分類思想在蘇教版小學數學教材中的應用

黃偉星

【摘 要】分類思想作為基本數學思想方法之一，在蘇教版小學數學教材中的應用極其廣泛，教師在理解教材編排特點的基礎上，在教學中應明晰分類概念，遵循分類標準，在概念形成、規則理解、問題解決和整理與復習中，巧妙滲透分類思想，幫助學生初步形成分類思想。

【關鍵詞】分類思想 應用

如何在小學數學中進行分類思想的教學，幫助學生積累初步的數學活動經驗呢？依據蘇教版小學數學教材的編寫體例，結合自己的教學實踐經驗，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數學中的分類是指按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級關系。分類要具有三個要素：⑴母項，即被劃分的對象；⑵子項，即劃分后所得的類概念；⑶根據，即劃分的標準。

二、遵循分類的標準和原則

分類的關鍵在于正確地選擇分類標準。一個科學的分類標準，必須能夠將需要分類的數學對象進行不重復、無遺漏的劃分。

1.不重復。對母項進行分類后得到的所有子項必須互相排斥，各個子項概念的外延之間是不相容的關系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無共同元素。不重復，即要求分類應是純粹的。

2.無遺漏。經分類所得的各子項之和必須與被分類的母項正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項）的并集應等于被分概念（母項）外延的全集。否則會出現過寬或過窄的邏輯錯誤。無遺漏，即要求分類應是完備的，從量的方面要求一個不能少。

3.同一標準。在一次分類中只能根據同一標準，否則就會出現劃分的結果重復或過寬的邏輯錯誤，使劃分后的結果混淆不清。需要說明的是，“對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類”，所指的是進行了不止一次分類。當有些數學對象比較復雜，僅僅進行一次分類，不足以將問題討論清楚時，需要進一步對其中一類或幾類繼續分類，即進行多級分類。在多級分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質的有無進行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應取被分類概念最鄰近的概念按步驟進行，不能越級，應按層次逐步進行。

三、分類思想在教材中的應用

分類思想在蘇教版小學數學教材中應用廣泛。學生在學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類、形的分類等；在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要密切聯系上述教學內容，使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質，如何區別不同對象的不同性質。通過多次反復的思考和長期的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題。具體教學建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學“認識平行”時，可以先根據具體場景中一些物體的構造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關系。再引導學生從兩條直線是否相交這一角度進行分類，認識同一平面內兩條直線的兩種位置關系：相交或不相交。在此基礎上，描述兩條直線互相平行的概念，使學生認識同一平面內不相交的兩條直線互相平行。再如：教學“認識方程”時，可以先結合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數的等式和不含未知數的等式，再引導學生從是否是等式，是否含有未知數兩個維度進行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數，又要是等式，并描述方程的概念，使學生認識到含有未知數的等式是方程。得出概念后，可以讓學生通過討論“等式和方程的關系”，體會到方程也是等式，進一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規律。如：教學“找規律”中的“試一試”時，可將“試一試”適當改變，問題如下：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，看看有什么關系。學生活動結束后，教師可展示三種情況的多個例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導學生從兩端物體是否相同這個角度，對上述例子進行分類，初步發現規律：兩種物體一一間隔排列成一行，當兩端物體相同時，位于兩端的這種物體的個數比另一種物體多1；當兩端物體不同時，這兩種物體的個數相同。再應用一一對應的思想解釋所發現的規律。課末，可以繼續進行擺小棒和圓片的活動：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，再次發現規律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個數相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進行對比，發現其本質相同。最后，將所發現的規律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問題。如：教學用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問題時，先要適當幫助學生弄清題意，再引導學生進行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學生一一列舉并寫下來，也可以讓學生用符號或畫圖來表達自己的思考過程。通過這樣的教學設計，體會分類列舉的優勢，幫助學生真正做到不重復、不遺漏。再如：教學用“假設和調整”的策略解決租船問題時，可以分成兩種情況進行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問題，即假設所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問題，即假設所租的船有大船，也有小船。問題解決后，先引導學生發現解決問題的方法：假設——比較——調整——檢驗，再引導學生體會解決此類問題時，從特殊情況入手比較簡單。

4.分類形成知識結構。在總復習階段，通過分類可以使數學知識條理化、系統化、結構化，有助于學生更好地掌握知識和形成良好的知識結構。如：復習“正比例和反比例”時，可以分類整理成下表，通過比較，幫助學生進一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學生掌握分類思想是數學教學的重要目標之一，是學生不斷經歷、體驗分類活動過程的結果。分類思想需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數學學習活動過程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無錫市教育科學研究院）

【摘 要】分類思想作為基本數學思想方法之一，在蘇教版小學數學教材中的應用極其廣泛，教師在理解教材編排特點的基礎上，在教學中應明晰分類概念，遵循分類標準，在概念形成、規則理解、問題解決和整理與復習中，巧妙滲透分類思想，幫助學生初步形成分類思想。

【關鍵詞】分類思想 應用

如何在小學數學中進行分類思想的教學，幫助學生積累初步的數學活動經驗呢？依據蘇教版小學數學教材的編寫體例，結合自己的教學實踐經驗，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數學中的分類是指按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級關系。分類要具有三個要素：⑴母項，即被劃分的對象；⑵子項，即劃分后所得的類概念；⑶根據，即劃分的標準。

二、遵循分類的標準和原則

分類的關鍵在于正確地選擇分類標準。一個科學的分類標準，必須能夠將需要分類的數學對象進行不重復、無遺漏的劃分。

1.不重復。對母項進行分類后得到的所有子項必須互相排斥，各個子項概念的外延之間是不相容的關系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無共同元素。不重復，即要求分類應是純粹的。

2.無遺漏。經分類所得的各子項之和必須與被分類的母項正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項）的并集應等于被分概念（母項）外延的全集。否則會出現過寬或過窄的邏輯錯誤。無遺漏，即要求分類應是完備的，從量的方面要求一個不能少。

3.同一標準。在一次分類中只能根據同一標準，否則就會出現劃分的結果重復或過寬的邏輯錯誤，使劃分后的結果混淆不清。需要說明的是，“對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類”，所指的是進行了不止一次分類。當有些數學對象比較復雜，僅僅進行一次分類，不足以將問題討論清楚時，需要進一步對其中一類或幾類繼續分類，即進行多級分類。在多級分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質的有無進行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應取被分類概念最鄰近的概念按步驟進行，不能越級，應按層次逐步進行。

三、分類思想在教材中的應用

分類思想在蘇教版小學數學教材中應用廣泛。學生在學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類、形的分類等；在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要密切聯系上述教學內容，使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質，如何區別不同對象的不同性質。通過多次反復的思考和長期的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題。具體教學建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學“認識平行”時，可以先根據具體場景中一些物體的構造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關系。再引導學生從兩條直線是否相交這一角度進行分類，認識同一平面內兩條直線的兩種位置關系：相交或不相交。在此基礎上，描述兩條直線互相平行的概念，使學生認識同一平面內不相交的兩條直線互相平行。再如：教學“認識方程”時，可以先結合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數的等式和不含未知數的等式，再引導學生從是否是等式，是否含有未知數兩個維度進行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數，又要是等式，并描述方程的概念，使學生認識到含有未知數的等式是方程。得出概念后，可以讓學生通過討論“等式和方程的關系”，體會到方程也是等式，進一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規律。如：教學“找規律”中的“試一試”時，可將“試一試”適當改變，問題如下：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，看看有什么關系。學生活動結束后，教師可展示三種情況的多個例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導學生從兩端物體是否相同這個角度，對上述例子進行分類，初步發現規律：兩種物體一一間隔排列成一行，當兩端物體相同時，位于兩端的這種物體的個數比另一種物體多1；當兩端物體不同時，這兩種物體的個數相同。再應用一一對應的思想解釋所發現的規律。課末，可以繼續進行擺小棒和圓片的活動：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，再次發現規律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個數相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進行對比，發現其本質相同。最后，將所發現的規律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問題。如：教學用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問題時，先要適當幫助學生弄清題意，再引導學生進行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學生一一列舉并寫下來，也可以讓學生用符號或畫圖來表達自己的思考過程。通過這樣的教學設計，體會分類列舉的優勢，幫助學生真正做到不重復、不遺漏。再如：教學用“假設和調整”的策略解決租船問題時，可以分成兩種情況進行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問題，即假設所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問題，即假設所租的船有大船，也有小船。問題解決后，先引導學生發現解決問題的方法：假設——比較——調整——檢驗，再引導學生體會解決此類問題時，從特殊情況入手比較簡單。

4.分類形成知識結構。在總復習階段，通過分類可以使數學知識條理化、系統化、結構化，有助于學生更好地掌握知識和形成良好的知識結構。如：復習“正比例和反比例”時，可以分類整理成下表，通過比較，幫助學生進一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學生掌握分類思想是數學教學的重要目標之一，是學生不斷經歷、體驗分類活動過程的結果。分類思想需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數學學習活動過程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無錫市教育科學研究院）

【摘 要】分類思想作為基本數學思想方法之一，在蘇教版小學數學教材中的應用極其廣泛，教師在理解教材編排特點的基礎上，在教學中應明晰分類概念，遵循分類標準，在概念形成、規則理解、問題解決和整理與復習中，巧妙滲透分類思想，幫助學生初步形成分類思想。

【關鍵詞】分類思想 應用

如何在小學數學中進行分類思想的教學，幫助學生積累初步的數學活動經驗呢？依據蘇教版小學數學教材的編寫體例，結合自己的教學實踐經驗，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數學中的分類是指按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級關系。分類要具有三個要素：⑴母項，即被劃分的對象；⑵子項，即劃分后所得的類概念；⑶根據，即劃分的標準。

二、遵循分類的標準和原則

分類的關鍵在于正確地選擇分類標準。一個科學的分類標準，必須能夠將需要分類的數學對象進行不重復、無遺漏的劃分。

1.不重復。對母項進行分類后得到的所有子項必須互相排斥，各個子項概念的外延之間是不相容的關系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無共同元素。不重復，即要求分類應是純粹的。

2.無遺漏。經分類所得的各子項之和必須與被分類的母項正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項）的并集應等于被分概念（母項）外延的全集。否則會出現過寬或過窄的邏輯錯誤。無遺漏，即要求分類應是完備的，從量的方面要求一個不能少。

3.同一標準。在一次分類中只能根據同一標準，否則就會出現劃分的結果重復或過寬的邏輯錯誤，使劃分后的結果混淆不清。需要說明的是，“對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類”，所指的是進行了不止一次分類。當有些數學對象比較復雜，僅僅進行一次分類，不足以將問題討論清楚時，需要進一步對其中一類或幾類繼續分類，即進行多級分類。在多級分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質的有無進行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應取被分類概念最鄰近的概念按步驟進行，不能越級，應按層次逐步進行。

三、分類思想在教材中的應用

分類思想在蘇教版小學數學教材中應用廣泛。學生在學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類、形的分類等；在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要密切聯系上述教學內容，使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質，如何區別不同對象的不同性質。通過多次反復的思考和長期的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題。具體教學建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學“認識平行”時，可以先根據具體場景中一些物體的構造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關系。再引導學生從兩條直線是否相交這一角度進行分類，認識同一平面內兩條直線的兩種位置關系：相交或不相交。在此基礎上，描述兩條直線互相平行的概念，使學生認識同一平面內不相交的兩條直線互相平行。再如：教學“認識方程”時，可以先結合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數的等式和不含未知數的等式，再引導學生從是否是等式，是否含有未知數兩個維度進行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數，又要是等式，并描述方程的概念，使學生認識到含有未知數的等式是方程。得出概念后，可以讓學生通過討論“等式和方程的關系”，體會到方程也是等式，進一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規律。如：教學“找規律”中的“試一試”時，可將“試一試”適當改變，問題如下：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，看看有什么關系。學生活動結束后，教師可展示三種情況的多個例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導學生從兩端物體是否相同這個角度，對上述例子進行分類，初步發現規律：兩種物體一一間隔排列成一行，當兩端物體相同時，位于兩端的這種物體的個數比另一種物體多1；當兩端物體不同時，這兩種物體的個數相同。再應用一一對應的思想解釋所發現的規律。課末，可以繼續進行擺小棒和圓片的活動：任意拿幾根小棒和幾個圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數數小棒的根數和圓片的個數，再次發現規律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個數相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進行對比，發現其本質相同。最后，將所發現的規律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問題。如：教學用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問題時，先要適當幫助學生弄清題意，再引導學生進行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學生一一列舉并寫下來，也可以讓學生用符號或畫圖來表達自己的思考過程。通過這樣的教學設計，體會分類列舉的優勢，幫助學生真正做到不重復、不遺漏。再如：教學用“假設和調整”的策略解決租船問題時，可以分成兩種情況進行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問題，即假設所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問題，即假設所租的船有大船，也有小船。問題解決后，先引導學生發現解決問題的方法：假設——比較——調整——檢驗，再引導學生體會解決此類問題時，從特殊情況入手比較簡單。

4.分類形成知識結構。在總復習階段，通過分類可以使數學知識條理化、系統化、結構化，有助于學生更好地掌握知識和形成良好的知識結構。如：復習“正比例和反比例”時，可以分類整理成下表，通過比較，幫助學生進一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學生掌握分類思想是數學教學的重要目標之一，是學生不斷經歷、體驗分類活動過程的結果。分類思想需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數學學習活動過程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無錫市教育科學研究院）