自由代數(shù)Fm的E(n)-模代數(shù)的證明

鄭 燁

(江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 江蘇 淮安 223003)

1 理論基礎(chǔ)

設(shè)k是一個(gè)域，chark≠2，E(n)[1](n是一個(gè)正整數(shù))是域k上的2n+1-維Hopf代數(shù).作為代數(shù)E(n)由g,hi(i=1,2,…，n)生成，滿足生成關(guān)系式

g2=1,hihj+hjhi=0,ghi+hig=0,?1≤i,j≤n

余乘法、余單位和antipodeS由下式給出：

Δ(g)=g?g,(Δhi)=hi?g+1?hi，ε(g)=1,ε(hi)=0,s(g)=g-1,s(hi)=ghi.

其中1≤i≤n.當(dāng)n=1時(shí)，E(1)恰好為Sweedler四維Hopf代數(shù)H4[2-4].

對于任意嚴(yán)格遞增的子集P={p1,p2,…p3}?{1,2,…，n}，即p1

定義1[5]一個(gè)k-代數(shù)A稱為超代數(shù)，如果A是一個(gè)Z2-分次代數(shù)，其中Z2=Z/2Z,即A有子空間直和分解：A=A0⊕A1,而且AiAj?Ai+j，其中i,j∈Z2.

定義2[5]設(shè)A是一個(gè)超代數(shù)，一個(gè)線性變換δ∈End(A)稱為分次微分，若以下條件成立：

(1)δ(Ai)∈Ai+1；

(2)δ2=0；

(3)δ(ab)=aδ(b)+(-1)iδ(a)b,a∈A,b∈Ai,

其中i∈Z2.

定義3[5]一個(gè)代數(shù)A稱為多重微分超代數(shù)，若A是一個(gè)超代數(shù)，且有n個(gè)分次微分δ1,δ2,…，δn滿足：

δiδj+δjδi=0,1≤i,j≤n

2 定理證明

命題1一個(gè)k-代數(shù)A是左E(n)-模代數(shù)[6]，當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)多重微分超代數(shù).

證明設(shè)A是E(n)-模代數(shù)，則A=A0⊕A1是一個(gè)超代數(shù)，其中Ai={a∈A|g·a=(-1)ia},i=1, 2.對于1≤j≤2，令δj∈End(A)為

δj(a)=hj·a,a∈A

則顯然有δj2=0和δiδj+δjδi=0.再設(shè)a∈A,b∈Ai,i=1, 2,則

δj(ab)=hj·(ab)=(1·a)(hj·b)+(hj·a)(g·b)=aδj(b)+(-1)iδj(a)b

g·(δj(b))=g·(hj·b)=(ghj)·b=-(hjg)·b=-hj·(g·b)=(-1)i+1hj·b=(-1)i+1δj(b)

故δj是A的分次微分，A為多重微分超代數(shù).

反之，若A是一個(gè)多重微分超代數(shù)，且有n個(gè)分次微分δ1，δ2，…，δn，則直接驗(yàn)證可知A是左E(n)-模代數(shù)，其模作用為

g·a=(-1)ia，hj·a=δj(a),a∈Ai,i=1, 2，j=1, 2, …,n

現(xiàn)在設(shè)k{x1,x2,…，xm}為m個(gè)變元x1,x2,…，xm的自由代數(shù)，則k{x1,x2,…，xm}有一組k-基：

{1,xi1,xi2…,xis|s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m}

以下簡記k{x1,x2,…，xm}為Fm.

定理1設(shè)Γ=(γij)n×m∈Mn×m(k)是域k上的n×m矩陣，則Fm是一個(gè)左E(n)-模代數(shù)，其模作用由Γ確定如下：

g·xj=-xj,hi·xj=γij,1≤i≤n,1≤j≤m

證明如果Fm是一個(gè)左E(n)-模代數(shù)，模作用由矩陣Γ按定理中的等式給出，則首先有

g·1=1，hi·1=0，i=1, 2, …,n

進(jìn)一步地，對于任意的1≤i1,i2,…，is≤m,s≥1有

g·(xi1xi2…xis)=(g·xi1)(g·xi2)…(g·xis)=(-1)sxi1…xis

和

因此，我們可以直接定義E(n)在Fm上的模作用如下:

g·1=1，hi·1=0，g·(xi1xi2…xis)=(-1)sxi1xi2…xis

其中s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m,1≤i≤n.則顯然有

g·(g·1)=1

g·(g·(xi1xi2…xis))=xi1xi2…xis

g·(hi·1)+hi·(g·1)=0

hi·(hj·1)+hj·(hi·1)=0

其中s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m，1≤i≤n.進(jìn)一步地還有

從而有

hi·(hj·(xi1xi2…xis))+hj·(hi·(xi1xi2…xis))=

這就證明了上述定義使得Fm是一個(gè)左E(n)-模.

然后，設(shè)1≤i1,i2，…，is,j1,j2,…jt≤m,其中s,t≥1,則有

g·((xi1…xis)(xj1…xjt))=g·(xi1…xisxj1…xjt)=(-1)s+t(xi1…xisxj1…xjt)=

((-1)sxi1…xis((-1)txj1…xjt)=(g·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))

以及

和

(hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))=

這就證得了

hi·((xi1…xis)(xj1…xjt))=(hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))

故Fm是一個(gè)左E(n)-模代數(shù).記定理1中給出的E(n)-模代數(shù)為Fm(Γ)

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