拋物型方程的一個新的數值格式

王自強(貴州民族大學 理學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

在滲流、熱傳導、擴散等領域中常常會遇到求解拋物型方程的問題，對這一類方程的數值求解一直是科學工作者研究的熱點問題之一，如文獻[1-5]。本文考慮如下一維拋物型方程：

滿足下列初值條件：

求解上述拋物型問題，方法很多，典型的方法有：有限差分法，有限元法，譜方法，譜元法，無網格法，有限體積法等。本文利用半步長格式和交替方向法構造了一個數值格式，理論分析證明該格式是絕對穩定的。

1 差分格式的構造

在上述七個節點上u的值在節點（jh，nΔt）處做Taylor展開，便得到式（1）的差分格式，格式分兩塊，如下：

其中j=1,2，…，M，容易驗證，格式(4)和格式(5)的截斷誤差均為：O（τ+h2）。 令為網比，由此得到(4)和(5)的差分方程組的矩陣形式如下∶

系數矩陣A，C和右端向量吧b，d如下：

2 穩定性分析

引理 1(胡家贛引理)設M=（mij）為 n×n 矩陣，N=（nij）為 n×m 矩陣，且M為嚴格對角占優矩陣，則：

定理1由格式(4)和格式(5)構成的差分格式是絕對穩定的。

證明：對格式(4)和格式(5)的矩陣形式(6)和(7)進行穩定性分析，先分析格式(6)，對于系數矩陣A，由于：

因而，由（4）和（5）構成的差分格式是絕對穩定，定理證畢。

［1］袁光偉,岳晶巖,盛志強,等.非線性拋物型方程計算方法[J].中國科學∶數學,2013(3)∶235-248.

［2］詹涌強,譚志明.求解拋物型方程的一個高精度隱格式[J].西南大學學報∶自然科學版,2013,11∶12.

［3］詹涌強,張傳林.解拋物型方程的一個新的高精度隱格式[J].華中師范大學學報∶自然科學版,2014,48(2)∶168∶171.

［4］王自強,曹俊英,宋士倉.半線性拋物型方程改進全離散雙尺度有限元分析[J].河南師范大學學報∶自然科學版,2010,38(1)∶41-43.

［5］曹俊英,王自強,復合材料板熱傳導問題的二階雙尺度算法[J].貴州科學2014,32(3)∶17-20.

［6］Hu Jiagan.The estimates ofand the optimally scaled matrix[J].Journal of Computational Mathematics,1984,2∶122-129.