在理性尺度上校正”，即用理性作為改造一切、判斷一切的準繩。只有在數學中，笛卡爾找到了他所追求的明晰性和確定性。笛卡爾宣稱，科學的本質是數學。客觀世界是固體化了的空間，或者是幾何的化身，因此，它的性質應該可以從幾何的基本原理推導出來。對笛卡爾來說，數學是明晰和確定的知識模式，它一步步地從一個不容置疑的結論推向另一個結論。數學又是最可靠、確定的科學。笛卡爾認為在所有科學中，唯有算術和幾何學是擺脫了錯誤或不確定的，古代幾何學家使用了一種可靠的分析方法，他們將這種分析方法延伸到對所有問題的解決上，因而數學是通往其他學科的大門。既然數學方法是發現真理的方法，那就應當在數學中，尋求理智活動的法則。通過對數學的系統考察和反思，使笛卡爾設想到所有進入人的認識之中的事物很可能是以同樣方式互相關聯著的。人們只要反省一下就可以看到，除了數學以外，其它被稱之為知識的東西，顯得是不確定的，沒有體系的，并且不為任何共同的證明方法所支持。因此，要為混亂的哲學和物理學引進明晰和一致的數學演繹方法，光憑邏輯學的原則還不能建立起真正的知識，必須把數學方法加以泛化和擴展，“移植”到哲學中去，即必須找到一條清楚明白的基本原理作為哲學出發點，并經過演繹，從中推出整個哲學體系來。因為只有通過體系和方法，知識才能建立在可靠的基礎上。因此，笛卡爾方法論的基本特征就是把數學方法和演繹方法相結合。

現代德國著名物理學家W.海森堡曾精確地表明這一點:“這個科學新時代的第一個大哲學家是笛卡爾，他生活在17世紀的前半期。他的那些對科學思想發展最為重要的觀念，包含在他的《方法論》之中。……他第一次系統地表述了在意大利文藝復興和宗教改革時代已露端倪的人類思維的傾向。這種傾向就是對數學興趣的復合……，對數學的日益增長的興趣傾向于這一哲學體系，這種哲學體系從邏輯推理開始，并試圖從這種方法得到某些象數學結論那樣肯定的真理。”［6］(P39－40)

伽利略和笛卡爾一樣，相信自然界是用數學設計的，自然界是簡單而有秩序的，它的行動是規則的而且必要的。伽利略提出用數學公式描述自然規律的方法論原理，使精密科學知識的理想成為現實。伽利略、惠更斯和牛頓都是以數學家的身份去探索自然。無論在一般方法上或具體研究上，都期望通過直觀或通過關鍵性的觀察和實驗去了解廣泛的、深刻的、清晰的而又不變的數學原理，然后從這些基本原理導出新的定律。正如克萊因所說:“后來科學的發展，尤其是牛頓物理學的創立表明，伽利略追求描述的決定性，是歷來關于科學方法論的最深刻、最有成效的思想。”［7］(P39)17世紀的科學家所想象的科學的正當程序，是用理性去尋找自然界的定律，使數學理論達到廣博與完善的地步。在后來的兩個多世紀中，科學家根據極少甚至瑣碎的觀測和實驗，給出了深刻而廣泛的自然定律。

三、數學理性主義的發展

在各門科學中，數學與哲學有著最為密切的聯系。“所以科學，包括邏輯和數學在內，都是有關時代的函數——所有科學連同它的理想和成就統統都是如此。”［1］(P16)從畢達哥拉斯數是萬物的本源，到柏拉圖的理念論、笛卡爾的解析法、萊布尼茨的符號體系、康德的先驗論、弗雷格與羅素及維特根斯坦的分析哲學、希爾伯特的邏輯系統和元數學思想等等，都與數學理性主義的發展有著密不可分的關系。正如克萊因所說:“數學分析與自然界本身同樣的廣闊。”［7］(P239)

萊布尼茨被公認為是數理邏輯的奠基人。他認為:“宇宙是一個數學——邏輯的體系，只有理性能夠闡明。”［5］(P386)同時，他認為傳統形式邏輯不適應人們思維的需要，必須創設一種新邏輯，這種新邏輯可以使思想歸于一種計算，通過計算，人們可以從一個或幾個已有思想，根據有關的演算規則，演繹出某個新思想，這就是把傳統的邏輯推理轉變為數學運算。萊布尼茨贊同數學方法，他首先創設一種適用于各種科學的普遍的科學方法，即“通用數學”。按照這種思想，他創設了數理邏輯不可缺少的符號。

除了是一位出眾的天才數學家、邏輯學家之外，萊布尼茨亦是歐陸理性主義的代表，傳承了西方哲學傳統的思想。在其著作《單子論》中，萊布尼茨區分了兩種真理，即理性真理和事實真理。他認為理性真理是必然的，事實真理是偶然的。數學原理和邏輯規則屬于“理性的真理”，而對實際存在的事物和現象的認識則屬于“事實的真理”。萊布尼茨強調理性真理的先天性，反對任何經驗的論證。他認為:“無可爭辯的是，感覺不足以使人看出真理的必然性，因此心靈有一種稟性，來從自己內部把這些必然真理引出來……對于一個普遍的真理，不論我們有關于它的多少特殊經驗，如果不靠理性認識它的必然性，靠歸納是永遠不會得到它的確實保證的。”［8］(P49)萊布尼茨認為先天知識的必然性歸結為一種邏輯分析的必然性，事實真理是綜合的知識，它并不具有必然性。在認識論方面，萊布尼茨繼承了古代柏拉圖和近代笛卡爾的唯心主義先驗論，積極鼓吹帶有普遍性和必然性知識的天賦性。萊布尼茨的認識論以他的形而上學的前提為基礎，沿襲唯理主義思想，認為真正的知識是普遍和必然的，不是建立在導源于經驗的原則上。在他看來，數學方面的知識完全是天賦的。“應該說，全部算術和全部幾何學都是天賦的，是實際存在于我們自身之中的。只要我們細心加以思考，就可以在心中發現它們。”［8］(P78)在這個意義上，“算術和幾何學潛在于人心中，不必利用任何經驗的真理，就可以從心中提取出來”［5］(P387)。

邏輯主義的興起肇始于弗雷格。邏輯主義哲學的基本觀點可以概括為:數學可以劃歸為邏輯。弗雷格用“定理與公理的關系來描述算術的真命題與邏輯的真命題的關系”［9］(P32)。他認為邏輯依賴兩個主要思想:第一，嚴格的公理化;第二，建立一種數學嚴密性的特殊語言。對于建立邏輯，公理方法是十分必要的，要建立邏輯公理的方法，符號語言是絕對必要的。弗雷格考察了邏輯和數學的關系，認為只有數學方法才能使邏輯建立起完全符號化的演算系統。弗雷格認為我們能夠計算成為思維對象的所有事物，基于算術的初始命題可以擴展至所有可以思維的事物，這種最普遍的命題應恰當地歸于邏輯。從算術的這種邏輯的或形式的特征出發，他得出:“算術獨立于事物所有的特殊性質，對于算術的基礎，它們必定屬于純粹邏輯的性質。所有算術的東西應當通過定義轉化為邏輯的東西。”［10］(P290)他通過考察算術學的問題最后得出數學是邏輯的延伸，邏輯是數學的前科學的結論。而且，弗雷格力圖把整個數學邏輯化，提倡邏輯主義和對語言的邏輯分析，極力主張把邏輯的東西與心理的東西分析開來。

弗雷格認為日常語言使用的是自然語言，而自然語言詞意混亂，含混不清，容易產生誤解，因此應建立一種“邏輯上完善”的科學語言，即形式化的人工語言。哲學研究的首要任務就在于對語言的意義理論研究。因為日常語言不足以使思維避免錯誤，只有符號語言才能避免語言的模棱兩可和歧義性。他的這種觀點對現代西方科學主義思潮的語言學轉向和分析哲學化起了開端作用。他認為:“哲學的任務是打破語詞對人類精神的統治，揭示幾乎無法避免的出自語言用法的關于概念關系的欺騙，把思想從語言表達方式性質的影響中解放出來。我的概念文字(符號邏輯)能夠成為哲學家們用以推進這種目的的有效工具。”［11］(P12－13)弗雷格的這個觀點為整個科學主義語言分析哲學思潮確定了方向。后來羅素的關于“邏輯是哲學的本質”是他這一觀點的進一步發展。

羅素是英國新實在論的創始人之一，在數理邏輯方面做出了重要貢獻。他被認為是與弗雷格、維特根斯坦和懷特海一同創建了分析哲學。羅素認為哲學和其它自然科學的不同只是在于研究方向上，它們的研究方法應該是相同的。羅素認為哲學就是對包含著描述的命題進行分析，哲學和數學一樣，通過應用邏輯學的方法就可以獲得確定的答案，而哲學家的工作就是發現一種能夠解釋世界本質的一種理想的邏輯語言。羅素堅持實證主義的觀點，認為科學的任務是根據思維經濟原則對觀察和實驗中獲得的經驗材料作化繁為簡的整理。他進一步把馬赫主義的觀點數理邏輯化，從而形成了邏輯原子主義這個新流派。邏輯原子主義對命題進行分析所要遵循的基本原則是:“我們了解的每一個命題都必須完全由我們所認識的成分組成。”［12］(P46)“憑借描述而知道的知識最后可以轉化為憑借認識而知道的知識。”［12］(P46)經驗中最簡單也是最具普遍性的方法是羅素的“親知”，“親知是所有認知關系的先決條件，親知是不必具有本質共同性的主體與客體之間的一種二元關系，對親知進行分析就是對命題進行分析。”［13］(P155)同時，羅素提出一種邏輯構造的方法:“我們的邏輯技術所做的一件事就是為我們提供一種方法，來構造具有最小裝置的符號命題的一個給定的主體，而在裝置方面的每一次縮小都會減少犯錯誤的危險性。”［13］(P339)他認為:“一切復雜的知識如科學的理論、概念和知識體系等等都只是直接經驗知識的邏輯構造，都應還原為直接經驗知識并對其進行邏輯分析，以保證其確定性或可靠性。”［14］(P123)羅素發展了邏輯分析的方法，對西方分析哲學思潮產生了廣泛而深刻的影響。

四、結語

古希臘數學理性的發展與科學的數學化奠定了理性主義和早期科學主義的傳統。笛卡爾和萊布尼茨發展了數學方法，并用數學方法發展了傳統邏輯，使之適合近代科學方法論要求。邏輯方法和數學方法的相互促進，是建立在邏輯和數學難分難解的相互關系之上的。數學方法的引入，引起了邏輯變革，導致現代形式邏輯即數理邏輯的產生;而數理邏輯的發展，它反過來在19世紀末20世紀初又成為促進數學變革的方法。隨著理性主義的發展，萊布尼茨的通用數學思想、弗雷格的哲學邏輯化思想和羅素的邏輯原子主義思想到后來的邏輯經驗主義，對西方分析哲學產生重要而深遠的影響。從邏輯本身發展來看，這導致它走向現代階段——數理邏輯或符號邏輯階段。

數學是一項純粹的人類創造，它為我們開辟了通往自然某些領域的道路，使人類在探索自然的奧秘方面走得更遠。正如恩格斯所言:“數學是辯證的輔助工具和表現方式——數學的無限出現在現實中。”［15］(P3)而數學理性精神的形成與發展對人類社會的進步與發展有著特殊重要的意義。正如克萊因所說:“在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞和驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活;試圖回答有關人類自身存在提出的問題;努力去理解和控制自然;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。”［16］因此，數學在自然科學的發展過程中始終起著方法論的作用，而數學理性主義的方法對西方科學哲學尤其是分析哲學產生了重要而深遠的影響。

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［7］［德］F.克萊因.古今數學思想 (第2冊)［M］.北京大學數學系數學翻譯組，譯.上海:上海科學技術出版社，1979.

［8］［德］萊布尼茨.人類理智新論［M］.陳修齋，譯.北京:商務出版社，1982.

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［14］夏基松.現代西方哲學［M］.上海:上海人民出版社，2006.

［15］［德］恩格斯.自然辯證法［M］.中共中央馬克思、恩格斯列寧斯大林著作編譯局，譯.北京:人民出版社，1971.

［16］［德］F.克萊因.西方文化中的數學［M］.張祖貴，譯.上海:復旦大學出版社，2004.