框架結構損傷定位的比例柔度矩陣分解法試驗研究

安永輝， 歐進萍

(大連理工大學土木工程學院， 遼寧 大連116023)

引 言

結構損傷識別的核心問題之一是尋找與結構動力特性密切相關且對損傷敏感的特征參數[1]。結構損傷部位的剛度、強度等力學性能降低，從而導致動力特性發生改變。不同的損傷引起的結構模態參數的改變也不相同，因此可以基于結構模態參數的改變來識別結構損傷[2,3]。柔度矩陣由模態頻率和振型構建而成，也集成了這兩個模態參數的優點，在基于振動的損傷識別方法中有著較多應用[4～6]。

損傷識別關鍵要把握兩點[7]：第一，選取或構建能反映損傷的特征參數。第二，選取合適的數學工具來處理選定的特征參數使之對損傷更敏感，更好地建立與損傷的聯系。這兩點直接關系到損傷識別的精度。作者在早期工作中提出了基于柔度矩陣LU分解的損傷定位方法[8]，并利用直接識別得到的振型(未進行質量歸一化處理)對幾個單、多損傷工況進行了初步的數值模擬研究并取得成功。該法從結構振動響應入手，首先識別出結構前幾階模態振型和頻率，基于直接識別的模態參數構建結構模態柔度矩陣；然后對損傷前后的柔度矩陣差進行LU分解；最后引入以往在模態振型上使用的曲率法對U矩陣進行處理來構建損傷指標對損傷進行定位。但是嚴格意義上說，柔度矩陣應該使用質量歸一化振型構建，所以基于直接識別振型構建的矩陣不能稱為柔度矩陣，并且所提出的方法需要進一步進行試驗驗證。

由于柔度矩陣由模態頻率和質量歸一化振型構建而成，這就需要測試結構輸入或者需要至少一個測點上同時知道輸入和輸出才能得到質量歸一化振型。但是對于很多工程結構而言，其所受的環境激勵等隨機激勵很難或者無法通過測試得到，導致無法獲得質量歸一化振型[9]。許多研究者已提出了環境激勵下或輸入未知時構建柔度矩陣的方法[5,10，12]。其中段忠東等[11，12]提出了測試自由度完備和非完備情況下構建結構比例柔度矩陣的方法，指出比例柔度矩陣與真正的柔度矩陣僅相差一個比例因子。比例柔度矩陣這一概念的提出使得基于柔度矩陣的損傷識別方法可以在環境激勵或未知激勵的情況下使用。因此，本文將比例柔度矩陣的概念用在提出的損傷定位方法中。獲得了結構損傷前后測點的加速度后，可直接構建比例柔度矩陣進行損傷定位：當質量矩陣在各測點處的元素相等時，文中提出了一種簡便的構建比例柔度矩陣的方法,其余情況可參考文獻[11，12]構建柔度矩陣。該方法不需要建立有限元模型，節省了大量建模和模型修正工作量；同時避免了由于有限元模型中各種不確定因素給結構評估和健康監測帶來的影響[13]。

文中首先模擬研究了某20層框架結構在基底白噪聲激勵下的單、多損傷工況。然后在University of Illinois at Urbana-Champaign設計、建造了一個6層剪切型集中質量框架模型，基于該模型重點進行了其振動臺試驗和脈沖激勵試驗下的單損傷和多損傷工況驗證，并得出了一些有益的結論。

1 基于比例柔度矩陣LU分解的損傷定位方法

提出的方法基于比例柔度矩陣的LU分解和曲率法，下面給予詳細介紹。

1.1 方法的理論基礎

1.1.1 比例柔度矩陣的構建

如下方程所示[14]，柔度矩陣F可用動力測試模態參數(模態頻率和振型)來表示

(1)

結構質量矩陣為對角矩陣，當質量矩陣中各測點位置對應元素相等時，假設其質量矩陣為

M=μI

(2)

式中μ為常數，I為維數與M相同的單位陣。假設直接識別得到的振型與質量歸一化振型之間的關系為

(3)

式中κi為常數。結構的質量歸一化振型φi可通過下式求得

(4)

將式(2)，(3)帶入式(4)可得

(5)

所以可求得

(6)

(7)

將式(3)帶入式(1)可得結構的真實的柔度矩陣F為

(8)

假設質量矩陣M=I，即μ=1時結構的比例柔度矩陣Fp為

(9)

比較式(8)和(9)，可得兩個柔度矩陣之間的關系為

Fp=μF

(10)

可知兩者之間只相差一個比例因子μ，并且與文獻[11，12]指出的該比例常數為結構的第一階模態質量這一結論保持一致。

(11)

(12)

得到U矩陣后，對于m×m維的U矩陣，定義向量UU為矩陣U的每列元素的平方和，即

(13)

式中符號“.*”指點乘，即將該符號前后兩個矩陣對應位置元素相乘。

1.1.3 基于向量UU曲率的損傷指標

曲率模態法由Pandey等[17]于1991年提出，之后研究者基于該法做了很多研究，證明了曲率方法對損傷的敏感性。對位移模態進行“中心差分”后得到振型的曲率為[17]

(14)

式中v為模態位移，h為數值模型中的單元長度。

目前，曲率方法已經成為損傷識別領域的一個基本數學工具。類似地，本文定義向量UU的“曲率”如下

(15)

式中Ck是節點k處的曲率，(UU)k是矩陣UU的第k個元素。

為方便在圖中觀察，定義損傷指標DI如下

DIk=(Ck)*

(16)

式中 (Ck)*為Ck的歸一化值，即將最大值變為1。

1.1.4 比例柔度矩陣對損傷指標的影響

下面簡要討論一下基于柔度矩陣和比例柔度矩陣對文中提出的損傷指標DI有何影響。

基于真正的柔度矩陣差FΔ進行損傷定位時，

(17)

對FΔ進行LU分解，結果見下式

(18)

記此時向量UU為UU*，

(19)

由于UU和UU*是成比例的，則根據式(15)計算出的向量UU和UU*的曲率在每個測點處也是成比例的，并且比例因子相同；但最終的損傷指標，即向量UU和UU*的歸一化曲率則相同。所以基于比例柔度矩陣和基于真正的柔度矩陣進行損傷定位時，提出的方法中最終的損傷指標是相同的，損傷定位結果也是相同的。

1.2 方法的步驟

1)獲得結構損傷前后測點的振動響應；

2)基于NExT-ERA法(針對環境激勵)或者ERA法(針對脈沖激勵)等參數識別方法識別結構的前幾階模態參數；

3)構建質量歸一化振型，對于文中結構或常見的質量均勻分布的結構，可假設其質量矩陣為單位陣進而獲得假設情況下的質量歸一化振型進而構建損傷前后的比例柔度矩陣；其他情況下的比例柔度矩陣構建參考文獻[11，12]；

4)對比例柔度矩陣差進行LU分解；

5)獲得向量UU；

6)計算向量UU在各個測點處的“曲率”并將曲率值對其最大值歸一化，其中正向突起處與損傷位置相關；

7)為了減弱噪聲及模態識別的不確定性對損傷識別結果帶來的影響，采用多組不同的數據按照前6個步驟進行多次識別，取多次識別結果的平均值作為最終損傷識別結果；尤其對小損傷，將多次識別結果的平均值作為最終結果可較大提高損傷識別準確率。

2 數值驗證

2.1 數值模型

為了檢驗提出方法的有效性，選取某20層集中質量剪切型框架結構(圖1)作為研究對象進行數值模擬驗證：該結構中ki=600 kN/m，mi=500 kg，i=1,2,3,…,20，阻尼比ζ=0.02，獲得剛度矩陣K和質量矩陣M后，Rayleigh阻尼矩陣C可由K，M求出，則結構基本運動方程為

(20)

圖1 某20層剪切型框架結構

基底隨機激勵下結構的狀態空間矩陣As，Bs，Cs，Ds可用下列式子表示

式中As為系統矩陣，Bs為輸入矩陣，Cs為輸出矩陣，Ds為直接傳遞矩陣。

脈沖激勵下該結構的狀態空間矩陣中As和Cs不變，Bs和Ds如下：

式中G為脈沖激勵輸入位置向量，沒有激勵的自由度處G元素為0。

獲得結構的狀態空間矩陣As，Bs，Cs，Ds后，可在SIMULINK里建立不同激勵形式下相應的結構模型來獲得加速度響應。需要注意的是SIMULINK里通過Band-limited white noise模塊來施加隨機激勵來模擬環境激勵，為了使損傷前后的隨機激勵不同，需在這個模塊里設置不同的seed。損傷通過折減某層的剛度k來模擬，在損傷前后各測點的加速度響應里加入5%的噪聲模擬測試誤差及環境噪聲。

2.2 損傷工況及結果

本文側重于試驗驗證，數值模擬部分僅以基底白噪聲激勵(模擬環境激勵)下的三個損傷工況為例來進行驗證。如表1所示，三個損傷工況分別為單損傷、雙損傷和三損傷工況。

表1 數值損傷工況

獲得各損傷工況中損傷前后的加速度響應后，假設結構質量陣M為單位陣對識別振型進行處理，選取結構前4階振型，然后按照1.2節提出方法的具體步驟進行10次損傷識別并取平均值，最終的損傷定位結果分別如圖2,3,4所示，圖中第二部分為第一部分中的正值部分的直方圖。

圖2 5%噪聲下損傷工況S1數值模擬結果

圖3 5%噪聲下損傷工況S2數值模擬結果

圖4 5%噪聲下損傷工況S3數值模擬結果

從圖2,3,4中可以看出無損傷處的損傷指標(即歸一化曲率)接近于0；同時從圖2可知當第6層損傷時，節點5和6處的損傷指標值明顯突起，其中5處正向突起；圖3可知當第11,12層損傷時，節點10,11處的損傷指標值明顯正向突起，12處的損傷指標值負向突起；圖4可知當第5,10,18層損傷時，節點4,9,17處的損傷指標值明顯正向突起，5,10,18處的損傷指標值負向突起。以上結果及未列舉出的大量的數值模擬結果均呈現相同的規律：節點(x-1)處的損傷指標值正向突起代表結構第x層損傷。至此，無論單損傷還是多損傷工況的數值模擬結果均成功定位了預設損傷。

3 試驗驗證

為了進一步試驗驗證提出方法的可行性，在美國University of Illinois at Urbana-Champaign的智能結構技術實驗室里設計、建造了一個6層剪切型集中質量框架模型，如圖5所示。該框架層高為210 mm，寬度為260 mm，每層的彈簧鋼柱子的尺寸為50 mm×1.27 mm，每層的集中質量(包括塑料梁、鋼塊、螺釘)為2.17 kg。經過模態試驗測試，該模型的前6階固有頻率依次為1.72,5.16,8.34,11.06,13.19,14.59 Hz。預備幾個厚度稍小(也是美國鋼板標準厚度之一)、其余尺寸不變的柱子作為損傷柱，試驗中通過將某層柱子更換為損傷柱來模擬該層的損傷。

圖5 試驗模型及振動臺

3.1 試驗設備

圖6 地震臺試驗各設備連接示意圖

圖7 小錘脈沖激勵試驗示意圖

圖8 VIBPILOT儀

采用兩種不同形式的試驗激勵方式來驗證提出的方法，圖6,7所示分別為地震臺試驗和脈沖激勵試驗中各設備和儀器之間的連接示意圖。圖8所示為VIBPILOT信號發射與采集儀，它既能產生信號并通過控制器輸送給振動臺，同時又能采集模型的振動響應；試驗采集過程中采用Butter低通濾波對數據進行處理，截止頻率為15 Hz，加速度傳感器的靈敏度約為100 mV/g。

3.2 試驗工況及結果

如表2所示，8種試驗工況用來進一步驗證提出的方法在不同激勵下的損傷定位效果?；谇笆龇椒▽γ總€損傷工況進行識別。

表2 試驗損傷工況

單次損傷識別試驗結果如圖9所示，根據數值模擬結果呈現的規律來確定損傷位置：當結果為節點(x-1)處損傷指標正向突起時，結構第x層損傷；圖9所示試驗結果均成功定位出損傷層。不同激勵下的單損傷和多損傷工況試驗結果進一步驗證了所提出的損傷定位方法可以準確地對損傷進行定位，并且該法不受激勵形式的影響，只要模態參數識別準確，損傷定位結果就準確。同時試驗發現，若用直接識別振型構建柔度矩陣，識別效果不好甚至錯誤。

4 結 論

本文提出了基于比例柔度矩陣LU分解和曲率的損傷定位方法，并通過大量的數值和試驗工況對這個新方法進行了模擬和試驗驗證，主要結論如下：

1)文中研究了不同激勵形式下的單損傷和多損傷工況，數值和試驗結果均表明提出的損傷定位方法能對損傷進行準確地定位；噪聲水平5%下，該方法可對單元剛度降低10%的小損傷進行準確定位。

2)文中提出的損傷定位方法可適用的結構激勵方式多樣，可以是環境激勵、脈沖激勵、基底隨機激勵等，并且不需要測量輸入，可用于結構實時健康監測和定期檢測。

3)當質量陣的各測點處對應元素相等時，還提出了一種簡便的構建比例柔度矩陣的方法。

4)文中提出的損傷定位方法只需損傷前后的振動響應數據，不需要結構有限元模型，避免了復雜的數值模型建模及模型修正工作；并且構建一個滿足精確度的柔度矩陣只需要結構的前幾階低階模態參數，這些參數基于目前的參數識別技術便可得到較為準確的識別，這些優點均為該方法的工程應用奠定了基礎。

圖9 8個試驗損傷工況的損傷定位結果

致謝本文試驗模型為第一作者在University of Illinois at Urbana-Champaign建立，該模型得到了B F Spencer,Jr教授的經費資助，在此表示衷心的感謝！

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