采用多自由度轉子模型的電磁軸承支承特性測試方法

蔣科堅， 祝長生， 喬曉利， 陳亮亮

(1．浙江理工大學信息學院，浙江 杭州 310018； 2．浙江大學電氣工程學院，浙江 杭州 310027)

引 言

主動電磁軸承(active magnetic bearing, AMB,以下簡稱電磁軸承)是一種新型的轉子支承技術。它采用主動電磁力把轉子懸浮在期望位置，實現與傳統機械軸承相類似的轉子支承能力。相比較，電磁軸承不僅可以無接觸地支承轉子，避免傳統機械軸承出現的摩擦發熱、潤滑、疲勞等問題，滿足轉子高速旋轉的要求，而且還可以通過控制策略對軸承的動力學特性進行實時調節，實現對轉子系統振動的主動控制。

在傳統的轉子動力學研究中，通常采用軸承的剛度阻尼模型來描述軸承的支承特性。在電磁軸承研究領域，為了描述電磁軸承的支承特性也沿襲了軸承的剛度阻尼概念，稱之為等效剛度和等效阻尼。雖然描述電磁軸承的支承特性有多種方式，但等效剛度和阻尼是最廣泛采用的表示形式。然而，電磁軸承的支承特性不僅與軸承的結構尺寸有關，還決定于其控制器所采用的控制策略和參數，因此從理論上對電磁軸承等效剛度和阻尼參數的分析和確定十分困難。已有的研究表明，如果要理論計算電磁軸承的支承特性(即軸承的剛度和阻尼)，必須已知控制系統的傳遞函數。然而，目前很多實際電磁軸承控制系統的輸入輸出關系不能夠簡單的歸結出一個傳遞函數表達式。再者，當融入了數字信號處理和振動控制算法的控制策略更難以用傳遞函數的形式來表示。這種無法得出傳遞函數的情況在電磁軸承控制中是普遍存在的，導致了理論計算電磁軸承支承特性的困難。因此，采用近似估算，并通過實驗測量驗證估算方法的正確性，顯得尤為重要。

目前對電磁軸承剛度阻尼參數的測量和推導，以及基于等效剛度和等效阻尼的電磁軸承轉子動力學分析已有大量研究。Tsai等應用小波變換識別電磁軸承的等效剛度和阻尼[1]，分析了等效剛度阻尼的非線性階次，并發現電磁軸承等效阻尼可能為負值的現象，意味著在某些位移和轉速下，控制是不穩定的。Lim等采用激勵的方法[2]，識別了PID控制策略下電磁軸承的等效剛度和阻尼參數，分析其變化規律。Kim等提出了基于自適應濾波器的方法[3]，通過最小均方誤差自適應收斂得到電磁軸承的電流剛度系數和位移剛度系數。Mehmet等和Lim等提出多頻激勵方法進行電磁軸承等效剛度的識別[4，5]，采用施羅德諧相序列有效避免了因激勵信號峰值疊加引起的激勵飽和問題。Bauomy分析了電磁軸承轉子系統在周期時變剛度條件下的非線性響應行為[6]，并用4階Runge-Kutta法分析了系統在同步振動和子諧波共振下的穩定性。Sayyad研究了用可變剛度的電磁減震器控制懸臂梁的振動[7]，其工作原理與單自由度方向上電磁軸承通過調節剛度抑制轉子振動是相同的。在國內，對電磁軸承支承特性也做了大量研究。虞烈較早地對電磁軸承-轉子系統支承特性展開了系統的理論研究[8]。胡業發等研究了由電磁軸承結構引起的等效剛度和阻尼交叉現象[9]。趙雷等研究了定轉子氣隙和定子靜態偏置磁通密度與等效剛度的關系[10]，認為其線性范圍決定軸承的最優性能，以此為依據得到最優等效剛度對應的軸承結構參數。吳華春等對濾波、滯后、衰減等因素對電磁軸承等效剛度的影響進行了理論分析[11]。楊作興等提出了單自由度復剛度的測試方法[12]。趙晶晶等提出基于激振識別的單自由度等效剛度和阻尼的測量方法[13]。

1 問題的提出

首先需要討論的是，由于電磁軸承控制策略設計的復雜多樣性，用傳統的剛度和阻尼概念來表示電磁軸承的支承特性，是否存在描述的局限性。因為只有在等效剛度和等效阻尼的概念描述適用的前提下，再來討論如何分析或測試電磁軸承的等效剛度和阻尼才顯得有意義。

其次是如何對一個實際電磁軸承的等效剛度和阻尼參數進行實驗測試，以使得理論推導與實驗測試相互驗證。目前已有的電磁軸承等效剛度和阻尼測試方法大多都是基于單自由度模型的，不能適用于實際多自由度轉子系統的測試，甚至無法實際操作。譬如，若要對多自由度的電磁軸承-轉子系統支承特性進行測試，許多文獻采用的方法是將轉子一端擱在備用軸承上作為支點，另一端用電磁軸承懸浮并施加激勵測試。此時轉子系統近似成杠桿結構，可等效為一個單自由度的質量-彈簧-阻尼系統。最后，基于這個近似的單自由度模型，實現等效剛度和阻尼的振動參數識別。

這種單自由度電磁軸承等效剛度和阻尼的測試方法顯然是存在問題的。對于水平放置的轉子結構，雖然可以利用轉子重量使轉子一端擱在備用軸承上，可近似為支點。但是，因為轉子在各自由度上的運動是耦合的，這一端電磁軸承的激勵會影響轉子另一端與備用軸承的穩定接觸。一旦接觸不穩定，就會破壞這種近似杠桿結構的等效條件。另一方面，如果是直立的轉子結構，這種單端懸浮激勵的杠桿等效方法根本無法實現，無法實際操作。

因此，針對上述問題，本文首先分析了多自由度剛性轉子系統在電磁軸承支承條件與傳統機械軸承支承的差異和聯系，理論闡述了采用等效剛度和等效阻尼表示電磁軸承支承特性的適用范圍和描述局限性。然后，在適用的前提下，提出了一種基于多自由度轉子模型的，在轉子正常懸浮條件下能夠對電磁軸承徑向支承的所有等效剛度和阻尼參數進行同時測量的方法。該方法對于兩個電磁軸承支承的剛性轉子系統的支承特性測試具有普遍的適用性和可操作性，以滿足實際復雜轉子動力特性測試的需要。

2 單自由度電磁軸承支承的等效剛度和等效阻尼

對于單自由度的電磁軸承支承，其等效剛度和阻尼的概念是簡單明確的，即把電磁軸承-轉子系統在某一方向的支承特性等效為傳統的單自由度質量-彈簧-阻尼系統。利用與傳統機械振動系統剛度和阻尼的對比，得到電磁軸承的等效剛度和阻尼參數。

單自由度質量-彈簧-阻尼系統在時域的運動方程和拉氏變換后的頻率特性方程分別為

?

(1)

式中F為系統受到的外激勵力，X為位移，m為質量，k和d分別表示系統的剛度和阻尼。

一個電磁軸承支承的單自由度系統，在線性電磁力條件下其運動方程為

(2)

式中fAMB為電磁軸承的電磁力，I為控制電流，kx和ki分別為電磁軸承的位移剛度系數和電流剛度系數。

對式(2)進行拉氏變換，并且把控制電流與位移關系表示為傳遞函數的形式，即I(s)=G(s)X(s)，其中G(s)為電磁軸承控制系統的傳遞函數，可得到頻率特性方程為

?

(3)

比較式(1)和式(3)，容易得到單自由度電磁軸承系統的等效剛度k和等效阻尼d表達式

(4)

式中 Re{ }和lm{ }分別表示復數的實部和虛部運算。可見，要理論上計算電磁軸承的等效剛度和阻尼必須要知道電磁軸承控制系統的傳遞函數G(jω)(以下簡寫為G)。

另一方面，根據式(1)的頻率特性方程關系，也可通過激振實驗，測量激勵和響應之間的幅值和相角關系，求得k和d的值。大多數基于單自由度模型識別電磁軸承的等效剛度和阻尼的測量方法就是基于這個原理。

3 多自由度電磁軸承-轉子系統的徑向等效剛度和等效阻尼

目前文獻對復雜結構剛度阻尼的概念和定義存在一些差異。為了清楚起見，本文所述的電磁軸承轉子徑向支承的等效剛度和等效阻尼是指，把電磁軸承對轉子的徑向支承等效為如圖1所示的彈簧-阻尼支承結構。將電磁軸承的電磁力等效為彈簧力和阻尼力，電磁力方向如圖分別為xa,xb,ya,yb，且4個方向的彈簧-阻尼支承互相獨立，即每個方向上彈簧力和阻尼力只是自己方向上的位移和速度的函數。如此等效后，4個方向支承所體現的剛度和阻尼，共8個參數(雖然由于位移傳感器安裝尺寸的限制，使得位移檢測與電磁線圈不在同一位置。為了簡化模型，本文近似認為電磁軸承對轉子的電磁力作用點與位移檢測點在同一位置)。

圖1 電磁軸承-剛性轉子系統的等效模型

根據轉子動力學理論，剛性轉子在空間的運動姿態可以用6個自由度來描述，分別為按空間3個互相垂直軸方向的平移(2個徑向，1個軸向)和繞這3個軸的旋轉。已有的研究表明，當轉子處于靜止或低速旋轉時，其徑向和軸向之間，以及兩個互相垂直的徑向平面之間的運動耦合都可以忽略。

對于圖1所示的剛性轉子系統，在靜止或低速旋轉條件下，需要獲得徑向電磁軸承電磁力與轉子運動之間的關系。設O為轉子系統的質心，z軸為轉子旋轉軸，兩個徑向電磁軸承的作用力位置與轉子質心的距離分別為la和lb，兩個徑向電磁軸承間的距離為l=la+lb。設轉子運動向量為[X,θy,Y,θx]T，其中X和Y為轉子質心在x和y軸方向上的位移，θy為轉子繞y軸在xz平面上的轉角，θx為轉子繞x軸在yz平面上的轉角，均以圖中所示箭頭方向為正。另設[xa,xb,ya,yb]T為轉子在兩電磁軸承處的位移，則[xa,xb,ya,yb]T與[X,θy,Y,θx]T間的坐標轉換關系為

(5)

設徑向電磁軸承在各方向上的等效剛度和阻尼分別為kxa,kxb,kya,kyb及dxa,dxb,dya,dyb。為了更貼近實際情況，這里假設電磁軸承各方向上的等效剛度和阻尼參數都不同。

首先，以電磁軸承的等效剛度和阻尼的形式表示圖1所示剛性轉子系統的運動方程

(6)

式中m和J分別為轉子的質量和赤道轉動慣量，Fx和Fy分別為x和y方向的外激勵力，Mx及My分別為Fx和Fy相對于轉子質心的外力矩。

將式(5)代入(6)，并用矩陣表示為

(7)

對式(7)進行拉氏變換，得到的頻率特性方程為

(8)

為簡化公式書寫，其中，ma=mω2la/l，mb=mω2lb/l，Jr=Jω2/l。

然后，以電磁軸承電磁力的形式，重新推導圖1所示轉子的運動方程。設徑向電磁軸承各方向上的電流剛度系數和位移剛度系數分別為ki xa,ki xb,ki ya,ki yb及kx xa,kx xb,kx ya,kx yb，則在電磁力線性范圍內，轉子系統的運動方程可表示為

(9)

式中Ixa,Ixb,Iya,Iyb分別為徑向電磁軸承在各方向上的控制電流。

同樣，也將式(5)代入式(9)，整理為矩陣形式

①分散控制策略: 即在某方向上電磁力的控制電流只與該方向上的轉子位移有關，可用對角形式的傳遞函數矩陣表示為

(11)

式中G為控制電流與轉子位移間的傳遞函數關系，其下標表示控制電流和位移方向的對應關系。

對式(10)進行拉氏變換，代入式(11)整理后得

(12)

比較式(12)和式(8)，可以容易得出采用分散控制策略的電磁軸承-轉子系統等效剛度和阻尼的表達式為：

kxa=kixaRe{Gxaxa}-kxxa;dxa=kixaIm{Gxaxa}/ω；

kxb=kixbRe{Gxbxb}-kxxb;dxb=kixbIm{Gxbxb}/ω；

kya=kiyaRe{Gyaya}-kxya;dya=kiyaIm{Gyaya}/ω；

kyb=kiybRe{Gybyb}-kxyb;dyb=kiybIm{Gybyb}/ω

(13)

可見，當采用分散控制策略時，轉子的徑向自由度支承特性可用如圖1所示的各方向獨立的剛度阻尼結構模型來描述，每個方向的等效剛度阻尼只與本方向的電流剛度系數和位移剛度系數有關。

②同一平面內的交叉控制: 即控制電流與x或y同一平面內的轉子兩側位移都有關。在解決轉子在同一平面內的機械運動解耦時，經常采用這類控制方法。傳遞函數矩陣表示如下

(14)

對式(10)進行拉氏變換，代入式(14)整理后得

=

(15)

比較式(15)和式(8)，也可以得出采用同一平面內交叉控制的等效剛度和阻尼的表達式為

(16)

可見，當采用同一平面內的電磁力交叉控制時，轉子的徑向自由度支承特性仍可用如圖1所示的4個方向獨立的剛度阻尼結構模型描述。每個方向的等效剛度阻尼參數包含了同平面互相交叉的兩個電流剛度系數項，而位移剛度系數項不交叉。

③不同平面之間的交叉控制時，即控制策略中有x和y兩平面之間的電磁力交叉控制。在考慮轉子的陀螺效應解耦時，會采用這類控制方法，傳遞函數矩陣表示為

(17)

同樣將式(17) 代入式(10)的拉氏變換，整理后與式(8)比較發現，等號左邊矩陣的形式不一致，出現了xy平面之間的非零交叉項。這說明傳統的剛度阻尼概念無法全面地表達電磁軸承在不同平面之間交叉剛度阻尼的概念。

雖然，在轉子動力學中，對傳統機械軸承已經有交叉剛度和交叉阻尼的概念，但這與電磁軸承的情況是有本質區別的。原因在于，電磁軸承等效剛度表達式中包含兩項，如式(4)，位移剛度系數kx項(一些文獻稱之為被動剛度)和電流剛度系數ki項(一些文獻稱之為主動剛度)。傳統機械軸承的交叉剛度只能近似于電磁軸承交叉剛度中的被動剛度部分的概念。對于電磁軸承的主動交叉剛度目前尚沒有公認的統一的表示方法。目前，有些文獻把同平面內和不同平面之間的交叉剛度統一起來表示；另一些文獻直接用電磁力在模型中表示；還有一些文獻把等效剛度和阻尼考慮為轉子的基本懸浮環境，把振動控制，如陀螺交叉解耦、不平衡力控制等，作為附加電磁力處理。但上述都只是針對某一具體問題提出的表示方法，目前尚沒有被普遍公認的統一方法或表示參數。

4 多自由度剛性轉子系統支承特性測量方法

在電磁軸承-轉子系統等效剛度和等效阻尼的測量中，只有上述控制策略的前兩種情況，其測量才是有意義的。當采用不同平面之間的電磁力交叉控制，等效剛度和阻尼不能充分描述電磁軸承的支承特性，測量結果也是無意義的。本文所述測量方法只限用于前兩種情況。

對于圖1所示的徑向電磁軸承-剛性轉子系統，其系統等效模型的頻域形式可用式(8)表示。為了敘述方便，令式中的

Axa=kxa+jωdxa，Axb=kxb+jωdxb，Aya=kya+jωdya，Ayb=kyb+jωdyb

(18)

代入式(8)后，可得

(19)

在式(19)中，激勵信號和轉子響應在激振測試中是已知量，而4個未知復數量Axa,Axb,Aya,Ayb是待測的。顯然，式(19)是一個四元一次復數方程組。如果能通過激振實驗得到4個不相關的復數方程，則從方程組(19)中可以解得與等效剛度和阻尼參數相關的4個復系數為

(20)

解出Axa,Axb,Aya,Ayb后，可根據式(18)得到等效剛度阻尼參數的測量結果為

(21)

理論上，兩個電磁軸承任何組合形式的激勵，都可測得響應數據，完成式(19)的方程組求解。為了簡化測試和方便求解過程，本文采用在一個電磁軸承x和y方向的控制電流中分別疊加正弦和余弦激勵信號的激勵方法，形成矢量軌跡為圓形的激勵力。在轉子懸浮時，只要在一個電磁軸承疊加激勵測量一次，便可得到4個方程，求解所有8個等效剛度阻尼參數。

另外，關于如何在有噪聲的全頻振動信號中，提取與激勵頻率對應的同頻響應信號成分的方法，可參考文[15,16]或其他文獻，因篇幅所限，本文不再重復敘述。

5 實驗和分析

5.1 實驗裝置

實驗裝置為如圖2所示的電磁軸承-立式剛性飛輪轉子系統。轉子徑向由上下兩個電磁軸承支承，軸向由一個永磁軸承支承。徑向電磁軸承懸浮間隙為0.3 mm，輔助軸承間隙為0.2 mm。如圖3是轉子結構簡圖，轉子的質量m=58.32 kg，赤道轉動慣量J=1.878 kg·m2。以電磁軸承轉子的中心作為電磁力作用點，質心位置按轉子各分段的材料和尺寸算出，得到la=305 mm,lb=222 mm。兩個電磁軸承的電流剛度系數，上電磁軸承為326.15 N/A，下電磁軸承為111.32 N/A。懸浮控制和測量是在d-SPACE DS1103實驗平臺上實現的。控制器采用4自由度的分散PID控制，增加了數字濾波器和近似微分環節以降低噪聲干擾。轉子懸浮控制采樣頻率為50 kHz，激勵測試實驗在10 kHz采樣頻率下進行。

圖2 電磁軸承-剛性轉子實驗系統

圖3 轉子結構簡圖

為了大致掌握轉子系統在1～200 Hz待測頻率范圍內的振動情況，事先測試了轉子各自由度的振動幅頻特性。圖4和5分別為施加激勵后上下電磁軸承處，所檢測到的轉子振動幅頻特性圖。由圖中可知，在各個方向上，轉子隨頻率變化的振動峰值集中出現在20 Hz和60 Hz頻率段。其中在26 Hz和54 Hz處有2個較大的振動峰值，應為轉子系統剛體振型的錐動和平動的2個模態頻率。其他較小峰值是轉子多個自由度之間的運動耦合引起的。由于轉子各方向上的等效剛度和阻尼有一定差異，引起了各方向共振頻率的差異，并且相互耦合影響。當激勵頻率超過100 Hz后，轉子的振動幅值迅速減小。

圖4 上電磁軸承處的轉子振動幅頻特性

圖5 下電磁軸承處的轉子振動幅頻特性

5.2 實驗結果和分析

首先，用上側電磁軸承施加激勵進行測試，分別在x和y方向施加正弦和余弦激勵電流，形成圓形矢量軌跡的激勵力，激勵力幅值為20.83 N。激勵力幅值選取原則是能夠保證在整個待測頻率范圍內，施加激勵不能破壞轉子的懸浮穩定性。即使在臨界頻率附近振動較大，也至少能維持懸浮狀態。通過上側電磁軸承施加激勵測試，得到了上電磁軸承x及y方向和下電磁軸承x及y方向上的等效剛度和等效阻尼的測試結果分別如圖6和7所示(等效阻尼由于彼此接近，未標明方向)。

圖6 上電磁軸承激勵得到的4個方向等效剛度測試結果

圖7 上電磁軸承激勵得到的4個方向等效阻尼測試結果

為了檢驗上述的測量結果，用下側電磁軸承施加激勵重復進行前面的測試實驗，得到4個方向上的等效剛度和等效阻尼的測試結果分別如圖8和圖9所示。

根據兩次實驗測量可知，用上側和下側電磁軸承施加激勵，得到的4個方向的等效剛度和等效阻尼的測試結果是相互吻合的。

從圖6和8可知，電磁軸承的等效剛度隨頻率升高而逐漸增大，這與目前電磁軸承剛度特性的理論研究和實驗研究文獻的結論是一致的，即采用PID控制的電磁軸承，其等效剛度隨頻率遞增。另外，值得注意的情況是等效剛度測量結果在20 Hz和60 Hz頻率段中波動較大，有多個下凹的缺口。分析其主要原因：(1) 在靠近轉子的固有模態頻率時，轉子振動特性隨頻率變化劇烈。并且，轉子各方向的固有模態頻率彼此有差異，但較接近，互相耦合影響，導致在20～60 Hz頻率段的振動較為混亂，信號獲取隨頻率變化劇烈。(2) 在轉子的固有模態頻率附近，轉子的振動幅值較大，使得電磁軸承控制電流增大。由于實驗裝置中的兩個電磁軸承的控制采用了差動結構，當控制電流大于偏置電流后，電磁力只靠單側線圈產生。因此，等效剛度理論上會衰減一半。對于電磁軸承剛度在固有模態頻率點會降低的現象，文獻[15]在單自由度的剛度測試實驗中就已經觀察到。

圖8 下電磁軸承激勵得到的4個方向等效剛度測試結果

圖9 下電磁軸承激勵得到的4個方向等效阻尼測試結果

從圖7和9可知，電磁軸承的等效阻尼在低頻端變化不大，頻率升高后，等效阻尼反而會下降。這個變化規律也是和目前研究文獻的結論是吻合的。同樣也可看到，等效阻尼在轉子模態頻率點的測量值也有波動。從圖7和9中還可注意到，電磁軸承等效阻尼在頻率升高后，等效阻尼下降出現負值。一般認為，傳統機械軸承的阻尼是不可能出現負值的，而電磁軸承的支承特性可根據控制策略進行調節。電磁軸承的阻尼主要由控制策略的微分環節強弱決定。

本實驗中發現電磁軸承的阻尼為負值的情況。電磁軸承的懸浮使轉子外阻尼為零，而電磁軸承控制中的微分環節是對速度的控制作用，具有阻尼的特性，稱為內阻尼。研究發現，如果電磁軸承控制采用PD控制(比例微分控制)，那么其支承阻尼值始終為正值。如果控制中含有積分環節，如PID控制，或有類似積分環節，那么無論是理論計算還是實際測試，其阻尼值都有可能出現負值。在文獻[1、2、5、11、14、15]的電磁軸承特性研究中，都涉及了等效阻尼為負值的情況。由于本文著重論述和分析的是測量方法本身，對于電磁軸承出現負值等效阻尼的問題，篇幅所限，只予以簡要介紹，恕不展開討論。

根據實驗的實際情況，在大多數頻率段(指固有模態頻率以外的頻率段)，轉子振動信號的幅值和相位的測量都具有非常好的穩定性和重復性，測試效果非常好。在轉子的固有模態頻率段時，由于轉子振動隨頻率變化劇烈，測量讀數會比較不穩定，必須適當減小激勵幅度，以控制轉子振動在一個適當的程度，激勵實驗可正常進行。

6 結 論

本文首先分析了多自由度剛性轉子系統在電磁軸承支承條件與傳統機械軸承的差異和共性，以及用等效剛度和等效阻尼描述電磁軸承-轉子系統支承特性的適用范圍。然后，提出了一種基于多自由度轉子模型的，在轉子懸浮條件下，對轉子徑向支承等效剛度和等效阻尼參數進行測量的方法。

實驗結果表明，該方法是可行的，能夠直接測量電磁軸承-轉子系統在不同頻率下的等效剛度和等效阻尼，真實地反映電磁軸承支承特性的實際情況，對于不同結構的電磁軸承-剛性轉子系統具有普遍的適用性和可操作性，具有較強的實用意義。

參考文獻：

[1] Tsai N, Li H, Lin C, et al. Identification of rod dynamics under influence of active magnetic bearing[J]. Mechatronics, 2011, 21(4): 1 013—1 024.

[2] Lim T, Cheng S. Parameter estimation and statistical analysis on frequency dependent active control forces[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(5):2 112—2 124.

[3] Kim S, Lee C. On-line identification of current and position stiffness by LMS algorithm in active magnetic bearing system equipped with force transducers[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1999, 13(5): 681—690.

[4] Mehmet N, Matthew O, Cole T, et al. On the use of Schroeder phased harmonic sequences in multi-frequency vibration control of flexible rotor/magnetic bearing systems[A]. Proceedings of 8th International Symposium on Magnetic Bearings[C]. Mito, Japan, 2002:218—222.

[5] Lim T, Cheng S, Poh C. Parameter estimation of one-axis magnetically suspended system with a digital PID controller[A]. Proceedings of 1st International Conference on Sensing Technology[C]. New Zealand, 2005:419—424.

[6] Bauomy H. Stability analysis of a rotor-AMB system with time varying stiffness[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012, 349(2): 1 871—1 890.

[7] Sayyad F, Gadhave N. Variable stiffness type magnetic vibration absorber to control the vibration of beam structure[J]. Journal of Vibration and Control, 2013, 7:1—7.

[8] 虞烈. 可控磁懸浮轉子系統[M]. 北京：科學出版社. 2003.

[9] 胡業發，周祖德，江征風. 磁力軸承的基礎理論與應用[M]. 北京：機械工業出版社. 2006.

[10] 趙雷，張德魁，楊作興. 電磁軸承的最優剛度與系統結構參數間的關系[J]. 機械工程學報, 2000, 36(12):62—64.Zhao Lei, Zhang Dekui, Yang Zuoxing. Study on relationship between optimal stiffness and the structure parameter of AMB[J]. Chinese Journal of Mechanial Engineering, 2000, 36(12):62—64.

[11] 吳春華，胡業發，江征風. 磁力軸承支承特性的影響因素研究[J].設計與研究, 2007, (4):7—10.Wu Huachun, Hu Yefa, Jiang Zhengfeng. Study on Effect Factor for Magnetic Bearing Suspension Characteristic[J]. Design and Research, 2007, (4):7—10.

[12] 楊作興，趙雷，趙鴻賓. 電磁軸承動剛度的自動測量[J]. 機械工程學報, 2001, 37(3):25—29.Yang Zuoxing, Zhao Lei, Zhao Hongbi. Automatic measurement of dynamic stiffness for active magnetic bearings[J]. Chinese Journal of Mechanial Engineering, 2001, 37(3):25—29.

[13] 趙晶晶，周燕，時振剛，等. 電磁軸承剛度阻尼自動測試[J]. 機械工程學報, 2010, 46(20):48—52.Zhao Jingjing, Zhou Yan, Shi Zhengang, et al. Automatic measurement of stiffness and damping of active magnetic bearings[J]. Chinese Journal of Mechanial Engineering, 2010, 46(20):48—52.

[14] 左從楊，周瑾. 控制參數對轉子振動電磁阻尼器的等效剛度阻尼的影響[A]. 第4屆中國磁懸浮軸承學術會議[C].上海，2011:59—63.Zuo Chongyang, Zhou qing. Control Parameter's Influence on Equivalent Stiffness and Damping of Magnetic Damper for Rotor Vibration Control[A]. The 4th Chinese Symposium on Magnetic Bearings(CSMB4)[C]. Shanghai, 2011:59—63.

[15] 蔣科堅，祝長生. 未知傳遞函數情況下主動電磁懸浮系統支承特性在線測定[J]. 中國機械工程, 2010, 21(8): 883—888.Jiang Kejian, Zhu Changsheng. On-line measurement of supporting characteristic of active magnetic levitations with unknown transfer function[J]. Chinese Mechanial Engineering, 2010, 21(8): 883—888.

[16] 蔣科堅，祝長生. 基于不平衡識別的主動電磁軸承轉子系統自動平衡[J]. 振動工程學報, 2009, 22(6):559—564.Jiang Kejian, Zhu Changsheng. Auto balance of active magnetic bearings supporting rotor system by means of unbalance identification[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(6):559—564.