高等數學對逆向思維的應用分析*

解 武

(運河高等師范學校，江蘇 邳州 221300)

逆向思維，也叫做反向思維，就是說突破常規的思維方式，對于常規的理論知識和事物進行反方向的思考，“反其道而行之”就很好的體現了逆向思維的特點。讓思維向對立方向進行發展，從問題的反面進行思考的研究。比如說“司馬光砸缸”的歷史小故事，正常人的思維就是下水救人，而他選擇了用石頭把缸砸碎，讓人脫離水的逆向思維救了同伴的性命。逆向思維是一種創新型的思維模式，在自然科學中巧妙的利用逆向思維，經常會給人們帶來一些意外的收獲。著名的英國物理學家法拉第，就利用逆向思維發現了物理界的電磁感應定律。同樣，如果把逆向思維帶入到高等數學的學習當中，讓學生運用逆向思維處理和思考問題，也會達到一種很強的效果。尤其是對一些復雜多樣的數學表達式，運用逆向思維就可以很好的找到解答的方法。

一、逆向思維的特點

逆向思維強調的是思維方式從已知的思路上面進行反方向的探討和研究，從一個反向的角度尋找更合適的解決方案。逆向思維的運用不僅僅是一種簡單快速的解決方案，更重要的是它客服了人類常規的思維模式，拓展了人類的思維空間，釋放自己的思想。逆向思維在高等數學中的應用主要體現在“逆推法”上面，就是一切從待論證的結論為出發點，一步一步分析問題，逐層遞推，最終得到解題思路的一種方法。這樣的“逆推法”主要的應用范圍是在高等數學的證明題方面，可以幫助學生把一堆錯綜復雜、毫無關系的已知條件，通過對問題的先剖析，準確的找到問題的關鍵所在，從而達到一種教育和應用的目的。

二、逆向思維的重要性

無論是高等數學的教育和應用，還是學習和思維的培養，只能牢牢掌握逆向思維的解題方法，才可以讓教師更好的教育學生，才可以讓學生更好的克服難度大的數學難題。和常規思維相比較，逆向思維本身就是一種超脫常規的思維模式，這種和常規不同的思維模式是高等數學中圖形和數字為最基本的分析對象，運用最基本的數學語言和數學符號，通過一定的反向思維能力推理得到每個題目之間的內在關系。在數學的發展史上，一位希臘的數學家就曾經利用反證法的逆向思維模式證明得到了“無理數”，讓人們對“數”的概念從“有理數”發展到了“無理數”。俄羅斯的一位數學家也是借鑒古人5次證明歐幾里德定律中失敗的經驗，非常大膽的采用了反命題的證明方法，間接性的證明出了“歐幾里德第五公設”，從而創造出了“羅巴切夫斯基幾何”。通過對逆向思維重要性的描述和實例的間接證明，讓我們認識到熟練的掌握逆向思維可以讓人們看到更多更遠的知識。

三、應用的多種方法

高等數學中，有很多的定理都有可逆和不可逆的，但是高等數學的教材中只給出了少部分的逆定理，很多的逆定理都沒有給出合理的逆向分析。這個方面教師在教育當中應該有意識的引導學生考慮這些已經給定的命題當中，是否具有相對應的逆命題。教師可以及時的向學生提出問題，逆命題怎么判斷？怎么得出的？為什么是假的？這些問題都可以提高學生逆向思維能力，提高逆向思維能力在高等數學中的應用。下面筆者為大家提供幾種高等數學中常見的逆向思維能力的應用方法。

第一種：逆推法。逆推法是一種非常常見的，而且應用范圍很廣的一種逆向思維解題的方法。這個方法根據前后量的變化得出的結果，一步步進行逆向的推理，逐層推理出原有的已知條件，從而解決提出的問題，屬于一種“因果型的逆向思維”。比如說在簡單的算法驗算當中，運用逆向運算的方法進行驗算。在求面積的問題中，知道圓的面積，求圓的半徑，等等這些用的都是逆推法。在高等數學中，用數列極限的定義證明極限的存在問題當中，同樣用的是逆推法，它根據的原理就是給定任何一個正數A，然后指出定義中所提到的正整數B的確存在，最后求證問題的答案。積分和求導是高等數學中最為關鍵的學習內容，這兩個內容互為逆運算，也就是說相互之間可以驗算，尤其在求復雜函數的不定積分的時候，通過對結論求導就能確保計算的精準性。

第二種：變量代換法。這個方法是一種非常典型的“轉換型逆向思維”，屬于數學變量法中的一個分支。它的本質就是在研究某一個問題的時候，常規思維方法受到阻礙以后，轉變一定思考角度，把要解決但是很難解決的問題進行等量的代換，轉化成為一種容易解決的問題，可以使得問題順利的解決的一種思維模式。一般這個方法都是通過變換問題中的函數自變量或者因變量。在高等數學中，主要的代換方法有很多，其中包括對數的代換、算式的代換、三角的代換、根式的代換等。代換方法具備一定的多樣性和靈活性的特征，根據問題的不同可以采用不同的代換方法，把困難的問題簡單化，將問題轉化成為一種方便求解的方式。這樣的方法在求導和積分、求極限等方面都有了很好的應用。極限的計算就是一個很好的例子，在求解過程中經常用的就是等價無窮小的代換，通過恰當的量的變化，將原來困難的問題簡單化。其中不定積分中的換元積分法也是利用這個特點，通過變量的變換，得到一個復合函數的積分法。二重積分計算中的極坐標和直角坐標間的變換、三重積分計算中的球坐標、柱面的坐標和直角坐標間的變換等，都是通過變化代換法完成的。

第三種：反證法。反證法是高等數學中一個非常重要的證明方法。和綜合法、分析法相同，這個方法也得到了廣泛的應用。不僅體現在初等數學的教育中，在高等數學的場地中，它更是馳騁疆場。反證法，就是常說的間接證明法，就是從相反面的視角思考問題的證明方法，通過肯定的命題中得出否定的結論，從矛盾中推理得出的。法國數學家阿達瑪對于反證法的本質說過這樣的話“如果肯定定理的假設否定了肯定定理的結論，就會產生矛盾。”換言之就是說，反證法是通過否定的命題結論為出發點，對命題結論的否定結論作為推理的已知條件，然后進行邏輯推理，把得到的結論和已知的結論進行比較，或者說和正確的命題結論互相矛盾，就能得到一種假設不成立的結果，從而肯定了命題的結論。這種方法屬于典型的“反轉性逆向思維”。在高等數學的教育學習中，要求學生必須證明大量的命題和定理。當命題很難順利證明或者直接證明的話，我們必須要轉變自己的思維方式，應用反證法。

第四種：待定系數法。這個系數法是解決和研究數序問題的一種方法，意思就是在已知答案形式的大前提下，通過引入一定的待定系數，轉化為一組方程組或者多個方程組來解決問題的一種思路，使得原有的問題轉化為一種容易解決、簡單的解題方法。待定系數法的關鍵所在就是：根據已知的條件，正確的列出方程式。比如說需要證明變量之間的函數關系，可以先假設出一些未知的系數，接下來依據給定的條件確定未知數的范圍。在初等數學中，數列求和、因式分解、求復數、求函數等問題都具備一定的數學表達式，都可以利用待定系數法求解方程。在高等數學當中，我們也可以利用待定系數法求解微積分方程、級數等問題。

除了上述提到的4種解決方法以外，在高等數學的其他方面，我們也靈活運用了逆向思維。比如說遞歸法和自然歸納法等。高等數學中有很多概念都是通過證明本質問題定義的。而在證明的過程中，存在很多的逆概念，比如說常量和變量、函數和反函數、有理數和無理數等，在學習當中必須學會根據不同的情況運用不同的逆向思維解決問題，往往都會收到很強的效果。

四、高等數學的方法和知識的互逆

在熟悉各種各樣的逆向思維的方法之后，我們還需要注意思想方法和知識體系之間的關系。比如說微積分，它研究的對象就是函數，研究的內容就是積分學和微分學，研究的工具就是極限，學生在學習的過程注重各個部分知識的統一，重視各個部分思想方法和知識體系的聯系，在學習中一定會收到想不到的學習效果。舉個例子說，積分和導數就是很強的互逆關系。從積分和倒數的計算方面來看，這就是一種互逆運算方式。比如說在一元函數的計算中，從導數引出的逆運算就可以得到不定積分。在可積函數的函數積分和原函數之間，也能夠用牛頓—萊布尼茨公式進行等量的轉換，由此可見，導數和積分在問題的計算當中的運用，就崛北了相對統一的性質和互逆的性質。同樣如此，在微積分中求曲線的長度的時候，就應該把曲線劃分成為無數個小段，然后把每個小段定義為直線，通過“以直線代替曲線”的方式得出每個小段的長度，然后通過微積分的計算方法將每個小段的長度加在一起，就可以得到求解曲線長度的目的。這樣的化整體為部分，再把部分化為整體的計算方法在高等數學的解題模式當中到處都是。這樣的方法就是利用逆向思維在整體和部分之間的轉換應用。微積分解題的主要目的就是連續、極限、積分定義、導數、廣義的積分斂散性和級數等知識的考察，這所有的知識都是建立在極限的基礎上面。也可以說極限運算就是高等數學中微積分計算的核心理念，其內涵的思想就包括將無限的問題有限化，再把有限的理念和思想對無限進行論證，由此我們知道有限和無限之間的辨證聯系。

總結：在高等數學這個領域范圍內，積極有效的創新更多的思維方式，可以有效的推進學生的學習，逆向思維就是其中的代表。作為思維模式的創新，一種常規模式的擴展，在高等數學的教育應用中，正在強化常規思維的同時，潛意識的培養逆向思維，通過一個互逆過程的培養，就可以擺脫常規的思維羈絆，沖破固有的思維模式，有助于學生克服順向思維下呆板的解決方法。所以老師需要跟上時代的腳步，時刻更新教育理念，帶領學生運用逆向思維。我們需要打破常規的思維模式，注重逆向的思維培養，讓學生養成一種從不同角度解決和分析問題的能力，提高學生的思維靈活性和敏捷性，達到把握知識的最終目的。

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