分布式預測函數控制優化算法

(蘇州大學機電工程學院1，江蘇 蘇州 215021；蘇州大學沙鋼鋼鐵學院2，江蘇 蘇州 215021)

0 引言

科技的進步極大地刺激了工業過程控制以前所未有的速度不斷發展，現階段許多大規模控制系統是基于一個分散式的架構來進行控制[1]。這種方法已經取得了一定的成功運用，但是在魯棒性和穩定性上還有不足。分布式預測控制正是在這種情況下發展起來的。其中，Motee等針對線性時不變系統設計了一種分布式預測控制策略[2]。Mehmet等人在實驗室水箱系統中運用了分布式預測控制算法，并得到了很好的控制結果[3]?；谏鲜龇椒ǖ牟蛔悖梃b納什最優的思想，本文提出了分布式預測函數控制[4]。與文獻[5]相比，本文選用預測函數控制作為子系統的控制策略。該算法能夠使控制輸入結構化，減少了優化變量，相比于一般的迭代式分布式算法，其計算量更小，能夠快速、穩定地得到優化結果。

1 分布式預測函數控制

傳統的預測控制算法沒有考慮到控制輸入量的結構狀態，只是采用一般的優化算法計算出未來一段時間內的控制量，雖然在一些場合中能夠得到所需要的控制結果，但是這種情況下會有控制輸入結構不明的情況發生[6]。針對這種情況，在模型預測控制比較成熟的基礎上，提出了預測函數控制。

預測函數控制和一般的預測控制算法一樣，存在預測控制，也就是預測模型、滾動優化、反饋校正三項基本原理[7]。但是，相比于以往的預測控制，它特別注重控制的結構化，即把每一時刻的輸入當作事先規定的一系列基函數的線性組合，通過在線優化求出相對應的加權系數，進而利用加權系數求出最終的控制輸入[8]。這種控制方法相應的控制算法簡單，控制量與以往算法相比也較少，適合響應較快的系統實時控制，同時能夠很好地處理不穩定、待約束、時滯的系統。

分布式預測函數控制將預測函數控制作為各個智能體子系統的求解方法，利用納什最優的思想，將整個系統分為若干子系統。特別是在計算機發展相對比較成熟的今天，通過網絡共享，各個智能體能夠進行信息交換。假設這種通信不影響系統的穩定性，那么通過納什最優的思想就可以實現整個系統的優化。

一個簡單的分布式控制結構如圖1所示，假設控制器(圖1中的控制器1和控制器2)之間是可以進行信息傳遞的，那么每一個子系統就能夠擁有整個系統中其他子系統的行為信息。分布式預測函數控制中，每一個智能體控制器都是采用預測函數控制來實現輸入結構化，計算結果(u1和u2)是子系統1和子系統2的輸入控制信號，每一次信息交換包含預測函數控制計算的加權系數。通過這些加權系數計算出當前時刻和未來的輸入量，利用這些信息，每一個智能體子系統都能夠計算出未來的控制輸入和輸出[9]。

圖1 兩輸入兩輸出分布式預測函數控制圖

2 基本原理

2.1 預測函數控制

由于對單輸入單輸出系統的算法研究可以應用于多輸入多輸出系統，因此，下文主要以單輸入單輸出系統進行說明。

2.1.1 基函數的選擇

在預測控制中，新加入的控制作用被看作是若干已知基函數的線性組合：

(1)

式中：u(k+i)為系統在(k+i)時刻的控制量；E為基函數的個數；μj為基函數的線性加權系數；fkj(j=1,2,…,E)為基函數；fkj(i)為基函數fkj在t=iTs時的值；Ts為采樣周期；P為預測優化時域長度，表示k時刻起經過P步可以逼近期望值。

基函數的選擇與跟蹤過程的特性和設定值密切相關，一般可以選擇階躍、斜坡、拋物線和指數函數等。當設定值為恒定值或變化很小時，基函數可以選擇階躍函數；當設定值為斜坡函數或者變化太大時，基函數可以選擇階躍函數和斜坡函數的加權形式，利用兩個基函數來完成預期的控制[10]。

2.1.2 預測模型

由于在工業現場中階躍響應容易得到，避免了對系統的模型進行辨識，相比而言更容易實現，因此本文采用的預測模型為階躍響應。

首先，需要測定對象單位階躍響應的采樣值a=a(iTs),i=1,2,…，Ts為采樣周期。對于穩定系統而言，階躍響應在tn=nTs后將趨于一個穩定的常值，以至于ai(i>n)與an的相差很小。因而可以認為，an已經近似于階躍響應的穩態值as=a()。這樣，對象的動態信息就可以近似用有限集合{a1,a2,…,an}加以描述[11]。

假設一個系統具有M個連續的控制輸入增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)，則在這些增量作用下未來各時刻的輸出預測值為：

Δu(k+j-1)i=1,2,…，P

(2)

假設預測時域為P(一般M≤P≤n)，由于:

Δu(k+i)=u(k+i)-u(k+i-1)

(3)

(4)

可以推導出：

yPM(k)=yP0(k)-A0P0uP0+G(k)μ(k)

(5)

2.1.3 滾動優化

對每一時刻k，要了解從此時刻起的M個控制增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)，須使被控對象在其作用下未來P個時刻的輸出預測值yM(k+i|k)盡可能地接近給定的期望值ω(k+i),i=1,2,…,P。

同時，在實際控制系統中，通常不希望控制增量Δu(k)變化過于劇烈。為避免這樣的情況發生，可以在性能指標優化中加入軟約束予以考慮。因此，k時刻的優化性能指標可取為：

式中：qi、rj為加權系數，分別表示對預測輸出和設定值之間的誤差及控制輸入量的抑制。

通過優化方程求出基函數的加權系數，在基函數已知的前提下，可以計算出控制量和控制增量，以滿足整個系統的運行和優化。

2.1.4 反饋校正

由于實際存在的系統和所建立的模型不符、環境干擾等一些未知因素，預測模型的輸出與實際物理過程輸出存在著一定的誤差。為此，對未來優化時域中的誤差進行補償，這就是所謂的反饋校正，在本文中可以假設未來的誤差為：

e(k+i)=y(k)-yM(k)

(6)

式中：y(k)為k時刻的對象輸出；yM(k)為k時刻的預測模型輸出，通過校正可以更加準確地預測過程的輸出。

2.2 分布式測預函數控制算法描述

本文中所研究的分布式預測函數控制的中心思想是將一個大規模的在線優化問題轉化為各個子模塊分布式優化，各個子模塊通過通信進行信息共享，提高控制系統的性能。解決這種不同目標的分布式控制問題可以采用納什最優的方法，也就是每一個子模塊智能體在假定已知其他智能體最優解的前提下，只用自己的輸入變量對自己的目標進行優化[12]。

現階段計算機的發展解決了通信的問題，為迭代的進行提供了基礎。每一次迭代結果總是和上次迭代進行比較。如果滿足預先設定的精度，那么迭代結束；如果兩次迭代的結果不滿足精度，那么繼續進行迭代計算。假如算法是收斂的，那么在某一輪迭代后系統可以達到納什最優，此時每一個智能體各自求得的最優解均滿足納什最優性條件，該時刻的求解結束。下一時刻重復上述優化過程。

對于一個N輸入N輸出系統，可以將其劃分為N個子系統，具體算法如下。

① 在采樣時刻k，估計每個智能體子系統基函數加權系數，得到每一個子系統的控制輸入，并且通過通信傳給其他子系統。首先令迭代次數l=0。

(7)

④ 在迭代結果滿足所設精度的前提下，可以通過優化方程計算出各個子系統的每一個基函數加權系數。由于基函數已知，那么各個子系統就可以計算出每一時刻的控制輸入量，并且通過通信傳遞給其他子系統，為下一步的優化計算做準備。

⑤ 由于本文提出的分布式預測函數控制同樣具有滾動優化的特點，所以隨著系統的運行，到下一時刻返回到第一步，重復以上幾個步驟。

本節提出了分布式預測函數控制算法，并對其思想進行了簡要的描述。下文將給出具體的算法步驟和仿真結果。

3 基于納什最優的分布式預測函數控制算法

3.1 大規模控制系統整體分析

假設有一個大規模N輸入N輸出控制系統，控制的目標是使系統的輸出達到期望設定值，同時滿足整體性能指標最優。利用基函數的表達形式和階躍響應表示系統的未來輸出，可以將整個系統的預測函數模型表示為：

YPM(k)=YP0(k)-A0P0uP0+Gμ(k)

(8)

其性能指標為：

(9)

3.2 子系統模型推導

根據整個系統的形式，第i個智能體的預測模型可描述為：

yi,PM(k)=yi,P0(k)-A0i,P0uP0+Gii(k)μi(k)+

(10)

式中：右邊第四項反映了其他智能體輸入對第i個智能體輸出的影響；Gii、Gij分別為第i個智能體的計算矩陣和第j個智能體對第i個智能體的影響；yi,PM(k)=[yi,PM(k+1|k)…yi,PM(k+P|k)]T；yi,P0(k)=[yi,P0(k+1|k)…yi,P0(k+P|k)]T；A0i,P0=[A0i1,P0A0i2,P0…A0iN,P0]；uP0為整個系統前一時刻的輸入值；Aij,P0=[aij,P0(1),…,aij,P0(M),…,aij,P0(P)]T；aij,P0(k)為第j個子系統輸入對第i個子系統輸出的階躍響應序列；μi(k)=[μi,1(k)…μi,E(k)]T。

根據單輸入單輸出系統的分析，可以得到：

G=AF

(11)

(12)

(13)

式中：aij(k)(i,j=1,…,N;k=1,2,…)為第j個輸入對第i個輸出的階躍響應序列。

可以得到：

Gij=AijFj,E

(14)

3.3 分布式系統最優解推導

對性能指標(9)按N個智能體進行分解，由式(10)可以推導第i個智能體子系統的性能指標為：

(15)

式中：ωi(k)=[ωi(k+1),…,ωi(k+P)]T(i=1,…,N)為第i個智能體的期望輸出值；Qi和Ri為相應的權矩陣。

根據納什最優的概念，智能體i的納什最優解為:

(16)

新一輪迭代最優解為：

(17)

如果算法是收斂的，則k時刻整個分布式系統的最優解可以寫為：

μl+1(k)=W1[ω(k)-YP0(k)+A0P0uP0]+W0μl(k)

(18)

(19)

(20)

通過上述推導就可以得出每一時刻各個子系統基函數加權系數，同時根據式(1)，進而算出每一時刻的控制輸入或者控制增量。這樣一方面保證了控制輸入的結構化；另一方面應用納什最優的思想進行預測控制，保證整個控制系統的穩定性和可實施性。

3.4 收斂定理

根據以上計算，可以得到以下的收斂性定理。

定理：基于納什最優的分布式預測函數控制算法的收斂性條件為|ρ(W0)|<1，其中ρ(W0)為矩陣W0的譜半徑。

證明：在k時刻ω(k)，YP0(k)，A0P0，uP0均已知，W1可以離線計算出具體值，所以式(18)的第一項W1×[ω(k)-YP0(k)+A0P0uP0]是與迭代無關的常量，因此它的收斂性等價于μl+1(k)=W0μl(k)的收斂性。根據數學知識，可以得出該分布式預測函數優化算法的收斂條件為：|ρ(W0)|<1

在這個分布式算法中，每一步的滾動優化都考慮到了其他智能體子系統的影響，通過納什最優的思想進行優化計算，得到每一時刻的納什最優解[13]。同時，將一個大規模的系統進行分解，減少了計算量。

4 仿真研究

針對一個3輸入3輸出系統，采用分布式預測函數控制，利用Matlab進行仿真，研究運用分布式預測函數來進行控制的系統特性。

(21)

首先驗證本系統是否滿足前面所推的基于納什最優的分布式預測函數控制算法的收斂條件。

根據要求，在仿真中，取預測時域P=8，控制時域M=3，加權矩陣Qi=I，Ri=0，采樣時間為20 s，誤差精度為εi=0.01(i=1,2,3)。

根據W0所推表達式，在上述參數作用下，利用Matlab可以算出：

|W0|=0.218

子系統1的輸出和控制輸入曲線如圖2所示。

圖2 子系統1的系統輸出和控制輸入

子系統2的輸出和控制輸入曲線如圖3所示，子系統3的輸出和控制輸入曲線如圖4所示。

圖3 子系統2的系統輸出和控制輸入

圖4 子系統3的系統輸出和控制輸入

根據仿真結果可以發現，分解的每一個子系統輸出都能夠很好地跟蹤期望設定值，并且跟蹤響應速度快，無誤差，控制量變化很平緩[14]。因此，利用本文所設計的分布式預測函數控制算法所進行的仿真性能良好，相比于其他的分布式控制在優化變量上有了很大的減少，同時具備分布式控制和預測函數控制的優點。該方法較集中式控制方法或者分散控制要方便得多。

5 結束語

本文針對工業生產中遇見的大規模控制系統在線優化實施復雜的情況，同時結合分布式控制的特點和預測函數的優點，從納什最優的特點出發，推導利用分布式預測函數控制來實施分布式控制的算式，設計了一種基于納什最優的分布式預測函數控制算法。它一方面解決了傳統輸入不明的缺點，將輸入結構化；另一方面利用納什最優的特點將一個大規模的在線優化問題轉化為各智能體子系統的分布式優化，從而降低了控制的復雜性，大大減少了單個計算機對性能要求較高的問題[15]。

本文采用預測函數控制作為子系統的控制方法，只是針對加權系數進行優化，相比于以往的迭代式分布式預測控制，在計算量上也有了很大的減少。根據利用本文所推算法進行的仿真結果可以發現，分布式預測函數控制能夠很好地解決大規?？刂葡到y復雜性，同時使輸入結構化，本文所推出的分布式預測函數控制算法是有效的。

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