數學符號意識的培養策略

雷笑艷　吳金鵬

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“符號感“修改為”符號意識“，指出“符號意識”主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。不同發展階段的學生，對符號意識的領悟與自覺運用的能力存在明顯差異。因此，符號意識的培養應根據兒童心理發展特點，采取與之相適應的措施逐步深入。

一、理解符號——理解符號表示的意義、價值和關系

（一）元素符號：重在經歷過程

學生在已有的生活經驗中就潛藏著“符號意識”，教師可以結合學生的生活經驗，引導學生經歷從具體事物—學生個性化表示—學會數學地表示這一逐步符號化、形式化的過程。

【案例】分數的初步認識 （三年級）

在明確了“一半”的含義后，教師提問：我們用怎樣的方法來表示“一半”呢？有的學生表示為“日”，有的表示為“φ”，還有的用“朋”字的一半來表示……教師問學生是否愿意接受二分之一這個表示方法，一些學生仍然覺得自己的方法比較好，所以拒絕新的表示方法。于是，教師就鼓勵學生運用自己的方法表示“一百分之一”。這時候，所有的學生都認識到二分之一的簡潔和普遍性，心悅誠服地接受了這個“新朋友”。

在分數的引入環節，教師充分展開過程，首先調動學生已有經驗想辦法表示，面對這些個性化的表示方法教師并沒有急于評價，而是鼓勵學生運用自己的方法表示百分之一。這時候，所有的學生都認識到用分數表示的優越性，并高興地接受了這個“新朋友”。因此無論在哪個年段，教師都應激活學生生活中的符號經驗，鼓勵他們用自己獨特的方式表示，在此基礎上進行優化，感受數學符號的簡潔性、通用性。

（二）運算符號：重在豐富意義

每個運算符號背后都有豐富的現實意義，教師應充分深挖數學符號所蘊含的深刻內涵，使學生達到高水平的理解。以乘法的意義為例，主要有四種現實情境模型：等量組的聚集（相當于幾個幾的和）、倍數問題、配對問題、矩形模型。教師在教學“乘法的意義”時可以對意義進行適當的拓展，以豐富學生對乘法意義的理解。

在這節乘法意義的練習課中，教師的設計層層深入，為學生提供了進一步理解乘法意義的多個模型。首先，“等量組的聚集”就有多個模型（抽象的算式），它可以變成4+4+4、3×5-3等，從這些方案可以看出學生建立了乘法和加法的聯系。然后，變換出“矩形模型”“長方體模型”甚至是“線段圖模型”。在這一環節，數與形實現了完美的結合，乘法意義的幾個模型一一體現，學生從不同角度充分認識了乘法。

（三）結合符號：重在感受價值

小學階段的結合符號有小括號和中括號。括號能改變運算的順序，它在運算時的價值尤為突出。教師應該設計情境，讓學生自發產生對符號的需求，感受其優越性。

【案例】 含小括號的兩步式題 （二年級）

教師首先出示一個劃船的情境，通過提問、列式， 教師將其中一個算式“ 29+25÷9”提出來重點討論： 我們用什么樣的方法表示這部分（加法）應該先算？有的學生在那一部分算式下面畫橫線，有的用文字說明，有的在算式前后加上五角星，還有的用小圓圈把算式圈起來，學生七嘴八舌說了一氣，就是沒有用小括號的。于是教師提出了問題：“表達同一種意思 ，有這么多不同的表達方式，如果每個人都只用自己喜歡的符號，會出現什么情況呢？”于是學生自然而然產生了統一符號的想法，小括號的出現水到渠成。

面對眾多的表示方法，是直接告之還是巧妙引導？這位教師顯然是高明的，通過反問讓學生感受到，如果每個人都只用自己喜歡的符號，就沒有辦法進行表達和交流。這樣一來，學生自然就會產生統一符號的需要，小括號的價值體現得非常充分。

二、應用符號——利用符號表示關系、解決問題

應用符號表示關系、根據關系進行運算，這是符號意識作用的突出體現。教師要通過一系列形式多樣、扎實有效的訓練，提升學生用符號表達關系和解決問題的能力，從而使符號意識的培養落到實處。

在以上教學環節中，教師利用符號把擺實物的動態過程用靜態的方式呈現出來，反映了思維的有序性。在圖示的基礎上，通過觀察圖形符號，提煉出乘法算式，算式得出水到渠成。從這個案例可以發現，用符號建立的圖像，既有具體直觀的感性形象成分，又初步具有理性思維的抽象成分，是連接形象思維和抽象思維的紐帶。

（二）借助符號，提煉數量關系

借助圖形符號，可以把抽象的數量關系形象化、視覺化；可以使抽象復雜的數量關系變得簡單明了；可以變“看不見”為“看得見”。因此，教師在教學時，要設計習題，鼓勵學生用符號提煉數量關系，提高用符號解決問題的能力。

上述四個問題具有遞進性，是個具有挑戰性的過程。第一小題通過橫向觀察，分析顯性的規律。第二小題從6次跳躍到18次，無法繼續使用前一題的方法去解決，因此促使學生去尋找均分次數和正方形個數之間隱藏的關系，這是對規律內在關系的分析。第三小題通過上下比較觀察概括出3n+1，這是對規律內在規則的高度抽象化和概括化。第四小題利用關系式建立方程3n+1=778，進行運算得出結果。以往的教學往往只是到了第一步就停止了，這樣缺乏思維的深度，因此教師不能僅僅停留在對規律的簡單延續上，更應重視學生對構成規律的不同元素之間的數量關系的識別與描述，提升符號表述規律的能力。

通過研究，我校數學教師的符號意識日益增強，對教材的開發能力與日俱增。曾經，教師經受“無米之炊”的痛苦，如今，教師的主體意識大大增強，他們能著眼學生符號意識的發展，依據教材但不拘泥于教材，從廣度和深度上對教材進行再創造，積極探索在課堂中如何尋找培養符號意識的渠道。學生的符號轉換意識和應用能力得到了提升，用符號表達關系的能力有了明顯的提高，符號已真正開始進入學生的內心。

（浙江省杭州市余杭區實驗小學 311100 浙江省杭州市余杭區育才小學 311100）endprint

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“符號感“修改為”符號意識“，指出“符號意識”主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。不同發展階段的學生，對符號意識的領悟與自覺運用的能力存在明顯差異。因此，符號意識的培養應根據兒童心理發展特點，采取與之相適應的措施逐步深入。

一、理解符號——理解符號表示的意義、價值和關系

（一）元素符號：重在經歷過程

學生在已有的生活經驗中就潛藏著“符號意識”，教師可以結合學生的生活經驗，引導學生經歷從具體事物—學生個性化表示—學會數學地表示這一逐步符號化、形式化的過程。

【案例】分數的初步認識 （三年級）

在明確了“一半”的含義后，教師提問：我們用怎樣的方法來表示“一半”呢？有的學生表示為“日”，有的表示為“φ”，還有的用“朋”字的一半來表示……教師問學生是否愿意接受二分之一這個表示方法，一些學生仍然覺得自己的方法比較好，所以拒絕新的表示方法。于是，教師就鼓勵學生運用自己的方法表示“一百分之一”。這時候，所有的學生都認識到二分之一的簡潔和普遍性，心悅誠服地接受了這個“新朋友”。

在分數的引入環節，教師充分展開過程，首先調動學生已有經驗想辦法表示，面對這些個性化的表示方法教師并沒有急于評價，而是鼓勵學生運用自己的方法表示百分之一。這時候，所有的學生都認識到用分數表示的優越性，并高興地接受了這個“新朋友”。因此無論在哪個年段，教師都應激活學生生活中的符號經驗，鼓勵他們用自己獨特的方式表示，在此基礎上進行優化，感受數學符號的簡潔性、通用性。

（二）運算符號：重在豐富意義

每個運算符號背后都有豐富的現實意義，教師應充分深挖數學符號所蘊含的深刻內涵，使學生達到高水平的理解。以乘法的意義為例，主要有四種現實情境模型：等量組的聚集（相當于幾個幾的和）、倍數問題、配對問題、矩形模型。教師在教學“乘法的意義”時可以對意義進行適當的拓展，以豐富學生對乘法意義的理解。

在這節乘法意義的練習課中，教師的設計層層深入，為學生提供了進一步理解乘法意義的多個模型。首先，“等量組的聚集”就有多個模型（抽象的算式），它可以變成4+4+4、3×5-3等，從這些方案可以看出學生建立了乘法和加法的聯系。然后，變換出“矩形模型”“長方體模型”甚至是“線段圖模型”。在這一環節，數與形實現了完美的結合，乘法意義的幾個模型一一體現，學生從不同角度充分認識了乘法。

（三）結合符號：重在感受價值

小學階段的結合符號有小括號和中括號。括號能改變運算的順序，它在運算時的價值尤為突出。教師應該設計情境，讓學生自發產生對符號的需求，感受其優越性。

【案例】 含小括號的兩步式題 （二年級）

教師首先出示一個劃船的情境，通過提問、列式， 教師將其中一個算式“ 29+25÷9”提出來重點討論： 我們用什么樣的方法表示這部分（加法）應該先算？有的學生在那一部分算式下面畫橫線，有的用文字說明，有的在算式前后加上五角星，還有的用小圓圈把算式圈起來，學生七嘴八舌說了一氣，就是沒有用小括號的。于是教師提出了問題：“表達同一種意思 ，有這么多不同的表達方式，如果每個人都只用自己喜歡的符號，會出現什么情況呢？”于是學生自然而然產生了統一符號的想法，小括號的出現水到渠成。

面對眾多的表示方法，是直接告之還是巧妙引導？這位教師顯然是高明的，通過反問讓學生感受到，如果每個人都只用自己喜歡的符號，就沒有辦法進行表達和交流。這樣一來，學生自然就會產生統一符號的需要，小括號的價值體現得非常充分。

二、應用符號——利用符號表示關系、解決問題

應用符號表示關系、根據關系進行運算，這是符號意識作用的突出體現。教師要通過一系列形式多樣、扎實有效的訓練，提升學生用符號表達關系和解決問題的能力，從而使符號意識的培養落到實處。

在以上教學環節中，教師利用符號把擺實物的動態過程用靜態的方式呈現出來，反映了思維的有序性。在圖示的基礎上，通過觀察圖形符號，提煉出乘法算式，算式得出水到渠成。從這個案例可以發現，用符號建立的圖像，既有具體直觀的感性形象成分，又初步具有理性思維的抽象成分，是連接形象思維和抽象思維的紐帶。

（二）借助符號，提煉數量關系

借助圖形符號，可以把抽象的數量關系形象化、視覺化；可以使抽象復雜的數量關系變得簡單明了；可以變“看不見”為“看得見”。因此，教師在教學時，要設計習題，鼓勵學生用符號提煉數量關系，提高用符號解決問題的能力。

上述四個問題具有遞進性，是個具有挑戰性的過程。第一小題通過橫向觀察，分析顯性的規律。第二小題從6次跳躍到18次，無法繼續使用前一題的方法去解決，因此促使學生去尋找均分次數和正方形個數之間隱藏的關系，這是對規律內在關系的分析。第三小題通過上下比較觀察概括出3n+1，這是對規律內在規則的高度抽象化和概括化。第四小題利用關系式建立方程3n+1=778，進行運算得出結果。以往的教學往往只是到了第一步就停止了，這樣缺乏思維的深度，因此教師不能僅僅停留在對規律的簡單延續上，更應重視學生對構成規律的不同元素之間的數量關系的識別與描述，提升符號表述規律的能力。

通過研究，我校數學教師的符號意識日益增強，對教材的開發能力與日俱增。曾經，教師經受“無米之炊”的痛苦，如今，教師的主體意識大大增強，他們能著眼學生符號意識的發展，依據教材但不拘泥于教材，從廣度和深度上對教材進行再創造，積極探索在課堂中如何尋找培養符號意識的渠道。學生的符號轉換意識和應用能力得到了提升，用符號表達關系的能力有了明顯的提高，符號已真正開始進入學生的內心。

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《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“符號感“修改為”符號意識“，指出“符號意識”主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。不同發展階段的學生，對符號意識的領悟與自覺運用的能力存在明顯差異。因此，符號意識的培養應根據兒童心理發展特點，采取與之相適應的措施逐步深入。

一、理解符號——理解符號表示的意義、價值和關系

（一）元素符號：重在經歷過程

學生在已有的生活經驗中就潛藏著“符號意識”，教師可以結合學生的生活經驗，引導學生經歷從具體事物—學生個性化表示—學會數學地表示這一逐步符號化、形式化的過程。

【案例】分數的初步認識 （三年級）

在明確了“一半”的含義后，教師提問：我們用怎樣的方法來表示“一半”呢？有的學生表示為“日”，有的表示為“φ”，還有的用“朋”字的一半來表示……教師問學生是否愿意接受二分之一這個表示方法，一些學生仍然覺得自己的方法比較好，所以拒絕新的表示方法。于是，教師就鼓勵學生運用自己的方法表示“一百分之一”。這時候，所有的學生都認識到二分之一的簡潔和普遍性，心悅誠服地接受了這個“新朋友”。

在分數的引入環節，教師充分展開過程，首先調動學生已有經驗想辦法表示，面對這些個性化的表示方法教師并沒有急于評價，而是鼓勵學生運用自己的方法表示百分之一。這時候，所有的學生都認識到用分數表示的優越性，并高興地接受了這個“新朋友”。因此無論在哪個年段，教師都應激活學生生活中的符號經驗，鼓勵他們用自己獨特的方式表示，在此基礎上進行優化，感受數學符號的簡潔性、通用性。

（二）運算符號：重在豐富意義

每個運算符號背后都有豐富的現實意義，教師應充分深挖數學符號所蘊含的深刻內涵，使學生達到高水平的理解。以乘法的意義為例，主要有四種現實情境模型：等量組的聚集（相當于幾個幾的和）、倍數問題、配對問題、矩形模型。教師在教學“乘法的意義”時可以對意義進行適當的拓展，以豐富學生對乘法意義的理解。

在這節乘法意義的練習課中，教師的設計層層深入，為學生提供了進一步理解乘法意義的多個模型。首先，“等量組的聚集”就有多個模型（抽象的算式），它可以變成4+4+4、3×5-3等，從這些方案可以看出學生建立了乘法和加法的聯系。然后，變換出“矩形模型”“長方體模型”甚至是“線段圖模型”。在這一環節，數與形實現了完美的結合，乘法意義的幾個模型一一體現，學生從不同角度充分認識了乘法。

（三）結合符號：重在感受價值

小學階段的結合符號有小括號和中括號。括號能改變運算的順序，它在運算時的價值尤為突出。教師應該設計情境，讓學生自發產生對符號的需求，感受其優越性。

【案例】 含小括號的兩步式題 （二年級）

教師首先出示一個劃船的情境，通過提問、列式， 教師將其中一個算式“ 29+25÷9”提出來重點討論： 我們用什么樣的方法表示這部分（加法）應該先算？有的學生在那一部分算式下面畫橫線，有的用文字說明，有的在算式前后加上五角星，還有的用小圓圈把算式圈起來，學生七嘴八舌說了一氣，就是沒有用小括號的。于是教師提出了問題：“表達同一種意思 ，有這么多不同的表達方式，如果每個人都只用自己喜歡的符號，會出現什么情況呢？”于是學生自然而然產生了統一符號的想法，小括號的出現水到渠成。

面對眾多的表示方法，是直接告之還是巧妙引導？這位教師顯然是高明的，通過反問讓學生感受到，如果每個人都只用自己喜歡的符號，就沒有辦法進行表達和交流。這樣一來，學生自然就會產生統一符號的需要，小括號的價值體現得非常充分。

二、應用符號——利用符號表示關系、解決問題

應用符號表示關系、根據關系進行運算，這是符號意識作用的突出體現。教師要通過一系列形式多樣、扎實有效的訓練，提升學生用符號表達關系和解決問題的能力，從而使符號意識的培養落到實處。

在以上教學環節中，教師利用符號把擺實物的動態過程用靜態的方式呈現出來，反映了思維的有序性。在圖示的基礎上，通過觀察圖形符號，提煉出乘法算式，算式得出水到渠成。從這個案例可以發現，用符號建立的圖像，既有具體直觀的感性形象成分，又初步具有理性思維的抽象成分，是連接形象思維和抽象思維的紐帶。

（二）借助符號，提煉數量關系

借助圖形符號，可以把抽象的數量關系形象化、視覺化；可以使抽象復雜的數量關系變得簡單明了；可以變“看不見”為“看得見”。因此，教師在教學時，要設計習題，鼓勵學生用符號提煉數量關系，提高用符號解決問題的能力。

上述四個問題具有遞進性，是個具有挑戰性的過程。第一小題通過橫向觀察，分析顯性的規律。第二小題從6次跳躍到18次，無法繼續使用前一題的方法去解決，因此促使學生去尋找均分次數和正方形個數之間隱藏的關系，這是對規律內在關系的分析。第三小題通過上下比較觀察概括出3n+1，這是對規律內在規則的高度抽象化和概括化。第四小題利用關系式建立方程3n+1=778，進行運算得出結果。以往的教學往往只是到了第一步就停止了，這樣缺乏思維的深度，因此教師不能僅僅停留在對規律的簡單延續上，更應重視學生對構成規律的不同元素之間的數量關系的識別與描述，提升符號表述規律的能力。

通過研究，我校數學教師的符號意識日益增強，對教材的開發能力與日俱增。曾經，教師經受“無米之炊”的痛苦，如今，教師的主體意識大大增強，他們能著眼學生符號意識的發展，依據教材但不拘泥于教材，從廣度和深度上對教材進行再創造，積極探索在課堂中如何尋找培養符號意識的渠道。學生的符號轉換意識和應用能力得到了提升，用符號表達關系的能力有了明顯的提高，符號已真正開始進入學生的內心。

（浙江省杭州市余杭區實驗小學 311100 浙江省杭州市余杭區育才小學 311100）endprint