基于學生差異與發展需要整體構建“意義”

林良富

【設計理念】

1.基于教材、學情與研究現狀，提出自己的思考。

“分數的意義”是數意義的一次拓展，雖然各種版本的教材都采取了分段編排的原則，但真正實現對分數意義的深度理解需要一個漫長的過程。人教版五年級《分數的意義》一課，先呈現了5幅表示 的直觀圖示，意在讓學生通過直觀表征與語言表達，從“過程分數”的視角建立分數的概念；然后通過“分糖果”的活動，讓學生體會分數的分子、分母的含義，進一步從抽象的角度理解分數的概念。由于分數的意義內涵豐富，常常被很多名師從不同的視角展開經典的演繹。我想：學生心目中的“分數”經過兩年的自然生長能達到怎樣一個層次呢？學生整體理解分數的意義需要經歷怎樣的數學化過程、積累哪些數學活動經驗呢？分數的意義是否可以從整體建構的視角讓學生展開學習？通過前測和相關教學實踐研究，我找準了學生的現實起點，把握了學生的差異與知識自然增長的規律，在教學設計上大膽前置了學生的表征活動；基于學生發展的需要，從單元整體出發，鋪設了更多元的概念生長點，讓學生對概念的認識更豐滿、更全面。

2.基于“過程分數”的理解，設計豐富的活動。

理解分數的意義，對小學生來說，第一個層次就是對過程的理解，教師應該通過“圈、均分、涂色、表達”這樣一系列的活動體現作為過程的分數，以利于學生去構建他們心中的“過程分數”。為了體現這一原則，本節課設計了四次活動，讓學生在活動中理解、感悟、優化、積累經驗……真正體現“做數學”的過程。

3.基于學生理解水平的提升，精心設計大問題。

活動是一個載體，活動后的感知是一種表象或具象，如果概念學習僅僅停留在這一水平，對概念的理解只能處于表層。學生活動以后需要教師的大問題引領他們去思考具體表象后面的數學本質，將概念不斷抽象化、符號化。

【教學目標】

1.借助學生的差異資源，在學生已有經驗的基礎上進一步認識分數，理解分數的意義。

2.理解單位“1”，理解分數單位。

3.溝通分數、單位“1”、整數之間的關系，能在數直線上表示分數，為后續學習積累經驗。

【教學過程與意圖】

一、基于學生差異，初步理解分數的意義

（一）基于學生經驗，自主表征

1.關于分數，你已經知道了什么？請同學們靜靜想一想。

2.請同學們嘗試用不同的方法表示出心中的 ，可以畫圖或用語言描述，鼓勵與眾不同的表示方法。

3.學生嘗試表征，教師巡視指導并指派學生板演。

4.同桌相互交流：我是這樣表示出 的。

【本環節主要是通過一個問題和一次獨立表征 的嘗試活動，喚醒每一個學生對分數意義個性理解的經驗基礎和認知基礎，讓學生把經驗通過靜思默想、語言或圖畫展現出來，為課堂提供多元、豐富的學習資源。這樣開放的設計，是基于對學生前測數據的分析，是基于學生認知經驗的自然生長，是基于學生對分數畫圖表征的超前現實基礎。在前測中，有96.5%的學生能用一個物體、一個計量單位作單位“1”來準確地表示出自己喜歡的分數；有15%左右的學生能用幾個中的一個來表示幾分之一；還有5.5%的學生能用一些物體作單位“1”表示其中幾個物體占這個整體的幾分之一；只有3.5%左右的學生在獨立畫圖表征分數的過程中有一點瑕疵。基于學生這樣的認知基礎，我認為：分數的產生可以安排在三年級初步認識時學習，而對分數的意義的學習則可以直奔主題，從學生的自主表征開始。從多次教學實踐來看，這樣的導入設計是真正從學生的最近發展區出發，學生的現實創新能力要高于教材，高于教師的經驗預期。】

（二）喚醒學生的已有認知，理解一個物體的

1.整體展示下面幾種學生作品：

一個蘋果的 一個圖形的

一條線段的 4個物體的

師：指著前3幅圖，請你來說一說你是怎么表示出 的。

生（結合自己的圖示表達）：把**平均分成4份，其中的1份就是它的 。

2.教師小結：一個蘋果、一個圖形、一條線段等我們都可以稱為一個物體。（板書：一個物體）

3.師：剛才幾位同學都正確地表示出了一個物體的 ，它們有沒有相同的地方？（根據學生的回答板書：平均分成4份，表示這樣的1份）

（三）基于生活經驗與知識的自然增長，理解4個物體的

1.學生自主表達自己理解的 。

師：涂色的明明是一個圓，應該用1來表示，怎么可以用 來表示呢？

生1：4個圓中的1個，就是 。

生2：把4個圓平均分成4份，1份就是 。

生3：把4個圓看成一個整體，平均分成4份，其中的1份就是這個整體的 。

2.教師根據學生的回答不斷補充板書，引導所有的學生規范表達，并形成如下板書：

把這個整體平均分成4份，其中的1份就是這個整體的 。

師：這里把4個圓看成了一個整體，（板書：一個整體）用橢圓來表示，用虛線表示平均分成的份數。這樣的表示與前面的表示相比，最大的不同是什么？

【前測后的交流中，大部分學生認可幾個中的一個就是幾分之一，但學生是憑直覺和生活經驗去理解的，并沒有和規范的分數意義理解掛鉤。在學生展示原有個性理解的基礎上，如何把學生從直觀的理解引向對概念本質的理解？這需要教師的點撥與適時的追問、質疑，引領學生進一步從直覺、直觀走向作為“過程分數”的動態學習——把誰看成一個整體？怎樣均分、涂色？如何用語言完整表達？本環節基于學生的差異資源，用一個好的問題指引學生去思考、去重構知識。通過本環節的學習，學生已經從直觀、初步理性兩個維度擴展了分數的意義，但還只是停留在具體的個例學習階段，還屬于紙上談兵。】

二、經歷二次表征，在思辨中深度理解“ ”與單位“1”

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個整體的 。

請根據自己對 的理解，表示出下面各圖的 。

學生涂色表示出8個五角星的 和12個圓的 ，同時請兩位學生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個圓，應該用2來表示，怎么可以用 來表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？兩幅圖有什么共同點？

小結：把一些東西看成一個整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會兒表示1個物體，一會兒表示2個物體，一會兒又表示3個物體，這是怎么回事？

生1：它們的個數不同。

生2：第一幅圖的整體是4個物體，第二幅圖的整體是8個物體，第三幅圖的整體是12個物體，所以，三個 表示的物體的個數就不一樣。

小結：一個整體表示的數量不同，它的 表示的物體的個數就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個物體、4個物體、8個物體、12個物體外，還可以表示哪些數量的物體？

生1：還可以表示20個物體。

生2：只要是4的倍數都可以。

生3：雙數個物體就可以。

2.這個整體還可以表示更少或更小的數量嗎？

生1：一個物體。

生2：半個物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個的 。（教師適當補充：半個物體平均分成4份，每份是這半個的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結：這個神奇的整體，數學上還有一個更專業的名稱——單位“1”。（板書：單位“1”）為什么加了個引號？從單位“1”的角度說說什么是 。

4.舉例說說還可以把什么看成單位“1”。

【本環節是基于“關注每一個孩子，讓每一個孩子自主參與、親身經歷學習的全過程”這一教學理念，在前一環節紙上談兵的基礎上，設計人人動手、動腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個維度讓學生明理：一是求同，讓學生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對一個整體的認識進行拓展，通過幾個問題的追問，學生對 的認識與對單位“1”的認識越來越深刻、越來越接近概念的本質。這一環節中，既關注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對應了起來，為學生后續學習分數乘法的意義積累了經驗。】

三、在分一分、寫一寫的過程中，認識“分數單位”，理解分子、分母的含義

1.認識幾分之幾，揭示分數單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來表示，空白部分又可以用哪個分數來表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關系？（生： 里面有3個 ）

師：表示其中1份的 就是 的分數單位。

2.填上合適的分數。說說你是怎么想的，有幾個分數單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學用 表示，可以嗎？

3.請你分一分，并寫出幾個不同的分數。

追問與質疑：都是把12個笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個笑臉，為什么可以用三個不同的分數（ 、 、 ）來表示？

在分數中，分母由誰來決定？分子又由誰來決定？

（板書：單位“1” ）

師：要準確表示一個分數，我們既要關注單位“1”是什么，還要關注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說一說分數的意義。

（1）有一個分數，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個分數是（ ），它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。你認為a可能是哪些數？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對原有學生素材的再一次利用，通過兩個簡單的問題，讓學生從分數單位個數的累加組成分數的視角，進一步體驗作為單位累加的動態分數。再通過分一分、填一填的活動，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質疑中，讓學生明晰分子與分母的含義，并順勢進一步提升了分數意義的符號化與學生語言表達的水平。】

四、基于學生的發展，實現分數意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數、分數的關系。

（1）在（ ）里填上合適的數，并把它標在數直線上。

（2）反饋學生的成果。

（3）2個、3個長方形可以看成幾個這樣的單位“1”？在這條數直線上怎樣表示出來？（課件演示數直線的疊加）

2.初步感知分數的多種表示形式。

課件出示下圖，這個陰影部分可用什么分數來表示？怎么想的？在數直線上可以怎樣來表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個長方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因為題目已經規定把一個長方形看做單位“1”了，所以不是 ，應該比“1”大。

生3：這幅圖有7個 ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個單位“1”，還在第2個單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數直線上怎么表示？

3.小結與延伸。

學了這節課，你對分數又有了哪些新的認識？還有什么疑問嗎？

延伸：同學們能否表示出5個小圓片的 ？

【作為分數意義的第一次深度建構，給予學生整體、全面、豐富的認識是非常有價值的。從分數單位的累加、單位“1”的累加兩個維度拓展了學生的視野，讓學生的原有認知得以打破與重建；基于分數意義的另一個視角（量的表示、分數與除法的關系），最后將“表示出5個圓片的 ”作為課的延伸，讓學生帶著問題離開課堂，激發他們探究的欲望。

整節課，基于學生的差異與現實基礎，為學生搭建了一個開放的、自主的、以生為本的、凸顯數學思辨的學習平臺，讓學生在個性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構建；基于學生的長遠發展需要，我從作為過程的分數、分數單位累加的分數、作為量的分數，分數與整數的溝通及其在數直線上的表示等視角，設計活動與思辨，讓學生整體建構意義，提高其學習與思辨的能力，同時為他們后續學習分數與除法的關系、真分數與假分數等預留了眾多的生長點。】

（作者單位：浙江省寧波萬里國際學校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個整體的 。

請根據自己對 的理解，表示出下面各圖的 。

學生涂色表示出8個五角星的 和12個圓的 ，同時請兩位學生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個圓，應該用2來表示，怎么可以用 來表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？兩幅圖有什么共同點？

小結：把一些東西看成一個整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會兒表示1個物體，一會兒表示2個物體，一會兒又表示3個物體，這是怎么回事？

生1：它們的個數不同。

生2：第一幅圖的整體是4個物體，第二幅圖的整體是8個物體，第三幅圖的整體是12個物體，所以，三個 表示的物體的個數就不一樣。

小結：一個整體表示的數量不同，它的 表示的物體的個數就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個物體、4個物體、8個物體、12個物體外，還可以表示哪些數量的物體？

生1：還可以表示20個物體。

生2：只要是4的倍數都可以。

生3：雙數個物體就可以。

2.這個整體還可以表示更少或更小的數量嗎？

生1：一個物體。

生2：半個物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個的 。（教師適當補充：半個物體平均分成4份，每份是這半個的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結：這個神奇的整體，數學上還有一個更專業的名稱——單位“1”。（板書：單位“1”）為什么加了個引號？從單位“1”的角度說說什么是 。

4.舉例說說還可以把什么看成單位“1”。

【本環節是基于“關注每一個孩子，讓每一個孩子自主參與、親身經歷學習的全過程”這一教學理念，在前一環節紙上談兵的基礎上，設計人人動手、動腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個維度讓學生明理：一是求同，讓學生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對一個整體的認識進行拓展，通過幾個問題的追問，學生對 的認識與對單位“1”的認識越來越深刻、越來越接近概念的本質。這一環節中，既關注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對應了起來，為學生后續學習分數乘法的意義積累了經驗。】

三、在分一分、寫一寫的過程中，認識“分數單位”，理解分子、分母的含義

1.認識幾分之幾，揭示分數單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來表示，空白部分又可以用哪個分數來表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關系？（生： 里面有3個 ）

師：表示其中1份的 就是 的分數單位。

2.填上合適的分數。說說你是怎么想的，有幾個分數單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學用 表示，可以嗎？

3.請你分一分，并寫出幾個不同的分數。

追問與質疑：都是把12個笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個笑臉，為什么可以用三個不同的分數（ 、 、 ）來表示？

在分數中，分母由誰來決定？分子又由誰來決定？

（板書：單位“1” ）

師：要準確表示一個分數，我們既要關注單位“1”是什么，還要關注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說一說分數的意義。

（1）有一個分數，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個分數是（ ），它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。你認為a可能是哪些數？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對原有學生素材的再一次利用，通過兩個簡單的問題，讓學生從分數單位個數的累加組成分數的視角，進一步體驗作為單位累加的動態分數。再通過分一分、填一填的活動，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質疑中，讓學生明晰分子與分母的含義，并順勢進一步提升了分數意義的符號化與學生語言表達的水平。】

四、基于學生的發展，實現分數意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數、分數的關系。

（1）在（ ）里填上合適的數，并把它標在數直線上。

（2）反饋學生的成果。

（3）2個、3個長方形可以看成幾個這樣的單位“1”？在這條數直線上怎樣表示出來？（課件演示數直線的疊加）

2.初步感知分數的多種表示形式。

課件出示下圖，這個陰影部分可用什么分數來表示？怎么想的？在數直線上可以怎樣來表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個長方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因為題目已經規定把一個長方形看做單位“1”了，所以不是 ，應該比“1”大。

生3：這幅圖有7個 ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個單位“1”，還在第2個單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數直線上怎么表示？

3.小結與延伸。

學了這節課，你對分數又有了哪些新的認識？還有什么疑問嗎？

延伸：同學們能否表示出5個小圓片的 ？

【作為分數意義的第一次深度建構，給予學生整體、全面、豐富的認識是非常有價值的。從分數單位的累加、單位“1”的累加兩個維度拓展了學生的視野，讓學生的原有認知得以打破與重建；基于分數意義的另一個視角（量的表示、分數與除法的關系），最后將“表示出5個圓片的 ”作為課的延伸，讓學生帶著問題離開課堂，激發他們探究的欲望。

整節課，基于學生的差異與現實基礎，為學生搭建了一個開放的、自主的、以生為本的、凸顯數學思辨的學習平臺，讓學生在個性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構建；基于學生的長遠發展需要，我從作為過程的分數、分數單位累加的分數、作為量的分數，分數與整數的溝通及其在數直線上的表示等視角，設計活動與思辨，讓學生整體建構意義，提高其學習與思辨的能力，同時為他們后續學習分數與除法的關系、真分數與假分數等預留了眾多的生長點。】

（作者單位：浙江省寧波萬里國際學校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個整體的 。

請根據自己對 的理解，表示出下面各圖的 。

學生涂色表示出8個五角星的 和12個圓的 ，同時請兩位學生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個圓，應該用2來表示，怎么可以用 來表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？兩幅圖有什么共同點？

小結：把一些東西看成一個整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會兒表示1個物體，一會兒表示2個物體，一會兒又表示3個物體，這是怎么回事？

生1：它們的個數不同。

生2：第一幅圖的整體是4個物體，第二幅圖的整體是8個物體，第三幅圖的整體是12個物體，所以，三個 表示的物體的個數就不一樣。

小結：一個整體表示的數量不同，它的 表示的物體的個數就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個物體、4個物體、8個物體、12個物體外，還可以表示哪些數量的物體？

生1：還可以表示20個物體。

生2：只要是4的倍數都可以。

生3：雙數個物體就可以。

2.這個整體還可以表示更少或更小的數量嗎？

生1：一個物體。

生2：半個物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個的 。（教師適當補充：半個物體平均分成4份，每份是這半個的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結：這個神奇的整體，數學上還有一個更專業的名稱——單位“1”。（板書：單位“1”）為什么加了個引號？從單位“1”的角度說說什么是 。

4.舉例說說還可以把什么看成單位“1”。

【本環節是基于“關注每一個孩子，讓每一個孩子自主參與、親身經歷學習的全過程”這一教學理念，在前一環節紙上談兵的基礎上，設計人人動手、動腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個維度讓學生明理：一是求同，讓學生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對一個整體的認識進行拓展，通過幾個問題的追問，學生對 的認識與對單位“1”的認識越來越深刻、越來越接近概念的本質。這一環節中，既關注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對應了起來，為學生后續學習分數乘法的意義積累了經驗。】

三、在分一分、寫一寫的過程中，認識“分數單位”，理解分子、分母的含義

1.認識幾分之幾，揭示分數單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來表示，空白部分又可以用哪個分數來表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關系？（生： 里面有3個 ）

師：表示其中1份的 就是 的分數單位。

2.填上合適的分數。說說你是怎么想的，有幾個分數單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學用 表示，可以嗎？

3.請你分一分，并寫出幾個不同的分數。

追問與質疑：都是把12個笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個笑臉，為什么可以用三個不同的分數（ 、 、 ）來表示？

在分數中，分母由誰來決定？分子又由誰來決定？

（板書：單位“1” ）

師：要準確表示一個分數，我們既要關注單位“1”是什么，還要關注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說一說分數的意義。

（1）有一個分數，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個分數是（ ），它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分數單位是（ ），有（ ）個這樣的分數單位。你認為a可能是哪些數？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對原有學生素材的再一次利用，通過兩個簡單的問題，讓學生從分數單位個數的累加組成分數的視角，進一步體驗作為單位累加的動態分數。再通過分一分、填一填的活動，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質疑中，讓學生明晰分子與分母的含義，并順勢進一步提升了分數意義的符號化與學生語言表達的水平。】

四、基于學生的發展，實現分數意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數、分數的關系。

（1）在（ ）里填上合適的數，并把它標在數直線上。

（2）反饋學生的成果。

（3）2個、3個長方形可以看成幾個這樣的單位“1”？在這條數直線上怎樣表示出來？（課件演示數直線的疊加）

2.初步感知分數的多種表示形式。

課件出示下圖，這個陰影部分可用什么分數來表示？怎么想的？在數直線上可以怎樣來表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個長方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因為題目已經規定把一個長方形看做單位“1”了，所以不是 ，應該比“1”大。

生3：這幅圖有7個 ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個單位“1”，還在第2個單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數直線上怎么表示？

3.小結與延伸。

學了這節課，你對分數又有了哪些新的認識？還有什么疑問嗎？

延伸：同學們能否表示出5個小圓片的 ？

【作為分數意義的第一次深度建構，給予學生整體、全面、豐富的認識是非常有價值的。從分數單位的累加、單位“1”的累加兩個維度拓展了學生的視野，讓學生的原有認知得以打破與重建；基于分數意義的另一個視角（量的表示、分數與除法的關系），最后將“表示出5個圓片的 ”作為課的延伸，讓學生帶著問題離開課堂，激發他們探究的欲望。

整節課，基于學生的差異與現實基礎，為學生搭建了一個開放的、自主的、以生為本的、凸顯數學思辨的學習平臺，讓學生在個性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構建；基于學生的長遠發展需要，我從作為過程的分數、分數單位累加的分數、作為量的分數，分數與整數的溝通及其在數直線上的表示等視角，設計活動與思辨，讓學生整體建構意義，提高其學習與思辨的能力，同時為他們后續學習分數與除法的關系、真分數與假分數等預留了眾多的生長點。】

（作者單位：浙江省寧波萬里國際學校）