大加減速軸向移動系統的振動控制

劉 嶼， 翁 軒， 吳忻生， 劉偉東

(華南理工大學自動化科學與工程學院，廣東 廣州 510640)

引 言

軸向移動結構被廣泛的應用于高速高精度電子制造裝備。然而裝備中軸向移動結構的彈性變形將產生振動現象，振動則是在時間和空間尺度方面都將直接制約裝備的生產性能[1，2]。因此，如何快速地消除精密電子制造裝備中軸向移動結構的振動現象，已成為制約精密電子制造，特別是集成電路(IC)封裝工序的瓶頸問題。

軸向移動結構是一類具有強耦合、非線性和無窮維的典型分布參數系統，因此對其控制策略設計具有很大的難度，傳統的控制方法大多采用降階模型進行控制設計，但僅對幾個關鍵模態進行控制時，未建模高頻模態有可能導致溢出效應，從而影響系統的穩定性;同時若需提高控制精度，則控制器階數也將隨柔性模態的增加而增加，因此從工程角度很難實現[3，4]。邊界控制因其能避免控制溢出和易構造Lyapunov函數等獨特優勢而非常適合柔性結構的振動主動控制[5～7]。近年在軸向移動結構振動控制方面的研究成果將邊界控制、自適應和Lyapunov直接法等相結合[8～11]，基于結構無限維模型直接進行振動主動控制設計，取得較好效果并避免了溢出問題。然而，目前國內外研究成果都假設軸向移動結構的運動為勻速運動，這顯然只考慮了其中最為簡單的運動方式，因為絕大多數軸向移動結構的運動不僅是變速運動，通常還是大加減速和高速運動，結構具有很強的幾何非線性特性[12]。因此，目前國內外關于軸向移動結構的動力學模型以及振動主動控制方法都很難適用于大加減速軸向移動結構的振動控制。

傳統的直線/指數加減速在系統啟動和結束時存在加速度突變，易產生沖擊，柔度差。而S曲線加減速通過對啟動階段加速度的衰減來保證電機的性能和減小沖擊，具有較好的柔度，因此在高速高精密電子制造裝備中得到廣泛的應用。表面貼裝技術(SMT)中的軸向移動結構具有典型的大加減速特征，其最大加速度通常達到5g以上(g為重力加速度)，其結構振動呈現出復雜的動態特性。本文以作者所在團隊自主研發SMT中軸向移動結構為研究對象，建立其包含結構幾何非線性特性的動力學模型，并基于該無限維分布參數模型，采用Lyapunov直接法和S曲線加減速法，設計邊界控制算法對大加減速軸向移動系統的振動進行主動控制，從而抑制其振動，提高裝備的加工精度。其后基于設計的控制算法，證明了控制系統的穩定性和一致有界性。最后給出了所設計控制器的有效性和可靠性仿真研究結果。

1 軸向移動系統動力學模型

在本文中，做如下簡寫假設：φ(·)(x,t)=(·), (·)x=?(·)/?x, (·)t=?(·)/?t。

圖1 貼片機(SMT)中典型的軸向移動系統

圖1為SMT中典型軸向移動系統。坐標系原點O位于其左輪端，借鑒文獻[13]的處理方式，將整個軸向移動結構劃分為控制段L和未控制段L1，控制輸入U(t)作用于控制段L的右端，且方向向上，未控制段的振動對控制系統的影響視為末端擾動d(t)作用于控制器，w(x,t)為t時刻在軸向移動結構位置x處的偏移量。

軸向移動系統的運動方程可由廣義Hamilton原理表示為[14]

(1)

式中δ為變分操作符，t1和t2為兩時刻，t1

軸向移動結構的動能Ek可表示為

(2)

式中m為結構單位長度質量，速度v(即v(t))為

v=v0+at

(3)

式中v0為初始速度，a(即a(t))為加速度。

軸向移動結構的勢能Ep可表示為

(4)

式中 結構的變張力T可表示為[10]

(5)

式中 常數T0為結構未擾動情況下的張力。

描述位移-應變關系的ε可表示為

(6)

結構右邊界非保守力所做虛功δWc可表示為

(7)

式中 常數c為軸向移動結構的粘性阻尼系數，U和d分別為U(t)和d(t)的簡寫。

結構右邊界處的虛擬動量δWb可表示為

δWb=mv[wt(L,t)+vwx(L,t)]δw(L,t)

(8)

將式(2)，(4)，(7)和(8)帶入式(1)中，并應用變分和分部積分可得軸向移動系統的控制方程

2mvwxt+mv2wxx+cwt+cvwx=0

(9)

其中?(x,t)∈(0,L)×[0, +∞)。

則軸向移動系統的邊界條件為

(10)

其中?t∈[0, +∞)。

假設1對于結構運動速度v(t)、加速度a(t)和末端擾動d(t)，若存在常數a1,a2,a3∈R+，使得0≤v(t)≤a1, |a(t)|≤a2, |d(t)|≤a3, ?t∈[0,+∞)。該假設是合理的，因為v(t)和d(t)為具有有限能量的連續函數，因此它們是有界的[8～10]。

2 控制器設計

為了抑制軸向移動結構因末端未知擾動引起的振動，本文利用Lyapunov直接法在結構右邊界構造一個邊界控制器，通過控制器的控制作用減小軸向移動結構的振動偏移量。

2.1 預備知識

引理1若φ1(x,t),φ2(x,t)∈R,σ>0其中x∈[0,L],t∈[0, +∞)，則有[5～7]

(11)

引理2若φ(x,t)∈R為在(x,t)∈[0,L]×[0, +∞)的函數，且滿足邊界條件[5～7]

φ(0,t)=0, ?t∈[0,+∞)

(12)

則有

(13)

2.2 邊界控制器

若取Lyapunov函數為

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(14)

其中能量項V1(即V1(t))為

(15)

其中交叉項V2(即V2(t))為

(16)

其中附加項V3(即V3(t))為

(17)

其中γ,λ,k2,k3>0。

引理3由式(14)定義的Lyapunov函數具有如下上下界

0≤?1(V1+V3)≤V≤?2(V1+V3)

(18)

其中?1,?2>0。

證應用不等式(11)～(13)，由式(16)可得

(19)

將上不等式改寫為

-ξV1≤V2≤ξV1

(20)

若適當的選取ξ，可以得到

(21)

將不等式(21)分別帶入式(20)可得

0<ξ1V1≤V1+V2≤ξ2V1

(22)

結合Lyapunov函數式(14)，由式(22)可得

0≤?1(V1+V3)≤V≤?2(V1+V3)

(23)

其中?1=min[ξ1, 0.5(λk2+γk3)]>0，?2=max[ξ2, 0.5(?k2+?k3)]>0。證畢。

引理4由式(14)定義的Lyapunov函數的時間導數具有如下上界

Vt≤-?V+ε

(24)

其中?,ε>0，V為V(t)簡寫。

證將式(14)對時間求導有

Vt=V1t+V2t+V3t

(25)

其中由式(15)可得

V1t=A1+A2+A3+A4

(26)

將式(9)帶入A1的表達式，并應用分部積分得

(27)

對A2和A3的表達式進行分部積分可得

(28)

將式(27)～(28)和A4的表達式帶入式(26)中，再結合系統邊界條件式(10)和不等式(11)～(13)有

(29)

式中δ1為任意正常數。

將式(16)對時間求導可得

V2t=B1+B2+B3

(30)

對式B1進行分部積分可得

(31)

將式(9)帶入B2的表達式，并應用分部積分可得

(32)

將式(31)～(32)和B3代入式(30)，并結合系統邊界條件式(10)和不等式(11)～(13)有

(33)

式中δ2,δ3,δ4,δ5為任意正常數。

將式(17)對時間求導可得

V3t=(λk2+γk3)w(L,t)wt(L,t)

(34)

分別將式(29)，(33)～(34)帶入式(25)中可得

(λk2+γk3)w(L,t)wt(L,t)+λdw(L,t)+

(35)

若設計邊界控制器為

U=-k1wx(L,t)-k2wt(L,t)-k3w(L,t)

(36)

式中k1為正的比例系數。

將邊界控制器(36)帶入式(35)，并結合不等式(11)～(13)有

-?3(V1+V3)+ε

(37)

式中δ6,δ7為任意正常數。當選擇適當的參數值γ,λ,k1～k3,δ1～δ7滿足如下條件：

τ6=γc+λm-λcδ4-2λmaδ5>0,τ7=2λc+γc-λm>0,τ8=2γc+2λc-2λm>0,

λdw(L,t)+γdwt(L,t)|，

由不等式(37)和不等式(23)可得

Vt≤-?V+ε,

(38)

其中?=(?3/?2)。證畢。

邊界控制器式(36)中的w(L,t)和wx(L,t)可分別由位移和傾角傳感器測得，由w(L,t)后向差分算法計算可得到wt(L,t)。此控制器設計不需知道擾動量的精確模型，因此對系統參數的變化具有穩定魯棒性。

2.3 穩定性分析

定理1由式(9)～(10)所描述的大加減速軸向移動系統，在假設1條件和控制器式(36)作用下有:

1) 一致有界：閉環軸向移動結構的振動偏移狀態量w(x,t)∈R一致包含于緊集Ω1中

Ω1∶={|w(x,t)|≤χ1}

(39)

2) 一致最終有界：閉環軸向移動結構的振動偏移狀態量w(x,t)∈R最終收斂于緊集Ω2中

(40)

證對式(38)乘以e?t，可得

(41)

對上述不等式積分得

(42)

其中上式表明V有界。

由不等式(13)、等式(15)和不等式(18)可得

(43)

重排不等式(43)，并將式(42)帶入有

(44)

其中?(x,t)∈[0,L]×[0, +∞)，則進一步可得

(45)

由式(44)和(45)可知定理1得以證明。證畢。

3 仿真分析

本節數值仿真研究軸向移動系統在擾動作用下的振動情況,并驗證所設計邊界控制算法式(38)的有效性。圖2給出了本文所使用的S曲線加減速法示意圖, 表1為軸向移動系統的詳細參數。

圖2 S曲線加減速法示意圖

圖中amax=3.5g，g為重力加速度，時間坐標為[t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7]=[1, 2, 3, 7, 8, 9, 10]。

表1 軸向移動系統參數

軸向移動系統的初始條件為

w(x,0)=wt(x,0)=0

(46)

末端擾動d(t)為

(47)

當選擇邊界控制器參數k1=k2=k3=1×107, 圖3～6給出了數字仿真結果，其中圖3為軸向移動結構分別在有、無控制作用下的振動偏移量，圖4則具體給出了結構中部(x=0.5 m)和右端處(x=1 m)的振動偏移圖，圖5給出了在邊界控制作用下，結構中部和右端處的振動偏移對比圖, 圖6則給出的是邊界控制輸入。由上述仿真結果可得出如下結論：

1)由仿真結果圖3，4可知，當邊界控制輸入作用于大加減軸向移動結構后，結構的振動偏移量都有數千倍的減少，驗證了本文設計的邊界控制算法對抑制結構的振動是非常有效的；

2)由仿真結果圖4，5可知，雖然在軸向移動結構中部(x=0.5 m)處未布置邊界控制器，但在邊界控制輸入作用下，結構中部的振動也有非常顯著的減小，體現了邊界控制技術在柔性結構振動控制方面的獨特優勢；

圖3 軸向移動結構偏移量

圖4 軸向移動結構偏移量

圖5 控制作用下軸向移動結構偏移量

3)由仿真結果圖4，5可知，因為大加減速的改變直接沖擊軸向移動結構速度和動力學特性，從而影響結構的振動偏移量，特別在t=2 s和t=7 s左右尤為明顯。

4) 由仿真結果圖6可知，邊界控制輸入范圍為2.5～4 N，而負值表示控制作用力與外部干擾方向相反。

5) SMT中軸向移動結構振動的有效控制，將直接減小結構振動幅值，對提高制造裝備特別是精密電子制造裝備的加工精度具有十分重要意義。

圖6 邊界控制輸入

4 結 論

本文研究了具有大加減速軸向移動結構在外部干擾作用下的振動主動控制問題。基于結構幾何非線性特性和Hamilton原理建立了結構無窮維分布參數模型，采用Lyapunov直接方法，在結構右邊界設計了邊界控制器用以抑制結構振動，仿真結果表明研究取得很好的結構振動控制效果。本文所設計邊界控制器除了能避免控制溢出問題，還具有較強的魯棒性。利用Lyapunov直接法對控制系統的穩定性和有界性給予了驗證。本文研究成果對精密電子制造裝備中大加減速軸向移動結構的振動控制具有理論和實際指導意義。

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