一般多位數整數乘法心算分析

張志權 郭 陽

(蘭州商學院國際貿易學院，甘肅蘭州 730020)

心算包括乘除運算、乘方運算、開方運算等多種形式，在多數人看來，其中多位數乘法運算最基礎最沒規律性最難掌握。在《最強大腦》中外終極PK賽上，外國選手3×3運算用時1分18秒88，中國選手4×4運算用時4分24秒27，相比各自的乘方開方運算用時多得多，這就是最好的例證［1］。其實不然，筆者不知道他們心算各自用的是什么方法，但節目中的兩位選手顯然用時是有點多了。在這里筆者來分析一下自己對一般多位數整數心算的方法，相信學習該方法后，一般人都能成為優秀的心算者。

1 兩位數乘以兩位數

分析多位數(三位數以上)乘法心算，得先學會兩位數乘法心算。設任意兩個兩位數=10a+b=10c+d.

由上式可以看出，一般兩位數整數相乘可以轉化為三項乘積的和形式，其中第一項末尾兩個零，第二項末尾一個零，第三項末尾沒有零，這就是規律之所在。我們在計算的時候，可以先不考慮各項末尾零的情況，改用數位對齊來替代末尾零。

⑵式說明，兩個兩位數的首項乘以首項(如a×c)，尾項乘以尾項(如b×d)，兩次結果從左至右依次排列，如果尾項乘以尾項是一位數，則前面添零后再排列。然后兩內項乘積加上兩外項乘積(如bc+ad，即x)，將x的個位與前者十位對齊，再相加，得出結果即是最終結果［2］。

之所以能這么處理，是因為我們知道首項與首項相乘的積后面有兩個零，寫數時我們為了計算方便將其省略;尾項乘以尾項的積能在后面直接排列是因為任何兩個一位數相乘只有兩種可能，結果為一位數或兩位數，所以，積是兩位數時直接依次排列，積是一位數時中間添零;兩內項之積和兩外項之積后面都有一個零，為了計算方便我們省略其后面的零，直接將其與前次計算結果的十位數對齊。

對于兩位數乘以兩位數心算時，如果是筆試出題，計算過程中要記住兩個數(首項積與尾項積排列后的結果、兩內項積與兩外項積的和)，在實際操作中是不難記憶的;但如果是口試出題即原題不在題板上顯示，要求記住原題中的兩個兩位數，這就要求記住四個數，二者比較，在記憶難度上實際上增加了很多，所以后者更容易出錯。筆者建議，對待后一種情形，我們可以換一種方法應對。

我們稱這種方法為湊整法，即在兩個兩位數中，選擇一個更容易湊成整十或整百的數湊整，這樣很巧妙地把兩位數乘以兩位數轉化為了兩位數乘以一位數，計算量大大降低。

這種方法，其理論依據是乘法的分配律，計算過程中只需記住兩個數即湊整后與另一個數的乘積、湊整后的余數與另一個數的乘積。

例如:79×87=(80－1)×87=80×87－87=6873

在這個例子中，心算時只需記住80×87的結果和87，這個對一般人來說都不難記憶。

2 三位數乘以三位數

分析完兩位數乘以兩位數再分析三位數乘以三位數就簡單很多。

由⑷式可以看出，三位數乘以三位數可以轉化為五項乘積的和形式，其中第一項末尾四個零，第二項末尾三個零，第三項末尾兩個零，第四項末尾一個零，第五項末尾沒有零，同理，可用數位對齊來替代末尾的零。

⑸式說明，首項乘以首項(如a×d)，尾項乘以尾項(如c×f)，兩次結果中間添加兩個零后從左至右依次排列，如尾項乘得結果是一位數，則中間添加三個零。然后把三個零的項與其千位對齊，兩個零的項與其百位對齊，一個零的項與其十位對齊，最后相加，得出最終結果。至于為什么能這么做，其原理跟兩位數乘以兩位數是一致的。

在此計算過程中，至少要記住四個數，短時間記住四個數并進行運算對一般人來說是不容易的。如果兩個乘數位數再增加，可能要記住更多的數才能進行心算。所以，對于三位數乘以三位數筆者不贊成簡單套用兩位數乘以兩位數的方法，可以運用另外一種方法。

筆者稱其為劃分模塊法即可以把三位數劃分成兩個模塊，再對模塊進行運算，模塊劃分的標準就是使運算最簡單，這樣劃分后，運算就快很多。

這樣就把三位數乘以三位數轉化為兩位數乘以兩位數形式，簡單模塊劃分，給計算帶來的簡便性卻是可觀的。

在這種方法中只需記住兩個數(即⑹或⑺式中兩個數)就能進行心算，一般人學會方法再加適度訓練，就能很快對三位數乘以三位數進行心算。

3 四位數乘以四位數

四位數乘以四位數，如果用兩位數乘以兩位數的方法一，在計算過程中要記住六個數，一般人更無法企及，除非你有非凡的記憶力，所以這種方法顯然在四位數乘以四位數里不能得到推廣，其過程可參考兩位數乘以兩位數或者三位數乘以三位數的方法一。

四位數乘以四位數最簡單易掌握的方法也屬劃分模塊法。

四位數乘以四位數通過模塊劃分最終還是轉化為兩位數乘以兩位數形式。

四位數乘以四位數，雖然只需記住兩個數，但隨著位數增多，每個數也在增大，所以數位增多帶來的數值變大的困難只能通過訓練來克服，沒有更好的方法。至于五位數乘以五位數乃至更高位數，劃分模塊無疑是一個不錯的方法，但乘數位數增多，模塊劃分的方法運用也越來越復雜，所以更高位數的心算方法就留給其他學者去探究。

心算本來就沒那么神奇，了解一點心算方法，懂得天才是方法加勤奮，而并非天賦異稟。

［1］江蘇衛視.最強大腦—終極之戰［EB/OL］.http://v.pptv.com/show/UILoZ881peNGxAg.html.

［2］楊燁.神奇速算法［M］.太原:山西科學技術出版社，1992.