粘性流場中圓柱殼結構的頻散特性分析

陳浩森， 李天勻， 朱 翔

(華中科技大學船舶與海洋工程學院， 湖北 武漢 430074)

引 言

對于浸沒在流場中的無限長彈性薄圓柱殼，其頻散特性一直是研究的熱點，很多學者都已就此問題提出了自己的見解。Junger最早對浸沒聲場中的圓柱殼進行研究[1,2]，得出了附連水的存在大大降低了殼體的固有頻率，并且主要影響低頻振動的結論。Scott對水下無限長彈性圓柱殼自由波傳播的頻散特性方程作了深入研究[3]。他基于Love殼體理論和能量原理建立了耦合系統的頻散方程，并用真空中相同的無限長圓柱殼的頻散方程的解在復平面上通過迭代求得了水下圓柱殼的頻散曲線，結束了前人用頻散方程實部的根代替頻散方程的根的歷史，具有很高的理論價值。Guo推導出水下圓柱殼頻散方程的近似解[4]，繪制了扭轉波、壓縮波以及彎曲波對應的頻散曲線。左迎濤等人求取和分析了水下無限長彈性薄圓柱殼的頻散特性曲線[5]，并與真空和空氣中相同參數結構的特性作了對比。劉志忠在前人工作的基礎上[6]，計入靜水壓力的影響，并研究了靜水壓力對耦合系統頻散特性的影響。

在以往對流場-圓柱殼耦合系統的研究中，采用的流場大多為理想流場，針對聲振問題建立的數學模型較簡單。然而在實際情況中，流體必然存在粘性，僅在量級上不同。流體的粘性作用使流體中產生切向應力，并影響結構的振動特性和動力強度，進而對結構的振動能量流和聲輻射特性產生影響。相對于理想流場中只存在縱波，粘性流場中既有縱波又有橫波，加入粘性的影響勢必會使流場與殼體結構的耦合變得更加復雜。忽略流體粘性固然可以使問題大大簡化，但是考慮流體的粘性無疑會使建立的理論模型與實際情況更加接近，能更好地模擬真實情況。因此，研究中考慮流體粘性的影響是非常有價值的，為實際中的粘性流場-圓柱殼耦合系統的聲振特性的研究提供了更充分的理論依據。本文的工作旨在定量分析流體粘性對結構波和流體聲波的影響程度，這些目前尚無文獻報道。

現今針對粘性流場-圓柱殼耦合系統的特性研究的相關文獻較少。Yeh和Chen分析研究了雙層同心圓柱殼-粘性流體耦合系統的動態性能[7]。Vollmann等采用Navier線彈性理論結合波傳播方法來描述耦合系統[8]，導出了黏彈性介質的充液雙層圓柱殼的頻率與軸對稱波型復波數之間的關系。Hasheminejad等把Havriliak-Negami模型應用于粘彈性材料動態的描述[9]，并與Donnell理論結合起來研究浸沒在粘性和充有粘性液體無限長圓柱殼的自由振動和阻尼特性。Hasheminejad和Safari對浸沒在粘性流體中有粘彈性覆蓋層球殼和圓柱殼的聲散射進行了研究[10]。Sorokin研究了加載了靜態粘性可壓縮流體的彈性板的自由波傳播和衰減[11]，分析表明液體粘性對自由波存在不同程度的影響。Hu對一個充滿粘性液體、徑向極化、浸沒在粘性液體中的壓電球殼進行了軸對稱振動的研究[12]，說明了在球殼中的液體對于浸沒在液體中的球殼的振動有主導作用。這些文獻的研究一方面表明流體粘性對聲振特性存在影響，另一方面其研究方法有較好的借鑒作用。但是，部分前期文獻更多是從流固耦合的角度分析粘性流場-圓柱殼耦合系統的振動，將流場介質認為是不可壓縮的。當從聲固耦合的角度分析耦合系統的聲振特性時，由于聲波的存在，流場中的介質是可壓縮的，不可壓縮粘性流體理論不再適用，需要尋找新的理論方法來描述聲固耦合問題。論文首次開展粘性流場中圓柱殼結構的頻散特性研究，建立了圓柱殼-粘性聲場的聲振耦合模型。

本文考慮薄圓柱殼殼體與由有粘、可壓縮流體組成的流場之間的相互作用，把線性化的連續性方程、線性處理后的Navier-Stokes方程和小振幅波動下的狀態方程結合起來得到了粘性流場中的聲波波動方程，運用對矢量場的Helmholtz分解定理將波動方程中粘性流體的速度場分解為標量勢和矢量勢，根據波動方程解的假設形式得到粘性流場在柱坐標系下的速度和應力的表達式，進而根據聲場與圓柱殼外表面的運動協調條件，從理論上首次建立了粘性流場-圓柱殼耦合系統的聲振模型，提出了相應的數值計算方法，初步揭示了流體粘性對結構波和流體聲波的影響，為進一步研究耦合系統振動能量流、聲輻射特性以及水下精確NAH(近場聲全息)成像打下基礎。

1 理論模型

考慮殼厚為h、中面半徑為R的無限長彈性薄圓柱殼浸沒于粘性流體聲介質中；以x，θ和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向；U，V和W表示殼體中面的軸向位移、周向位移和徑向位移；n為周向模態階數，如圖1所示。

圖1 圓柱殼坐標系和周向模態

1.1 殼體振動方程

假設圓柱殼為各向同性的彈性薄殼，其厚度h遠小于其中面半徑R。圓柱殼動力模型可用Flügge方程表達[6,13]

其中，

L33=1+K+Kλ4+2Kn2λ2+Kn4-Kn2-Ω2,

1.2 粘性流場動力方程

假設流場是由有粘、無旋、可壓縮的正壓流體組成的均勻、靜止流場，其連續性方程、線性化Navier-Stokes運動方程和線性狀態方程分別為[14]：

(2)

(3)

(4)

式中ρf為流體密度，uf為流場的速度分布，p表示聲壓，μ為剪切粘性系數，μb為膨脹粘性系數，cf為聲傳播速度。

根據Helmholtz定理，任何矢量場都能夠表示成無旋和有旋分量的和

uf=▽φ+▽×ψ

(5)

式中φ為速度勢的無旋分量，為標量，代表縱波(膨脹波)；ψ為有旋分量，為矢量，代表橫波(剪切波)。

假設流體中的傳播波是簡諧波，則方程的解具有以下形式[10]

(6)

聯立方程(2)～(6)，可以推導出標量勢函數φ和矢量勢函數ψ應分別滿足以下方程：

在柱坐標下，方程(7)具有以下形式的解[15,16]：

(8)

根據柱坐標下的基本場方程，可以得到用勢函數表達的流場三個方向速度的大小[17]

(9)

同樣也可以得到流場三個方向應力的大小[17,18]

(10)

將式(8)分別代入上面兩式并略去簡諧項，所得結果見附錄。

1.3 耦合系統的運動方程

通過波傳播法推導所得的三向應力大小即為殼體方程中的粘性流體對薄壁圓柱殼在x，θ和r方向施加的等效載荷

(11)

這里要指出的是Px，Pθ和Pr的量綱取面載荷的量綱，而不是力的量綱。

根據殼壁外表面的運動協調條件，流場與圓柱殼在結合面三個方向的速度是連續的，即

(12)

聯立方程(1)，(11)和(12)，即可得到耦合系統的運動方程

(13)

其中，

O12=0,

方程(13)有非零解的條件是系數矩陣的行列式為零，即為描述軸向波數kns與無量綱頻率Ω關系的特征方程

(14)

從上式可知，根據給定的頻率，可求得一系列的軸向波數，即可得到系統各支波的頻散特性。

2 數值計算

耦合系統的特征方程是一個復平面上的高階超越方程，必須采用數值方法來求解。本文采用的是Winding-Number圍線積分法來求解其復根[19,20]。這些方程的解可按λ的值分為三類[3]：當λ為實數時，它表示沿圓柱殼軸向的傳播波；當λ為純虛數時，它表示近場衰減波；當λ為復數時，有兩種情形：一種為Re(λ)±Im(λ)的形式，表示隨傳播距離呈指數衰減的耗散波；另一種為±Re(λ)+Im(λ)的形式，它必須成對出現，表示一對沿相反方向傳播，而沿其中一個方向衰減的共扼衰減駐波。

取計算參數與文獻[6]相同：殼體參數材料為鋼，彈性模量E=2.1×1011N/m2，泊松比ν=0.3，密度ρs=7 850 kg/m3，厚徑比為h/R=0.02。流體自由波傳播速度cf=1 500 m/s，流體密度ρf=1 000 kg/m3。給定不同的無量綱頻率Ω和周向波數n，求解頻散方程即可得到相應的無量綱軸向波數λ。

2.1 對比與驗證

理想流體是對實際問題的一種簡化，忽略了流體的粘性，即其膨脹粘性系數μ和剪切粘性系數μb均為零，因而其中只存在縱波，也就是上述推導中與橫波相關的勢函數ψ為零。于是圓柱殼浸沒在理想流體中時，其結合面的連續條件發生了變化，僅存在徑向的速度連續。而將勢函數ψ為零代入方程(9)會發現，在周向和軸向速度的表達式中仍然存在關于與縱波相關的勢函數φ的項，與上述不符。描述粘性流場和理想流場的波動方程不僅僅是粘性系數上的差別，兩種方法的思路和建立途徑都是不一樣的，直接將μ=μb=0代入耦合系統的頻散方程中無法退化得到理想流體中的結果。當粘性流場中流體的膨脹粘性系數μ和剪切粘性系數μb取趨近于零的極小值而且結果收斂時，粘性所產生的影響變得極其微弱，流體可視為理想的。將μ=μb=10-10kg/m·s，μ=μb=10-12kg/m·s和μ=μb=10-15kg/m·s分別代入特征方程中并比較后可發現，當μ=μb=10-15kg/m·s時，計算結果趨于收斂。因此，選取周向模態數n=0，μ=μb=10-15kg/m·s時的計算結果與文獻[6]中理想流體的相關計算結果進行比對，如圖2所示。

圖2 計算結果與文獻值的比較

圖中橫軸表示無量綱頻率Ω，縱軸表示無量綱軸向波數λ，在橫軸上方繪制λ實部的絕對值，橫軸下方繪制其虛部絕對值的負值。由圖可知，本文的計算結果與文獻吻合較好，說明了本文方法的正確性和計算程序的可靠性。

2.2 耦合系統的頻散曲線

為了分別研究剪切粘性系數μ和膨脹粘性系數μb對耦合系統頻散特性的影響，取表1所示的3組數據進行對比研究，并分別標記為參數1、參數2和參數3[21]。需要說明的是，這里所選的參數1和參數3分別對應水和甘油的粘性系數。但是，水和甘油相比，在密度、聲速等上都有較大的差距。如果單純地拿出水和甘油作為介質進行對比分析，就引入了密度、聲速等的變化帶來的對頻散特性的影響，不利于結論的得出。因此，為了能夠更明確地說明流體粘性對耦合系統頻散特性的影響，這里只選取兩種介質的剪切粘性系數和膨脹粘性系數，其他計算參數均不變。

表1 剪切粘性系數μ和膨脹粘性系數μb的取值

將得到的結果繪成不同周向模態下耦合系統傳播波的頻散特性曲線，如圖3～5所示，圖中曲線上的數字為頻散方程軸向波數解的序號s。

2.3 殼體中結構波的性質

從頻散曲線可知，對于任一個周向模態，殼體中都存在三個傳播波，分別對應于圖中的s=1，s=2和s=3三條曲線。由上至下三個波的相速度在高頻處分別接近于平板中的彎曲波，軸中的扭轉波和平板中拉伸波的相速度。當n=0時，三支傳播波總是出現在Ω=0處；隨著n的增大，它們的起始頻率也增大，且起始頻率的大小與周向模態數成正比。此外，傳播波s=1完全位于聲速線以上，是亞聲速波，不能向外輻射能量；傳播波s=2和傳播波s=3位于聲速線以下是超聲速波，可以向外輻射能量。當周向波數增大時，第一支波逐漸接近聲速線，二者甚至會相交，反映出第一支波與流體的作用增強，甚至可能向外輻射能量。

圖3 參數1下耦合系統的頻散曲線

圖4 參數2下耦合系統的頻散曲線

圖5 參數3下耦合系統的頻散曲線

從圖中發現，耦合系統中不僅存在著沿圓柱殼軸向的傳播波，還存在著耗散波，某些周向模態下甚至會出現近場衰減波(將后兩者統稱為復數波，下同)，例如圖3(a)中的曲線s=4就是周向模態n=0時系統中耗散波的頻散特性曲線，而3(c)中的曲線s=4就是周向模態n=5時系統中近場衰減波的頻散特性曲線。為了定性地說明殼體中衰減波的性質，將求得的軸向波數代回原方程(18)，定義特征向量：

(20)

(21)

它們表示對任一特定的波(n，s)，殼體三個方向上位移分量的比值，從而可以說明殼體運動是以軸向拉伸、周向扭轉或者徑向彎曲運動為主。

以參數3為例，將計算結果繪制成不同粘性系數下，耦合系統復數波的幅值比曲線，如圖6所示。圖中橫軸表示無量綱頻率Ω，縱軸表示特征向量Φns和Ψns，在橫軸的上方繪制Φns的絕對值，橫軸下方繪制Ψns絕對值的負值。

可以看出，對于耦合系統中的復數波，其波的數量會隨著周向模態數的增大而增多，且不同的波的類型也不盡相同，有些波的類型甚至會隨著頻率的增加而發生變化。比如，當μ=0.000 984 kg/m·s，μb=0.002 5 kg/m·s，n=5，s=7時，剛開始時這支波以彎曲波為主，隨著頻率的增大，其扭轉波的成分逐漸增大。此外，對于耦合系統而言，當衰減波是以扭轉或拉伸波為主要成分時，其虛部相應很小；相應地，當彎曲波成為衰減波的主要成分時，其虛部相應很大。

3 流體粘性對耦合系統頻散特性影響

參考文獻[6]的數據，以n=0為例，將理想流場和粘性流場中耦合系統的頻散特性曲線進行對比，如圖7所示。

從圖中可以看到，流體粘性對耦合系統頻散特性的影響主要體現在波的起始階段或者低頻帶，具體表現為以下三個方面：

圖6 參數3下耦合系統復數波的幅值比曲線

圖7 理想流場和粘性流場中耦合系統的頻散特性曲線對比

1)流體粘性會導致傳播波無量綱軸向波數λ的值減小，尤其體現在第一支上面。大部分復數波波數的實部基本都與粘性系數成正比，虛部則與之成反比。

2)流體粘性會使傳播波的起始頻率增大，并增加耦合系統中復數波的數量。而且，傳播波的起始頻率即為增加的復數波的截止頻率。流體對流固耦合系統的影響主要集中在中低頻段，并且考慮其粘性時增大了耦合系統的能量損耗。因此當頻率較低時，某些波會因為粘性的影響無法向外傳播，變成了近場衰減波，體現在圖上即為傳播波的起始頻率增大和復數波的數量變多。

3)對于復數波s=4，粘性的增大使其無量綱軸向波數λ從復數變為虛數，即它從耗散波變為近場衰減波。

為了能夠更直觀地研究剪切粘性系數μ和膨脹粘性系數μb對耦合系統頻散特性的影響，將三組不同參數下的計算結果進行比較，并引入相對變化參數Error的概念，將其定義為[22]：

式中i和j分別對應所選參數的編號。

以參數1和參數2為例，將上文計算得到的無量綱波數代入式(22)和(23)，繪制不同粘性系數時，相對變化參數的變化曲線，如圖8所示。圖中橫軸表示無量綱頻率Ω，縱軸表示相對變化參數Error，在橫軸的上方繪制ErrorijRe的絕對值，橫軸下方繪制ErrorijIm絕對值的負值。

分析圖8中傳播波的相對變化參數曲線，并結合相應的頻散特性曲線可以發現，剪切粘性系數μ對耦合系統中傳播波頻散特性的影響主要體現在以下兩個方面：

圖8 相對變化參數曲線(參數1和參數2)

1)隨著剪切粘性系數μ的增大，傳播波s=1的起始頻率會增大，而且其增大速度隨著周向模態數n的增大而變慢，直至為零。

2)剪切粘性系數μ會影響傳播波軸向波數的大小，而且大多數情況下，在波的起始階段影響較大。當n=0時，三支傳播波的相對變化參數Error最大約為0.045%；當n=1時，相對變化參數Error最大約為24%；當n=5時，相對變化參數Error最大約為2.7%。

而對于耦合系統中的復數波，剪切粘性系數μ的影響也體現在以下三個方面：

1)隨著剪切粘性系數μ的增大，耦合系統中復數波的個數會增加；而隨著周向模態數n的增大，其數量逐漸趨于一致。

2)隨著剪切粘性系數μ的增大，復數波s=5的截止頻率會增大，而且其增大速度會隨著周向模態數n的增大而變小，直至為零。

3)剪切粘性系數μ會影響復數波軸向波數的大小，而且對復數波s=4的影響相對較大。當n=0時，復數波實部的相對變化參數ErrorRe最大約為5.3%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為1.7%；當n=1時，其實部的相對變化參數ErrorRe最大約為0.027%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為0.022%；當n=5時，其實部的相對變化參數ErrorRe最大約為0.11%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為0.037%。

膨脹粘性系數μb對耦合系統中波的頻散特性的影響，可以通過觀察圖11中的相對變化參數曲線，并結合相應的頻散特性曲線來得到，主要體現在兩個方面：

1)對于傳播波而言，膨脹粘性系數μb的影響主要集中在s=1這支波上。隨著膨脹粘性系數μb的增大，僅傳播波s=1的起始頻率在周向模態數n=5時出現增大的現象。膨脹粘性系數μb會影響傳播波軸向波數的大小，且其相對變化參數Error的最大值基本出現在無量綱頻率Ω=2左右的位置。當n=0時，三支傳播波的相對變化參數Error最大約為25.1%；當n=1時，相對變化參數Error最大約為11.7%；當n=5時，相對變化參數Error最大約為24.9%。

2)至于復數波，隨著膨脹粘性系數μb的增大，僅復數波s=6的截止頻率在周向模態數n=1時出現增大的現象。膨脹粘性系數μb會影響復數波軸向波數的大小，且其相對變化參數Error的最大值基本出現在無量綱頻率Ω=2之前的頻段。當n=0時，復數波實部的相對變化參數ErrorRe最大約為2.25%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為0.72%；當n=1時，其實部的相對變化參數ErrorRe最大約為72%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為7.42%；當n=5時，其實部的相對變化參數ErrorRe最大約為73%，虛部的相對變化參數ErrorIm最大約為1.3%。

4 結 論

本文首先推導出粘性流場中無限長圓柱殼耦合系統的動力方程和特征方程，然后運用數值方法求解，最終得到其頻散特性曲線。通過對粘性流場中無限長薄圓柱殼頻散特性的分析，并結合復數波的幅值比曲線以及無量綱軸向波數的相對變化參數曲線，可以得到以下結論：

1)對于耦合系統而言，當衰減波是以扭轉或拉伸波為主要成分時，其虛部相應的很小，這很小的虛部也極有可能是由占很小成分的彎曲波所產生的。虛部很小表明了其與流場進行能量交換的能力也較弱。相應地，當彎曲波成為衰減波的主要成分時，其虛部相應很大，與周圍流場之間的能量交換也較強。

2)剪切粘性系數μ的增大會帶來耦合系統中復數波個數的增加，膨脹粘性系數μb則不會。

3)剪切粘性系數μ的增大會帶來傳播波(主要體現在s=1這支波上)起始頻率和復數波截止頻率的增大，而且其增大速度會隨著周向模態數n的增大而變小，直至為零。膨脹粘性系數μb的增大則僅會使傳播波s=1的起始頻率在周向模態數n=5時和復數波s=6的截止頻率在周向模態數n=1時出現增大的現象。導致這一現象的原因可能是流體對耦合系統振動特性的影響主要集中在低頻，以及流體粘性的存在使得耦合系統的能量損耗。

4)剪切粘性系數μ和膨脹粘性系數μb都會影響耦合系統中各支波軸向波數的大小。相對而言，膨脹粘性系數μb對軸向波數的改變更為明顯，其相對變化參數的最大值可達73%。

5)剪切粘性系數μ和膨脹粘性系數μb改變所引起的相對變化參數，其峰值大部分都位于波的起始階段或者低頻帶，也就是說流體粘性對耦合系統頻散特性的影響主要集中在波的起始階段或者低頻帶。

需要指出的是，本文用來分析圓柱殼體結構振動的Flügge薄殼理論是基于Love-Kirchhoff假設的，忽略轉動慣量、橫向剪切變形和橫向擠壓，僅適用于中低頻和小的厚度半徑比的情況，因此本文的計算結果同樣僅適用于中低頻和小的厚度半徑比的情況。

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