Steiner—Lehmus定理的三個簡潔證法

1840年德國人萊默斯（C.L.Lehmus）發現命題：兩內角平分線相等的三角形是等腰三角形。很難用純兒何方法證明，于是他寫信給斯圖姆（Sturm），而其又將問題提供給一些數學家，第一個給出回答的是瑞士幾何學家斯坦納（Steiner）。故人們將這個問題稱為“斯坦納——萊莫斯”定理。繼斯坦納之后，這一定理豐富多彩的證明陸續發表，但大多是間接證法，直接證法難度頗大。一百多年來，人們在探索其簡潔直接證法，一直是引人入勝的課題。特別是斯坦納（Steiner）原證過于復雜，1961年《科學美國人》專欄作家馬丁.加德納（M.Gardner）又推波助瀾收到一百多封來函提出不同證法。其中最稱簡潔的是工程師G.Gilbert和D.Macdonnell的反證法。梁紹鴻《初等數學復習及研究（平面幾何）》中介紹了德國數學家海塞（L.O.Hesse，1811—1874）的純幾何證法，日本人秋山武太郎在《平面、立體幾何學》中對該證法有很高的評價：“今后恐怕難有比這更好的證法了”。近年來，國內研究者對該定理的證法新穎多樣，不凡優秀簡潔證法。有信息顯示，到目前國內外有近二百種證法。

本文對該問題研究過多年，下面介紹近幾年得出的三個適合中學生的簡潔證明。

△ABC中，AB=AC，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BD=BE。求證AB=AC。

證明（一）：分別作AM∥BD，AN∥CE，交BC延線于M、N；令AB=c，AC=b，BDC=a，BD=CE=L，AM=m，AN=n；∠ABC=2α，∠ACB=2β，AE=x，AD=y.

由平分線定理、平行條件，得

x= ，y= ， = （1）；

由∠ABM、∠ABC，∠ABM、∠ABC互補，再由余弦定理得

cos∠ABM+cos∠ABC=0，cos∠ACN+cos∠ACB=0.化簡得

= ， = （3）.

將（3）代入（1）化簡即得

b=c，命題得證。

證明（二）：△ABC中，由正弦定理，得 = = ；

= . （1）.

其中， = ， = ；x= ，y= .代入（1），化簡既得

b=c.命題得證。

證明（三）：S△ABD+S△DBC=S△ACE+S△BCE=S△ABC，即

= （1）， = （2）；

，化簡既得

= .

假設b>c或α>β均得出矛盾。從而命題得證。

參考文獻：

[1]《歷史數學命題賞析》（上海教育出版社，沈康身著，2002.09版）