一種針對目標跟蹤的自適應波形選擇方法

靳 標,糾 博,劉宏偉,蘇 濤

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

一種針對目標跟蹤的自適應波形選擇方法

靳 標,糾 博,劉宏偉,蘇 濤

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安 710071)

在自適應交互多模型的框架下,提出了一種雷達發射波形選擇方法.將常速模型和“當前”統計模型應用到交互多模型算法中,得到自適應交互多模型跟蹤算法.從信息論的角度出發,對誤差橢圓正交法進行了推導,并給出其控制論角度的等價形式.根據這種等價形式,該方法存在無法調節距離和速度跟蹤誤差權重的問題.針對這個問題,結合自適應交互多模型跟蹤算法,提出了基于最小均方誤差準則的自適應雷達發射波形選擇方法.

認知跟蹤;自適應跟蹤;交互多模型;波形選擇;模糊函數;分數階傅里葉變換

認知雷達(Cognitive Radar,CR)[1]改變了傳統自適應雷達單向的信息處理方式,實現了從接收到發射的閉環處理.它可以通過對外部環境和目標不斷的感知,在一定的約束下自適應地選擇工作模式、發射波形和接收信號處理方法,充分利用各種信息進行智能化處理,并在日益復雜的環境下最大限度地發揮各種資源的效能.因此,認知雷達一經提出便得到了廣泛的關注,并被認為是雷達未來發展的一個重要方向.與此同時,認知雷達這一概念的出現也賦予了發射波形優化新的內涵,如何根據環境和目標的先驗信息進行發射端的自適應調整成為波形優化研究的一個熱點[2-3].

近年來,針對目標跟蹤的發射波形優化受到了廣泛的關注[4-8].文獻[4]首次在傳統的雷達目標跟蹤系統中增加了波形自適應選擇模塊,基于卡爾曼濾波并面向單目標背景,利用參數估計理論中Fisher信息矩陣的逆作為觀測噪聲協方差,建立了發射波形與跟蹤濾波之間的聯系,通過波形選擇及參數尋優使得跟蹤誤差達到最小.文獻[5-6]利用文獻[4]的觀測模型,即發射波形估計目標距離和速度的克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB),分別研究了基于粒子濾波和容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF)等非線性跟蹤算法的波形自適應問題,但是二者在波形選擇和參數尋優時的復雜度較高,計算量較大.文獻[7]討論了一系列基于目標跟蹤的波形選擇標準,特別討論了線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號的調頻率與目標機動指數[9]的關系,指出最優調頻率可以使觀測誤差橢圓與預測誤差橢圓相互正交.這是誤差橢圓正交法的雛形,直觀地解釋了跟蹤誤差最小所需滿足的條件,但是缺乏詳細的理論推導.文獻[8]將文獻[7]的誤差橢圓正交理論進行了推廣,提出利用分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,Fr FT)來旋轉模糊函數,從而完成觀測誤差橢圓與預測誤差橢圓正交,并在交互多模型(Interacting Multiple Model,IMM)框架下使用此方法進行波形選擇,最后驗證了該方法在目標加速度和狀態轉移概率信息不準確的情況下的魯棒性.誤差橢圓正交法具有明確的物理意義,而且計算簡單,易于求解.但是文獻[7-8]只給出了此方法的實驗性結果,并未給出其相關的數學推導,而且該方法還存在一個問題,即距離誤差和速度誤差在量綱上不一致,需要對二者的權重進行調節.此方法的代價函數并未體現,可能造成實際應用時的不便.

為了提高雷達系統的跟蹤性能,需要將發射波形選擇與自適應的跟蹤算法相結合.傳統的針對目標跟蹤的波形選擇方法都是在非自適應跟蹤算法的基礎上進行的[4-8].筆者將認知雷達的概念應用于跟蹤系統,提出在自適應跟蹤算法的基礎上進行波形優化,可以大幅度地提高雷達系統的跟蹤性能.首先將常速(Constant Velocity,CV)模型和“當前”統計模型應用到交互多模型算法中,得到自適應交互多模型(Adaptive Interacting Multiple Model,AIMM)算法.在此基礎上,從信息論的角度推導了誤差橢圓正交法,并給出了其控制論角度的等價形式.然后針對此波形選擇方法存在的無法調節距離和速度跟蹤誤差權重的問題,基于最小均方誤差準則提出了相應的解決方法.

1 基于自適應交互多模型的目標跟蹤數學模型

目標的運動模型可以分為非機動目標運動模型和機動目標運動模型.文中非機動目標運動模型采用標準的常速模型[10],機動目標運動模型采用“當前”統計模型[11].將這兩個模型應用于交互多模型[12]框架,便得到了自適應交互多模型算法.在自適應交互多模型算法中,動態噪聲方差是自適應變化的,這是與傳統交互多模型算法的最大區別.這種兩模型的交互多模型,一方面由于模型個數少,可以減少跟蹤算法的運算量;另一方面由于動態噪聲方差的自適應變化,可以提高系統的跟蹤性能.

1.1 動態模型

目標的動態方程為

其中,i=1,表示非機動目標運動模型;i=2,表示機動目標運動模型.F為狀態轉移矩陣,U為加速度輸入矩陣,w為動態噪聲,為加速度均值.

1.2 觀測模型

目標的觀測方程為

式中,H為觀測矩陣,v為觀測噪聲.

傳統的雷達只使用距離的觀測數據進行跟蹤.文獻[13]指出引入速度觀測之后,會明顯提高雷達的跟蹤性能.筆者所考慮的是距離和速度共同觀測的情況,故觀測矩陣觀測噪聲vk與xk|k-1獨立,且vk～N(0,Rk),其中Rk為觀測噪聲的協方差,令其等于k時刻發射波形估計目標距離和速度的克拉美羅下界,即考慮完全檢測的情況[4].這樣就建立起了跟蹤系統與發射波形之間的關系.圖1給出了觀測噪聲的協方差Rk與發射波形的關系.圖1中,f0(t)為基礎波形,即單頻信號;A0(τ,υ)為f0(t)對應的模糊函數,是關于時延τ和多普勒頻移υ的二維函數;J0為f0(t)對時延τ和多普勒頻移υ估計的Fisher信息,可表示為在原點處的海森矩陣[14];η為雷達系統的信噪比;R0為基礎波形f0(t)對目標的距離和速度估計的克拉美羅下界[14];T為[τ,υ]T到[r,?r]T的變換矩陣,即

其中,c為光速,fc為雷達載頻.

圖1 觀測噪聲的協方差與發射波形的關系

如圖1所示,對模糊函數A0(τ,υ)在時延-多普勒平面進行角度為φk的旋轉,對應的發射波形f0(t)要進行分數階因子為的分數階傅里葉變換[15].由于文中的討論不需要涉及分數階傅里葉變換的具體算法,所以在此不再贅述.根據圖1所示的思路,可得k時刻的發射波形fk(t)所對應的估計目標距離和速度的克拉美羅下界為

其中,R0為基礎波形f0(t)估計目標的距離和速度的克拉美羅下界;旋轉矩陣φk為k時刻模糊函數A0(τ,υ)在時延-多普勒平面的旋轉角度,φk對應的發射波形為fk(t),即對基礎波形f0(t)進行分數階因子為的分數階傅里葉變換.

2 基于自適應交互多模型的發射波形選擇方法

2.1 誤差橢圓正交法

大多數針對目標跟蹤的波形選擇方法都是對波形的時寬、調頻率等參數進行直接尋優[4-7],從而找到使跟蹤誤差最小的發射波形.文獻[8]提出利用分數階傅里葉變換來旋轉模糊函數,使得觀測誤差橢圓與預測誤差橢圓相互正交,從而使跟蹤誤差最小.這樣誤差橢圓正交法把原來對波形的各個參數進行尋優的多變量優化問題轉化成只優化模糊函數的旋轉角度的單變量問題,降低了運算復雜度,而且該方法具有直觀的物理意義.如圖2所示,圖2(a)和圖2(b)是兩個誤差橢圓不正交的情況;圖2(c)是兩個誤差橢圓正交的情況.顯然,當兩橢圓正交時,重疊區域的面積最小,即跟蹤誤差最小.但是文獻[8]只給出了此方法的實驗性結果,并沒有給出相關的數學推導.筆者從最大互信息的角度對此方法加以推導,并給出其在控制論角度的等價形式.

圖2 誤差橢圓相交的不同情況

將卡爾曼濾波的觀測方程式(2)代入式(5),可得目標狀態預測值xk|k-1與觀測值zk的互信息

其中,I為單位矩陣,Rk(φk)由式(4)給出,Pk|k-1為自適應交互多模型框架下預測誤差的協方差,即

由式(6)可得目標狀態預測值xk|k-1與觀測值zk的互信息為

由卡爾曼濾波算法可得后驗估計誤差協方差Pk|k的行列式為

由于Pk|k-1與波形參數φk無關,故等價,即等價.所以,誤差橢圓正交法在控制論角度的等價形式是

即后驗估計誤差協方差Pk|k的行列式最小.

2.2 最小跟蹤誤差法

誤差橢圓正交法物理意義明確,而且容易求解.但是,此方法存在一個問題,即距離誤差和速度誤差在量綱上不一致,需要利用一個調節因子對二者的權重進行調節,而此方法的代價函數式(11)并未體現,這有可能造成實際應用時的不便.針對此問題,筆者從最小跟蹤誤差的角度提出了相應的解決方法.

文獻[4]提出了一種基于跟蹤誤差最小的代價函數:

即后驗估計誤差協方差Pk|k的跡最小.但是此代價函數仍未考慮距離跟蹤誤差與速度跟蹤誤差在量綱上不一致的問題.針對這個問題,文獻[5-6]中的代價函數均有體現,即在式(12)中加入一權重因子γ,對距離跟蹤誤差和速度跟蹤誤差進行調節

其中,p11為Pk|k的第1行第1列的元素,代表距離跟蹤誤差方差;p22為Pk|k的第2行第2列的元素,代表速度跟蹤誤差方差;Γ=diag{1,γ},γ的單位為s2.當γ=1 s2時,式(13)與式(12)相同.

式(13)中的權重因子γ可以調節距離跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的權重,但是在實際應用中,權重因子γ的值并不好確定.筆者提出一種實際應用中更容易操作的代價函數:

其中,ξ為速度跟蹤精度需滿足的門限,即在速度跟蹤滿足一定精度要求的條件下,尋找令距離跟蹤誤差最小的發射波形.

3 仿真結果及分析

首先通過仿真說明代價函數式(13)和式(14)對距離跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的調節作用,其次將說明在自適應交互多模型框架下進行發射波形選擇的優勢,對比算法為文獻[8]中的方法.為了突出波形選擇的效果,還添加了在標準交互多模型和自適應交互多模型框架下,不含波形選擇的跟蹤結果.

仿真場景考慮一分段機動運動目標,跟蹤參量為目標的徑向距離和徑向速度.假定目標的初始距離和速度目標在總觀測時間100 s內經歷了5個不同的運動狀態,分別對應5個不同的平均加速度,每個運動狀態的持續時間為20 s.跟蹤器的狀態轉移概率矩陣為

矩陣MTracker中第i行第j列元素表示狀態i到狀態j的轉移概率.其他參數為:觀測間隔Δt=1 s,基礎波形f0(t)的時寬T0=10μs,雷達系統的信噪比為16 dB,載頻fc=10.4 GHz.仿真結果由100次蒙特卡洛實驗統計得到.

圖3為在標準交互多模型框架下,分別利用誤差橢圓正交法(IMM-WS1,即文獻[8]的方法)、式(13)(其中γ=0.3 s2)(IMM-WS2)和式(14)(其中ξ=(14.2 m/s)2)(IMM-WS3)作為代價函數的距離跟蹤均方根誤差和速度跟蹤均方根誤差.從圖3中可以看出,利用式(13)和式(14)作為代價函數可以靈活地調節距離跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的權重,這樣可以避免因為距離誤差和速度誤差在量綱上的不一致而帶來的工程應用上的不便.但是,距離跟蹤精度和速度跟蹤精度本身是一對矛盾,它們此消彼長,距離跟蹤精度的提高是以速度跟蹤精度的損失為代價的,反之亦然.在實際情況中,需要結合目標的運動狀態和工程需要對式(13)和式(14)中的調節參數進行預先設定.顯然,式(14)在滿足速度跟蹤精度的要求下,令距離跟蹤誤差最小,在實際應用中更容易操作.

圖4分別為在標準交互多模型和自適應交互多模型的框架下,不含波形選擇的方法(IMM-WS0/ AIMM-WS0)、利用誤差橢圓正交法(IMM-WS1,即文獻[8]的方法/AIMM-WS1)及利用式(12)作為代價函數方法(IMM-WS2/AIMM-WS2)的距離跟蹤均方根誤差、速度跟蹤均方根誤差和模糊函數的旋轉角度.從圖4(a)和(b)中可以看出,含波形選擇方法的跟蹤性能要好于不含波形選擇的方法,這說明通過發射波形的自適應選擇可以提高雷達系統的跟蹤精度.另外,誤差橢圓正交法的跟蹤性能與利用式(12)作為代價函數的方法性能非常接近,這是由于其代價函數式(11)與式(12)數學形式接近,對距離和速度的估計性能是相當的.更重要的一點是,基于自適應交互多模型的波形選擇方法明顯優于基于標準交互多模型的波形選擇方法.在圖4(c)中,標準交互多模型框架下利用誤差橢圓正交法(IMM-WS1,即文獻[8]的方法)及利用式(12)作為代價函數(IMM-WS2)的方法,對模糊函數的旋轉角度大約在104.2°,而在自適應交互多模型框架下利用誤差橢圓正交法(AIMM-WS1)及利用式(12)作為代價函數(AIMM-WS2)的方法,對模糊函數的旋轉角度大約在102.3°.這說明在自適應交互多模型框架下,利用較小的模糊函數旋轉角度就可以達到距離和速度的跟蹤精度要求,而在標準的交互多模型框架下,要滿足給定的跟蹤精度則需要對波形進行更大的自適應變化.所以在自適應交互多模型框架下進行發射波形優化更具優勢,正是跟蹤算法與發射波形共同的自適應調整使得最終的跟蹤誤差達到最小.

圖3 標準交互多模型框架下不同波形選擇方法的仿真結果

圖4 不同模型下各種波形選擇方法的仿真結果

4 總 結

筆者首先將常速模型和“當前”統計模型加入交互多模型方法,得到自適應交互多模型跟蹤算法,并結合該算法,提出了基于最小均方誤差準則的自適應發射波形選擇方法.仿真結果表明:筆者提出的算法解決了誤差橢圓正交法不能調節距離和速度跟蹤誤差權重的問題,而且在自適應交互多模型跟蹤算法的基礎上進行發射波形選擇,可以顯著地提高系統的跟蹤性能.但在實際中,雷達發射機通常工作在飽和狀態下,很難實現對發射信號的幅度調制.因此,如何在發射信號的恒模約束下進行自適應發射波形優化設計將是進一步研究的重點.

[1]Haykin S.Cognitive Radar[J].IEEE Signal Processing Magazine,2006,23(1):30-40.

[2]Cochran D,Suvorova S,Howard S D,et al.Waveform Libraries[J].IEEE Signal Processing Magazine,2009,26(1): 12-21.

[3]Sira S P,Li Ying,Papandreou-Suppappola A,et al.Waveform-agile Sensing for Tracking[J].IEEE Signal Processing Magazine,2009,26(1):53-64.

[4]Kershaw D J,Evans R J.Optimal Waveform Selection for Tracking Systems[J].IEEE Transactions on Information Theory,1994,40(5):1536-1550.

[5]Sira S P,Papandreou-Suppappola A,Morrell D.Dynamic Configuration of Time-varying Waveforms for Agile Sensing and Tracking in Clutter[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(7):3207-3217.

[6]Haykin S,Zia A,Arasaratnam I,et al.Cognitive Tracking Radar[C]//Proceedings of the IEEE Radar Conference. Washington:IEEE,2010:1467-1470.

[7]Niu R X,Willett P,Bar-Shalom Y.Tracking Considerations in Selection of Radar Waveform for Range and Range-Rate Measurement[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2002,38(2):467-487.

[8]Savage C O,Moran B.Waveform Selection for Maneuvering Targets within an IMM Framework[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2007,43(3):1205-1214.

[9]Bar-Shalom Y,Li X R,Kirubarajau T.Estimation with Application to Tracking Navigation[M].New York:Wiley,2001:280-281.

[10]Li X R,Jilkov V P.Survey of Maneuvering Target Tracking.Part I:Dynamic Models[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2003,39(4):1333-1364.

[11]周宏仁,敬忠良,王培德.機動目標跟蹤[M].北京:國防工業出版社,1991:10-20.

[12]Blom H A P,Bar-Shalom Y.The Interacting Multiple Model Algorithm for Systems with Markovian Switch Coefficients [J].IEEE Transactions on Automatic Control,1988,33(8):780-783.

[13]張懷根,張林讓,吳順君.利用徑向速度觀測值提高目標跟蹤性能[J].西安電子科技大學學報,2005,32(5):667-670. Zhang Huaigen,Zhang Linrang,Wu Shunjun.The Use of the Radial Velocity to Improve the Performance of Target Tracking[J].Journal of Xidian University,2005,32(5):667-670.

[14]Van Trees H L.Detection,Estimation,and Modulation Theory:PartⅢ[M].New York:Wiely,2001:275-308.

[15]Stankovic'L,Djurovic'I.Relationship Between the Ambiguity Function Coordinate Transformations and the Fractional Fourier Transform[J].Annales des Telecommunications,1998,53(3/4):91-94.

[16]Williams J L.Information Theoretic Sensor Management[D].Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology,2007.

[17]Suvorova S,Howard S D,Moram W,et al.Waveform Libraries for Radar Tracking Applications[C]//Proceedings of IEEE Conference on Infromation Science and Systems.Piscataway:IEEE,2007:1424-1428.

(編輯:郭 華)

Adaptive waveform selection approach for target tracking

JIN Biao,JIU Bo,LIU Hongwei,SU Tao
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Within an adaptive interacting multiple model(IMM)framework,an approach to selecting the transmitted waveform of radar is proposed.The adaptive IMM algorithm is attained when the constantvelocity(CV)model and the current statistical model are applied to the IMM filter.Firstly,the error ellipse orthogonal method is derived from information theory,and an equivalent form is given in terms of control theory.According to the equivalent form,the range and velocity tracking error can not be adjusted effectively using the error ellipse orthogonal method.To solve this problem,an adaptive transmitted waveform selection approach is proposed based on the minimum mean-squared error,combining with the adaptive IMM algorithm.Simulations show that the proposed algorithm is feasible and effective.

cognitive tracking;adaptive tracking;interacting multiple model;waveform selection; ambiguity function;fractional Fourier transform

TN953

A

1001-2400(2014)01-0057-07

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.01.011

2012-11-07 < class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2013-09-16

國家自然科學基金資助項目(61271291,61201285);新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-09-0630);國家自然科學基金青年科學基金資助項目(61001204)

靳 標(1986-),男,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:jinpuresky@hotmail.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20130916.0926.201401.73_007.html