多車種LWR交通流模型的半離散中心迎風格式

胡彥梅， 封建湖， 陳建忠

（1.長安大學理學院，西安 710064；2.西北工業大學自動化學院，西安 710072）

多車種LWR交通流模型的半離散中心迎風格式

胡彥梅1， 封建湖1， 陳建忠2

（1.長安大學理學院，西安 710064；2.西北工業大學自動化學院，西安 710072）

對多車種LWR交通流模型，給出一種半離散中心迎風格式，該格式以五階WENO-Z重構和半離散中心迎風數值通量為基礎.WENO-Z重構方法的引入提高了格式的精度，并保證格式具有基本無振蕩的性質.時間的離散采用保持強穩定性的Runge-Kutta方法.通過數值算例驗證了格式的有效性.

多車種；LWR交通流模型；半離散中心迎風格式；WENO-Z重構

0 引言

交通流的流體力學模型將交通流視為由大量車輛組成的可壓縮連續流體介質，研究車輛集體的平均行為.它的發展始于LWR模型［1－2］，該模型可以描述交通激波的形成以及阻塞的疏散，但假定車輛速度始終滿足平衡關系，不能揭示非平衡態的車輛運動，如時走時停、交通遲滯等現象.為了克服LWR模型的不足，研究者提出了高階模型和多車種模型.多車種模型對每一個車種建立質量守恒方程，同時設定速度－密度函數關系得到模型［3］.

各種多車種LWR模型中，目前研究較多的是Wong和Wong［4］提出的模型，該模型能夠模擬擁擠和非擁擠條件下，不同速度車輛之間的相互影響，如超車及慢車阻礙快車行駛等車輛行為.文獻［5－6］完整地探討了該模型的雙曲性質，Zhang等［7－8］將該模型推廣到非均勻道路上，討論了流通量間斷的多車種LWR模型.

數值模擬方面，Zhang等［9］采用WENO（weighted essentially non-oscillatory）格式［10］、Chen等［11］基于四階松弛格式［12］、Ngoduy和Liu［13］利用一階HLLE（Harten-van Leer-Lax and Einfeldt）格式［14］對多車種LWR交通流模型進行了數值求解.Zhang等［9］還對WENO格式與Lax-Friedrichs格式和Godunov格式的計算結果進行了比較，結果表明為了在計算中不丟失解函數的真實信息，需要引入高精度、高分辨率數值方法對交通流模型進行求解.文獻［7，15］對非均勻道路的多車種模型進行了數值求解.Zhang等［8］提出了可以與任何經典格式結合的混合格式，即將所謂的δ－映射算法與經典格式結合，形成新的混合格式.他們選擇δ－映射與WENO五階重構結合的混合格式對流通量間斷的多車種LWR模型進行數值求解.

本文研究另一類高分辨率數值方法，即半離散中心迎風格式［16］，該格式具有較多優點.首先，不需要進行復雜且耗時的特征分解過程，研究多車種LWR模型的最大困難在于不能得到顯式的特征結構［6］.文獻［6］證明隱式存在的特征值，但需數值求解隱式的代數方程，計算量很大，即使數值求解得到特征值，在某些密度為0的情形，方程組是非嚴格雙曲的，并不總是能做特征分解，因此半離散中心迎風格式特別適合多車種LWR模型的數值求解.其次，通過對單側局部速度的估計，該格式考慮了波傳播的方向，使得它又具有迎風的性質，這也是該格式被稱為中心迎風格式的原因.再次，該格式易于推廣，其在Hamilton-Jacobi方程、磁流體方程、兩車種LWR模型［17］的計算及多組分流、不可壓縮流的模擬等方面得到應用，其在半導體等領域的應用也在不斷地發展完善.

本文以五階WENO-Z［18］重構和保持強穩定性的Runge-Kutta方法為基礎［19］，給出一種求解多車種LWR模型的五階半離散中心迎風格式.與WENO重構方法相比，WENO-Z重構具有更低的數值耗散和更高的分辨率.WENO-Z重構方法的引入既提高了半離散中心迎風格式的精度，又可保證格式是基本無振蕩的.最后應用本文格式對排隊消散等問題進行數值模擬，并與WENO格式的計算結果進行比較.

1 多車種LWR交通流模型

多車種LWR交通流模型［4］將車輛按其行駛速度分為M個車種，對每一個車種建立質量守恒方程，同時設定速度－密度函數關系得到模型.設ρm（x，t）和um（x，t）分別表示第m種車輛的密度和速度，則多車種LWR模型可表示為

式中u＝［ρ1，ρ2，…，ρM］T，f（u）＝［ρ1u1，ρ2u2，…，ρMuM］T．

為了使方程封閉，引入速度－密度函數關系

假設各車種的速度按從小到大的順序排列，即

且u滿足

由（5）式可知模型（1）為嚴格雙曲型方程組．需要指出的是，對某一種車流的密度ρm＝0以及總密度達到阻塞ρ＝ρjam的情形，不等式（5）可以取等號，詳細討論見文獻［6］．

2 多車種LWR模型的半離散中心迎風格式

式中χj是Ij上的特征函數.可能在網格界面｛xj＋1／2｝處間斷，估計間斷面向左側和右側傳播的局部速度［16］

半離散中心迎風格式對模型（1）的空間離散可表示為［16］

其中數值通量

半離散中心迎風格式（10）－（11）的精度由重構（6）的精度決定，不同的格式基于不同的重構方法.在各種無振蕩重構中，發展較好的是WENO重構方法［10，21］和中心WENO重構方法［22］.本文采用五階WENO-Z重構［18］，WENO-Z重構是在WENO重構的基礎上發展起來的，通過設計高階的光滑因子，構建無振蕩的權，WENO-Z重構比WENO重構具有更低的數值耗散和更高的分辨率.

最后用保持強穩定性的三階Runge-Kutta方法［19］對半離散格式的時間方向進行離散.

3 數值模擬

算例1 初始擾動問題［5］.考慮長度L＝10 000 m的路段，車種數M取5，各車種的速度－密度關系

式中ufm是第m種車輛的自由流速度，分別取為8，11，14，17，20 m·s－1.將密度、速度、空間和時間變量分別除以ρjam、uf5、L和T進行無量綱化，其中T表示計算的時間.初值取為

算例2 過激波和稀疏波的密度變化［6］.考慮長度L＝8 000 m的路段，車種數M取3，各車種的速度－密度關系

式中ufm分別取為12，16，20 m·s－1，計算時空間步長取10 m，CFL數取0.48，與算例1類似對變量進行無量綱化.初值取

圖3（a）和圖3（b）分別給出T＝240 s時各車種的密度和總密度.圖3中，約在x＝0．26之前的部分為解函數的第1個常數區域.約在x＝0．26至x＝0．64之間為1－稀疏波，在這一區域各車種的密度和車流總密度均單調遞減.約在x＝0．64至x＝0．725之間為解函數的第2個常數區域.約在x＝0．725處為2－激波，穿過激波后，第2種和第3種車流的密度有一定的增加，而第1種車流的密度有所減小，車流總密度有所增加.約在x＝0．725至x＝0．78之間為解函數的第3個常數區域.約在x＝0．78處為3-激波，穿過激波后，第3種車流的密度有一定的增加，而第1種和第2種車流的密度有所減小，車流總密度略有增加.約在x＝0．78之后的部分為解函數的第4個常數區域.

上述過激波和在稀疏波內密度單調性變化的模擬結果與文獻［6］的理論分析結果一致，同時，通過該算例也驗證了本文格式的有效性.

算例3 排隊消散問題［4，9］.考慮長度L＝2 km的路段，車種數M取9.左邊界設為0 veh·km－1，右邊界采用自由出流邊界條件.各車種的速度－密度關系為Drake模型［23］的推廣：

式中ρ0為最佳密度，取為50 veh·km－1.各車種占混合交通流的比例和自由流速度如圖4所示.

情形1.非擁擠交通狀態

初始的排隊車隊如圖5所示，最大密度為40 veh·km－1，低于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流處于非擁擠狀態.為便于比較，將文獻［9－10］中的五階WENO格式簡記為WENO，本文的半離散中心迎風格式簡記為SDCU，并用N表示空間網格數目.圖6給出兩種格式的計算結果，網格剖分為400，CFL數取0.48，計算到T＝0.015 h.圖中實線是取12 800個網格點，本文格式的計算結果，可以看作是精確解.圖6中車流總密度出現九個小的“臺階”，與初始時九種類型車輛混合相對應，這些小的“臺階”實際上是激波［6，9］.從圖6可以看出，本文方法對激波具有較高的分辨率，并且優于WENO格式的計算結果.表1給出T＝0.015 h時刻兩種格式的L1誤差，當網格點增加時，兩種格式計算結果的誤差均不斷減小，SDCU格式的誤差均小于WENO格式.圖7給出了不同時刻的總密度圖，可以看出排隊消散和臺階現象出現的演變過程，在非擁擠狀態下車輛可以超車并以期望的速度行駛，所以排隊尾部和前部均隨時間的推移逐漸消散.

情形2.擁擠交通狀態

初始的排隊車隊如圖8所示，最大密度為120 veh·km－1，高于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流處于擁擠狀態.圖9給出了T＝0.045 h時兩種格式的計算結果，可以看出SDCU格式的結果略優于WENO格式.表2對兩種格式的L1誤差進行了比較，在不同的網格下SDCU格式的誤差均小于WENO格式.圖10給出不同時刻的總密度圖，車輛在擁擠狀態下，超車受到限制，所以排隊尾部車輛消散是非常有限的，當密度接近最佳密度時，排隊尾部車輛逐漸開始消散，當密度低于最佳密度時，車輛處于非擁擠狀態，排隊消散過程與非擁擠交通狀態類似，而排隊前部的車輛由于下游沒有車輛可以隨時間的推移逐漸消散.

4 結論

將WENO-Z重構方法和半離散中心迎風數值通量結合起來，利用半離散中心迎風數值通量簡單、實用和WENO-Z重構高精度、基本無振蕩的優點，得到了一種求解多車種LWR交通流模型的高分辨率數值方法.對初始擾動問題、過激波和稀疏波的密度變化和排隊消散問題進行了數值模擬，并將該方法與WENO格式的計算結果進行比較，結果表明本文方法具有更低的數值耗散和更高的分辨率.也可以將本文格式推廣到流通量間斷的多車種LWR模型［6］，或嘗試將其與δ-映射算法［8］結合求解流通量間斷的多車種LWR模型，這方面的進展將在以后的文章中詳述.

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A Semi-discrete Central-upwind Scheme for Multi-class Lighthill-Whitham-Richards Traffic Flow Model

HU Yanmei1，FENG Jianhu1，CHEN Jianzhong2
（1．College of Science，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2．College of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

A semi-discrete central-upwind scheme for multi-class Lighthill-Whitham-Richards（LWR）traffic flow model is presented.It combines improved fifth-order weighted essentially non-oscillatory（WENO）reconstruction called WENO-Z with semidiscrete central-upwind numerical flux.WENO-Z reconstruction improves accuracy of solution with non-oscillatory property.Time integration is carried out with strong stability preserving Runge-Kutta method.Numerical results demonstrate the scheme is efficient.

multi-class；LWR traffic flow model；central-upwind scheme；WENO-Z reconstruction

date： 2013－07－03；Revised date： 2013－10－11

O35；O241.82

A

1001-246X（2014）03-0323-08

2013－07－03；

2013－10－11

國家自然科學基金（11102165，11171043），陜西省自然科學基礎研究計劃（2012JM1001，2013JQ7014），中央高校基本科研業務費專項資金（CHD2011JC039）及西北工業大學基礎研究基金（JC201254）資助項目

胡彥梅（1976－），女，博士生，講師，從事計算流體力學、交通流模型與數值模擬研究，E-mail：yanmeihu＠126.com