淺析動力學問題的求解方法

趙麗霞

（安徽理工大學理學院力學系，安徽 淮南 232001）

動力學是研究物體運動與力之間關系的學科，生活日益發展的今天，動力學已經涉及到各個領域，生產方面：石油的開采、汽車的研發、航空航海、機械的研發等。生活方面：足球動力學、排球動力學、高爾夫動力學等。因此，隨著動力學的廣泛應用，研究該問題的求解方法不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的工程實踐意義。在經典力學的發展中，對動力學問題的研究主要有兩個角度：牛頓力學和分析力學。

1 牛頓力學

牛頓力學大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學。其求解動力學問題時主要依據的就是我們比較熟悉的動量定理、動量矩定理、動能定理三大動力學普遍定理。

1.1 主要內容

（1）動量定理

在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于在這段時間內作用于質點系外力沖量的矢量和。即

（2）動量矩定理

質點系對某固定點O的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和。即

（3）動能定理

質點系在某一運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質點系的全部力在這一過程中所作的功之和。即

1.2 動力學三大定理的對比分析

（1）動量定理反應力對時間的累積效應，而動能定理反應力對路程的累積效應。

（2）動量和動能定理無需對過程是怎樣變化的細節深入的研究，而更關心的是運動狀態變化即改變結果量及其引起變化的原因。對任何過程的恒力、變力；勻變速、非勻變速；直線運動、曲線運動；時間長、瞬間過程；單、多過程都能運用。但動量矩定理只適用于瞬時狀態。

（3）動量和動量矩定理表達式均是矢量形式，且內力不參與計算；動能定理表達式為標量形式，并且若系統內力做功，方程中也必須包含該內力。

1.3 使用動力學三大定理解題的優先順序

（1）在涉及力、位移時優先考慮能量途徑。

（2）在涉及力、時間時優先考慮動量途徑。

（3）若研究對象做定軸轉動或平面運動，則一般先考慮動量矩定理。

2 分析力學

分析力學是理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質點系的變數，運用數學分析的方法，研究宏觀現象中的力學問題，是對經典力學的高度數學化的表達。分析力學是獨立于牛頓力學的描述力學世界的體系。分析力學的基本原理同牛頓運動三定律之間可以互相推出。分析力學又分為拉格朗日力學或哈密頓力學。前者以拉格朗日量刻劃力學系統，運動方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學系統，運動方程為哈密頓正則方程。

2.1 主要內容

（1）動力學普遍方程

在理想約束情況下，任一瞬時，作用于質點系上的主動力和慣性力在質點系的任意虛位移上所作虛功之和等于零。即

（2）拉格朗日方程

其中T為質點系的動能；L為質點系的動勢L=T-V；qk為廣義坐標；q·k為廣義速度。

（3）哈密頓正則方程

2.2 三種方程的對比分析

（1）在動力學普遍方程中不會出現約束反力，它提供了具有任意多自由度系統的全部運動方程，但是由于約束的存在，求解時需找出虛位移之間的關系，有時很不方便。

（2）拉格朗日方程采用廣義坐標建立，它提供了與廣義坐標數目相同的一組獨立微分方程，對于解決復雜質點系的動力學問題是比較簡便和有效的。

（3）哈密頓正則方程與拉格朗日方程是等價的，將廣義動量引入到方程中，方程數目比拉格朗日方程數目更多，但是它的形式是簡單而對稱的，而且微分方程階數低，更易于求解。

3 牛頓力學與分析力學的對比分析

（1）牛頓力學以牛頓定律為理論基礎，分析力學的基本原理主要是虛功原理和達朗伯原理，而前者是分析靜力學的基礎；前后兩者結合，便可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統的動力方程。

（2）牛頓力學主要采用幾何法求解問題，而分析力學主要是運用分析的方法。

（3）在研究觀點上牛頓力學側重力，分析力學則是側重更廣泛意義的能量，所以它具有高度的統一性和普遍性。

（4）分析力學引入了廣義坐標、廣義力、廣義動量等，使分析力學的方法與結論所適用的范圍可以超出力學的領域。它廣泛用于結構分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統和機器人動力學以及各種工程技術領域，也可推廣應用于連續介質力學和相對論力學。

（5）牛頓力學與分析力學的研究對象都可以是質點系，質點系可視為一切宏觀物體組成的力學系統的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質點系，質點數可由1到無窮。但在牛頓力學中的質點系主要是剛體，而分析力學中的質點系可以推廣到彈性體、流體等以及它們的綜合體。

（6）對于自由質點或比較簡單的質點系，牛頓力學與分析力學兩種方法無優劣之分，有時后者反而顯得麻煩一些，但是分析力學對于具有約束的復雜質點系的求解更為優越，因為有了約束方程，系統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數隨之降低，更易于求解。

4 結論

通過前面的分析，我們知道動力學問題的求解方法比較多，在工程實際中，應根據具體問題類型選擇最佳的求解方法，這就需要我們熟悉各種求解方法的適用范圍及優缺點。同時，通過牛頓力學與分析力學的對比，從對運動方程建立的方法的研究，可以看出分析力學具有更高的統一性和普遍性，它的適用范圍可以超出力學領域向其它學科延伸。

［1］王振發.分析力學[M].科學出版社.

［2］郭志榮,王晨,等.理論力學中的牛頓力學與分析力學方法之淺析[J].廊坊師范學院學報,2009(02).

［3］哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學[M].高等教育出版社.