Kaufman放電室二次電子溫度的計算方法研究

吳辰宸，顧左

（蘭州空間技術物理研究所真空技術與物理重點實驗室，甘肅蘭州 730000）

Kaufman放電室二次電子溫度的計算方法研究

吳辰宸，顧左

（蘭州空間技術物理研究所真空技術與物理重點實驗室，甘肅蘭州 730000）

二次電子溫度計算是研究Kaufman放電室的核心內容之一。針對Kaufman放電室建立穩態平板非均勻放電模型對二次電子溫度進行求解。穩態平板非均勻放電模型從擴散方程出發，重點考慮離子漂移造成的擴散運動和雙極性電場對放電室徑向密度梯度造成的影響，進一步結合粒子數守恒方程，給出用于求解二次電子溫度的方程的解析表達式。代入典型的Kaufman放電室結構參數進行計算的結果表明，用穩態平板非均勻放電模型計算出來的二次電子溫度符合實驗測量的范圍，同時說明在中低壓放電條件下，擴散運動和雙極性電場是影響放電性能的關鍵參數。

非均勻放電；擴散；雙極性電場；二次電子溫度；解析模型

0 引言

離子推力器作為當今宇航推進領域極具競爭力的一種動力裝置，其主要特點是小推力、高比沖、推力可精確調節，已經在中高軌道衛星位置保持和軌道轉移、深空探測等宇航任務中得到應用。發展小衛星進行阻尼補償、軌道升降、位置保持、姿態控制、編隊飛行等任務所需要的微小電推進技術[1]，意義十分重大。離子推力器主要由放電室、空心陰極、離子光學系統以及中和器四個部分組成，其中放電室作為離子推力器的核心組件，其性能的優劣直接影響著離子推力器的性能，研究離子推力器放電室放電機理，對于改善放電室性能，進一步提升離子推力器的性能有重要意義。

目前的離子推力器主要采用Kaufman離子源放電室。Kaufman離子源通過空心陰極發射原初電子轟擊注入放電室內的中性氣體工質，通過電離產生等離子體，原初電子和電離過程產生的二次電子一起近似服從Maxwell分布，等離子體中的離子通過離子光學系統的聚焦作用，被加速引出進而產生推力。在Kaufman放電室中，作為等離子體組分的電子和離子的輸運機制，是影響放電室性能的重要因素。為了有效約束放電室內電子的平均自由程，進一步提升電離率，通常采用磁場進行約束。因此研究磁場作用下的電子、離子輸運過程顯得極為關鍵。

目前對Kaufman放電室內的等離子體放電機制的研究主要手段有兩種：數值模擬和理論分析。其中，理論分析對于解釋放電室內放電機理和損耗機制更為有效。國內外開展Kaufman放電室理論模型的研究已經有40余年，期間比較具有代表性的模型有Brophy等[2-3]在1984年提出的離子推力器放電室簡化靜態模型；Goebel等[4-5]在此基礎上豐富了模型的內容，Goebel[6]的模型分析了磁場對離子、原初電子的約束效果，引入了陽極鞘層的物理性質，Goebel的模型構建了一組完備的描述Kaufman放電室性能的方程組，適合于計算機求解。

在研究放電室放電性能時，近似服從Maxwell分布的二次電子溫度是一個非常核心的參數，作為關鍵的等離子體參數，承前啟后地連接著Kaufman放電室輸入參數和輸出參數。因此，為了更好的理解Kaufman放電室放電機制，為更進一步研究Kaufman放電室放電性能提供理論基礎，尋找一種理論上求解電子溫度的方法是非常有意義的。文章從等離子體基本物理原理出發，根據Kaufman放電室的幾何結構和放電條件，建立合適的放電模型，通過研究Kaufman放電室徑向帶電粒子密度梯度分布，同時結合粒子數守恒方程求解二次電子溫度的平均值。由于放電損耗是二次電子溫度的函數，研究成果可以為深入研究Kaufman放電室的放電損耗提供理論依據。

1 理論模型

現有Kaufman放電室等離子體放電屬于部分電離等離子體，其中重要的物理過程是帶電粒子與中性粒子之間的碰撞，穩態放電過程是通過不斷電離中性粒子來維持的，電子和離子之間并不存在熱平衡。

根據典型的低壓等離子體放電數據對建模判據進行估算，Te～1～10 V，Ti約為室溫（0.026 V）的數倍，因此有Ti/Te≈5.2×10-3；典型的Kaufman放電室尺寸l則在10～30 cm量級，因此：

根據離子平均自由程的半經驗公式，結合典型的離子推力器Kaufman放電室放電氣壓1.33 Pa，得：

不難發現，（Ti/Te）l≤λi≤l，在這種情況下，擴散和雙極性電場決定了離子輸運過程。在主等離子體區域內，離子的漂移速度遠高于熱運動速度，此時擴散方程是非線性的[7]。

根據上面的分析，采用穩態平板非均勻放電模型對Kaufman放電室進行研究，如圖1所示。

圖1 離子推力器放電室穩態平板非均勻放電模型示意圖

在最普遍的等離子體放電情形下，等離子體同時含有相同數目的離子和電子，此時擴散方程具有Helmholtz方程的形式：

式中:n為等離子體密度；νiz為電離頻率；D=Da為雙極擴散系數。

在一維情形下，三維Helmholtz方程退化為：

令β2=viz/D，β成為Helmholtz方程的最低階本征值。根據微分方程理論，只有本征值對應的最低階本征函數[8]，才是滿足在區域內密度處處為正的條件的解。相應的本征函數為：

由于在碰撞電離的過程中會產生相同數量的電子和離子，其中電子的運動速度較快，離子的運動速度較慢。由于ve?vi，因此等離子體的準電中性將被破壞，離子和電子之間形成了具有加速離子、抑制電子速度的電場，稱之為雙極性電場。雙極性電場是系統自平衡的響應方式，目的是為了讓等離子系統恢復準電中性狀態。由于在穩態平板模型中，雙極性電場是指向陽極壁面的，所以可以約束遷移率較高的電子，這個意義上講，在（Ti/Te）l≤λi≤l的條件下，選取邊界條件（n±l）/2=0是合適的，即β=π/l。

根據離子數守恒方程：

式中：Γi為離子通量。

進一步結合Fick定律：

式中：Da為雙極性擴散系數。

將公式（7）代入公式（6）并在[0，l/2]的區間上進行積分可得：

簡化后獲得關系式：

進一步考慮有軸向磁場、電場和密度梯度存在時的擴散過程。由于在Kaufman放電室中，等離子體為弱電離等離子體，軸向磁場對具有較小回旋軌道電子的擴散過程的影響更為重要。通常放電室為圓柱形，密度梯度為徑向，雙極性電場的方向也為徑向。因此，離子和電子垂直磁場方向的運動必須加以考慮。

在磁約束等離子體中，電子的擴散過程受到嚴重阻礙，此種情形下的擴散系數[9]為：

式中：νm為碰撞的動量轉移頻率；ωc為帶電粒子的回旋頻率。

進一步考慮強磁場約束下弱電離等離子體垂直于磁場方向的雙極擴散系數[9]：

式中：D⊥a為垂直于磁場方向的雙極性擴散系數；D⊥e為垂直于磁場方向的電子擴散系數。

將公式（10）、（11）代入公式（9）可得：

式中：σ0為初始碰撞截面；εiz為電離時電子能量的損失。

2 計算結果

通常的離子推力器都使用氙氣作為氣體工質。Xe原子的第一電離能εiz為12.13 eV，Kaufman放電室中原初電子的平均自由程為1.3 cm[10]，基本電荷e=1.6022×10-19C，電子質量m=9.1095×10-31kg，真空介電常數ε0=8.8542×10-12F/m，玻爾茲曼常數k=1.3807×10-23J/K，磁場強度B=0.01T，放電室中中性原子密度量級在1019m-3量級。

另取放電室直徑l=20cm，將數據代入公式（13），并使用Matlab求解得：Te=1.12eV。

3 結論

在Kaufman放電室放電條件下，離子輸運過程主要由擴散過程和雙極性電場決定。通過建立穩態平板非均勻放電模型，從擴散方程出發，描述帶電粒子在磁場中的擴散運動過程，并進一步利用粒子數守恒方程可以求出放電室中的二次電子溫度。將Kaufman放電室假設為穩態平板非均勻放電模型，重點考察離子擴散運動和雙極性電場導致的徑向等離子體密度梯度，進一步求解二次電子溫度。計算結果表明，穩態平板非均勻等離子體模型計算結果在通常試驗測得的二次電子溫度1～10 eV范圍內。同時也在理論上說明了在中低氣壓放電條件下，離子漂移速度遠高于熱速度，擴散運動和雙極性電場對放電室等離子體性質有著重要的影響。

[1]張天平，周昊澄，孫小菁，等.小衛星領域應用電推進技術的評述[J].真空與低溫，2014，20（4）：187-192.

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[3]BrophyJR，WilburPJ.Simple performance model for ring and line cuspion thrusters[J].AIAAjournal，1985，23（11）：1731-1736.

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[6] Goebel D M. Ion source discharge performance and stability[J]. PhysicsofFluids，1982，25（6）:1093-1102.

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[8]谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數學物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[9]Liberman著，蒲以康譯.等離子體放電原理與材料處理[M].北京：科學出版社，2007.

[10]Yoshida H，Sugawara T.Ion Beam Production Cost of a Xenon Cusp Ion Thruster[C]//AIAA- 87- 1077，Colorado Spring， Colorado，1987：11-13.

THE RESEARCH OF CALCULATING THE SECONDARY ELECTRON TEMPERATURE IN KAUFMAN DISCHARGE CHAMBER

WU Chen-chen，GU Zuo
（Science and Technology on Vacuum Technology and Physics Laboratory，Lanzhou Institute of Space Technology and Physics，LanzhouGansu730000，China）

The calculation of secondary electron is one of the main research content of Kaufman discharge chamber. This paper is aimed at establishing non uniform steady discharge model to solving the secondary electron temperature. Non uniform steady discharge model starts from diffusion equation，we emphases the consideration of the effect of ion diffusion motion and ambipolar electron field to discharge chamber radial density gradient.Furthermore，consider the particle conservation equation，it can obtain the analytical representation for solving the secondary electron temperature.Using the typical date of Kaufman discharge chamber，the calculation illustrates that the result of non uniform steady discharge model is according with experiment result，at the same time，it also illustrates that in mid-pressure discharge condition or lower，diffusion motion and ambipolar electric field are the key facts which affects the discharge performance.

non uniform discharge；diffusion；ambipolar electric field；secondary electron temperature；analytical model

V443文獻識別碼：A

1006-7086（2014）06-0325-04

10.3969/j.issn.1006-7086.2014.06.004

2014-09-03

吳辰宸（1988-），男，浙江新昌人，碩士研究生，主要從事離子電推進放電室研究。

E-Mail：wuchenchen2008kaka@163.com