實變函數課程中點集與測度論教學改革初探

趙侯宇

（重慶師范大學 數學學院，中國 重慶 401331）

點集和測度論作為實變函數課程中的重要組成部分，占據著重要位置.這部分內容具有理論性強、概念性多、比較抽象等特點,教師在進行授課時，如果只是一味的介紹，會導致學生產生厭學、抵觸情緒，進而影響教學質量.如果在教學過程中做一些適當的引導，設置一些問題，讓學生利用學到的知識自己探索，這樣不僅使學生對知識掌握的更加牢固，也能使教學效果事半功倍.下面，我們通過幾個定理和例題來解釋教師在授課時的技巧和方法對學生影響的重要性.

例1 證明：P0∈E′的充要條件是在任意含有P0的鄰域U(P,δ)(不一定以P0為中心)中，恒有異于P0的點P1屬于E(事實上，這樣的P1還有無窮多個)；而P0∈E的開核的充要條件則是由含有P0的鄰域U(P,δ)(同樣，不一定以 P0為中心)存在，使 U(P,δ)?E.

分析：此題考查對幾種點集的概念及相關性質的理解，主要包括開核、導集的定義及聚點的等價性質.事實上，只要熟練掌握這些概念，便能自然的推導出本題的結論.對于第一問，首先應該知道導集具體是什么樣的集合，其次，利用導集中的點都是聚點聯想到聚點的幾個等價條件；對于第二問，只要知道了開核的定義，從此下手便可得到結果.針對上面的解題思路，只要教師在課堂上介紹這些集合的具體含義，并逐步引導學生推導出相關性質，相信學生會較順利的完成該題.

證明：（1）若 P0∈E′，則對任一含 P0的鄰域 U(P,δ)，必有以 P0為中心的鄰域 U(P0)?U(P,δ)，所以存在 P1∈U(P0)?E∩U(P,δ)，且 P1=P，即任何含有P0的鄰域中含有一點P1異于P0而屬于E.

反之，若一含有P0的鄰域有異于P0的點P1屬于E，當然對任一P0的鄰域 U(P0)中也有異于P0的點P1屬于 E，故 P0∈E′.

（2） 若 P∈E 的開核，則有 U(P0)?E.反之，若 P0∈U(P,δ)?E，必有U(P0)?U(P,δ)?E,即 P0∈E 的開核.

例2 關于康托三分集的學習.

分析：康托三分集是點集理論中的重要例子，如何講好這部分內容是一個值得考慮的問題.教師可根據前面所學知識提出一些疑問，例如是否存在一個測度為零的完備集，并且它的基數是連續基數，借此引出康托集的概念.不妨利用幾何的方式，即在黑板上畫出康托集是如何構造出來的，隨之將其中的性質介紹出來.比如每次取完中間一段區間后，剩下的每個區間長度是多少，它們之間是否有公共端點等，一步步的帶著學生將康托三分集的性質得到，即：康托三分集是一個測度為零且具有連續基數的疏朗完備集.這樣，學生在教師的指導下，一定能夠較深刻的理解康托三分集的這些性質，課后，只要稍加復習，相信學生能夠熟練掌握這些知識.

例3 設 E?Rq，存在兩列可測集{An}，{Bn}，使得 An?E?Bn且 m(Bn-An)→0(n→∞)，則 E 可測.

分析：此題考查對可測集的概念、性質以及測度、外測度的定義.具體來說，我們注意到An?E?Bn，并且告訴了我們An，Bn是兩個可測集列，因此，可能會用到它們的交集.而交集顯然比每一個集合都小，從而進一步可推導出Bn的交集與E的差集等結論，這樣順著此條思路，我們便可逐漸得到結論.該題是學生在對可測集和測度相關內容熟悉的基礎上的一點推廣，教師對這部分內容進行講授時，特別是對可測集的性質的介紹，不妨讓學生根據可測集的定義，自己去推導幾個性質，以達到事半功倍的教學效果.

也可測.

例4 設{En}是[0,1]中可測集列，若 m(En)=1,n=1,2,…，則=1.

分析：本題考查可測集的相關性質，具體來說是指通過集合間的運算，運用可測集的性質進行討論來完成證明.事實上，我們看到要證的測度為1，又觀察到而每一個En的測度都是1，因此聯想到它們之間的聯系，不妨取其中一個集合E1，通過測度定義得到與之相關的等式，再進行計算，期間我們也能夠發現整個區間[0,1]的測度是1，而每個En的測度是1，從而每個En的補集測度為0，這為我們提供了一些信息，證明過程中或許會用到，通過一步步的引導，相信學生能夠做出此題.

證明：因為

而我們知道m(E1)=1,

所以

即本題結論得證.

通過對上面幾個例題和定理的分析，我們可以看到對于點集和測度論這兩部分內容及解題過程中應用的一些重要技巧和方法都是在對基礎知識熟練掌握基礎上才能夠實現的，這個過程需要教師不斷改進教學手段，通過引導、啟發式教學，讓學生自己探索，找到學習的樂趣，才能使學生對這門本就相對枯燥的課程產生興趣，進一步又促使他們去探索、主動學習.當然，教師在這個過程中扮演著重要的角色，不單只是講解問題，還要引導學生自己去發現問題，解決問題，使學生在整個學習過程中充分發揮主動性，自覺地聯系所學知識，經常總結，并愿意學好這門課程.

［1］程其襄,張奠宙,魏國強,胡善文,王漱石.實變函數與泛函分析基礎[M].3版.北京∶高等教育出版社,2010.

［2］周明強.實變函數倫[M].北京∶北京大學出版社,2001.