分段處理思想在求解數學問題中的應用

康旺強

摘 要 分段處理法是數學分析中的一種重要的解題方法。分段處理法就是根據已知的條件將所要求解的式子或函數的定義域分成兩段或幾段，再對分段所得的結果求解，最后將每段解得的結果綜合。數列極限問題、函數一致連續問題和定積分的計算問題中有廣泛應用。

關鍵詞 分段處理法 積分中值定理 數列極限 定積分

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A

Application of Segmentation Idea in Solving Mathematical Problems

KANG Wangqiang

（Lijiang College of Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541006）

Abstract Segmentation method is an important method of solving problems in mathematics analysis. The segmentation method is based on the conditions known take the domain of required formula or function into two or a plurality of sections， then solve every segmentation's problem and gather result of all each section finally. Segmentation method is widely used in the problem of sequence limit， uniformly continuous function and calculation of definite integral.

Key words segmentation method； integral mean value theorem； uniform continuity

0 引言

在很多數學分析的相關書籍與文獻中，對于“分段處理法”都沒有全面的介紹，本文運用舉例說明的方法對能運用分段處理法解答的三種類型的題目做了一個總的概括。一是用定義證明數列極限的題目，將所要求的式子分段，再分別對分段所得的式子進行證明；二是證明函數一致連續的題目中，將原區間分成兩個分區間，在分別證明該函數在這兩個分區間上一致連續，從而由定理及相關推論知，該函數在整個區間上一致連續；三是在解答定積分的題目中，將積分區間分段，然后分別對函數在分段所得的積分區間內進行求解。

1 符號、基本定義與引理

本節我們主要介紹本文用到的主要術語與基本定義、定理及推論。

定義1 若 = 0，則稱當→時為的高階無窮小量，記作 （）= （ （））（→）

定義 2 設為定義在集合上的函數。若對任意>0 ，存在>0 ，任意，且∣∣<。有∣ （） （）∣<，則稱 在集合上一致連續。

引理1 （歸結原則）設函數 在（；）內有定義， （）存在的充要條件是：對任何含于（；）且以為極限的數列{}，極限 （）都存在且相等。

引理2 （積分第一中值定理）若在閉區間[，]上連續，則至少存在一點[，]，使得 （） = （）（）。

引理3 （推廣的積分第一中值定理）若與都在閉區間[，]上連續，且 （）在[，]上不變號，則至少存在一點[，]，使得 （） （） = （） （）。

引理4 （stolz定理）設{}嚴格遞增，且 = +；又 = 。則 = （其中可以是0、有限數或）。

2 分段處理法在解題中的應用

2.1 分段處理法在求數列極限中的應用

在關于數列極限的證明題中，為了要證明一個數列收斂，我們常常會將該數列拆分為兩段（或幾段）數列。一般地，對于其中一段（或幾段）數列，通常是有界的，而另一段通常是無界的，然后再分別利用定義、性質或條件證明拆分后所得的數列收斂，進而得到整個數列收斂。在對數列進行拆分時，常常會用到“加一項，再減這一項”的方法。

例1 設{}是一數列，且 = 0，

證明 = 0。

證明：由 = 0有：對任意>0 ，存在>0，當>時，有∣∣<。記 = ∣∣，當>時，有

注意到： = 0。從而對上述>0 ，存在>0，當>時，有∣ ∣<。

取 = {，}則當>時，有∣∣< + <。由定義知， = 0。

從上述例題的證明過程中，我們發現，當我們要運用定義來證明關于數列極限的題目時，分段處理法起到了很大的作用。同樣地，分段處理的思想方法也可以運用于函數極限的證明題中。

例2 設 （）= 0， （） （） = （）（>1），求證：（） = （）。

證明：由條件有得，對任意>0，存在>0，當0<∣∣<時，有 = 0，即∣0∣<∣∣·。

從而

令→+，由（） = 0及歸結原則知，（） = 0。 ∣∣≤∣∣· + 0，即∣0∣≤ 。從而 = 0所以（） = （）。

2.2 分段處理法在一致連續上的應用

為了證明某函數（） 在區間上一致連續，通常將區間拆分為兩個區間，，再分別證明該函數（）分別在區間，上一致連續，從而可得到該函數 （）在區間上一致連續。拆分所得的區間，可重疊，亦可不重疊。在具體的舉例之前，我們需要以下定理。

定理1 設區間與區間為任意區間（， 可分別為有限或無限區間）， 在和上一致連續，且 ∩≠，則 在 = ∪上也一致連續。

證明：由于 在上一致連續，則對任意>0，存在>0，當，且∣∣<時，有∣ （） （）∣<。

由于 在上一致連續，故對上述>0，存在>0，當，且∣∣<時，有∣ （） （）∣<。取點∩，則且。所以 （）在處連續，所以對上述>0，存在>0，當∣∣<時，有∣ （） （）∣<。

故取 = {，，}，當，且∣∣<時，

1叭？或時，都有：∣ （） （）∣<。

2叭？，此時有：∣∣≤∣∣<<， ∣∣≤∣∣<<。則∣ （） （）∣≤∣ （） （）∣+∣ （） （）∣< + = 。

從而 （）在上一致連續。

定理2 設區間與區間為任意區間（，可分別為有限或無限區間）， 在 = 上連續且分別在和上一致連續，則在∪上也一致連續。

證明：由定理1，我們只要證明∩ = 的情形。

當（，）>0時，由于在上一致連續，則對任意>0，存在>0，當，且∣∣<時，有∣ （） （）∣<。由于 在上一致連續，故對上述>0，存在>0，當，且∣∣<時，有∣ （） （）∣<。

令 = （，），則可取 = {，，}，對任意，∪且∣∣< 時，若，不同時屬于或，不妨設，，則∣∣≥（，）≥，與所要求的∣∣< 矛盾，故此種情況不存在。即，只能同時屬于或。

則當，或時，都有：∣ （） （）∣<，所以當 （，）>0時， 在∪上一致連續。

若（，） = 0，則，有公共端點，設∩ = {}。不妨設位于的左邊，位于的右邊，則存在>0，滿足（，） ，（，） 。

由于 在 = 上連續，且[，] ，則 [，]上一致連續。又因為∩[，]≠，所以 在∪[，]上一致連續。同理，由于∩[，]≠，所以 在∪[，]上一致連續。又（∪[，]）∩（∪[，]）≠，所以由定理1知，當（，） = 0時， 在（∪[，]）∪（∪[，]） = ∪上一致連續。

綜上所述， 在∪上一致連續。

由定理2可得到推論3。

推論3 設區間與區間為開區間（，可分別為有限或無限區間），∩ = {}， 在 = 上有定義且 分別在和上一致連續，則 在 = ∪上也一致連續。

下面我們運用以上兩個定理以及推論3來研究關于一致連續的證明問題。

2.2.1 區間沒有重疊的情況

若區間為無限區間，即形如 = [，+）或（，+）。而在無限區間上又難以統一處理，所以轉化為一個便于處理的無限子區間與剩下的有限閉區間上兩部分問題分別處理。一般地可取一個正數劃分[，+）為[， ]∪[，+）或（，+）=（，]∪[，+）），再分別證 在這兩個區間上一致連續，同時要說明 在點處連續。由定理1得 在區間上一致連續。例3與例4就是運用定理1來證明。

例3 討論 （） = （≥0，）在（0，+）上一致連續性。

解：（1）當0≤≤1時

1耙字？（）在上（0，1]一致連續。

2耙蛭？[1，+）時，由拉格朗日中值定理知，存在（， ），有∣ （） （）∣=∣ （）（）∣= ∣∣。

由于0≤≤1，， [1，+），（， ），所以有<1，即∣ （） （）∣≤ ∣∣。所以對任意>0，取 = ，只要， [1，+）且∣∣<，就有∣ （） （）∣≤ ∣∣<。由定義知， （） = 在[1，+）上一致連續。

由1埃？爸？≤≤1時， （） = 在（0，+）上一致連續。

（2）當>1時

1耙字？（）在（0，1]上一致連續。

2耙蛭盵1，+）時，存在>0，對任意>0，取 = ， = + ，盡管∣∣= → 0（→+），由拉格朗日中值定理知，存在（， + ），有∣ （） （）∣= ∣ （）（）∣= 。

又由于>1，所以>0，>≥1，所以有>，故 ∣ （） （）∣= ≥· = >1。即當→+時，∣ （） （）∣不趨向于0。故 （） = （>1）在[1，+）上不一致連續。

由1埃？爸保？時， （） = 在（0，+）上不一致連續。

綜上所述，當0≤≤1時， （） = 在（0，+）上一致連續；當>1時， （） = 在（0，+）上不一致連續。

例4 證明 （） = 在[0，+）上一致連續。

證明：1壩捎？（） = 在[0，1]上連續，則 （） = 在[0，1]上一致連續。

2暗？[1，+）時，由拉格朗日中值定理知，存在（，），有

對于任意>0，取 = 2，對任意的，[1，+），只要∣∣<，就有∣∣≤<。

所以 （）= 在[1，+）上一致連續。

由1埃？暗？（）= 在[0，+）上一致連續。

例5 （）在[]，[]上分別一致連續，其中>，則 （）在[]上一致連續。

證明 由定理3可證。

2.2.2 區間有重疊的情況

前面闡述了區間沒有重疊的情況，包括定理1與定理3出現的情況，現在研究區間有重疊的情況。這兩種情況既有區別又有聯系。后者是由前者引申得出的，在很多時候，兩種情況都可相互轉化，只是當把區間分為沒有重疊的情況的時候，要處理好拆分所得的兩個分區間的端點c，即要求點c連續，而區間有重疊的情況則不需考慮這一點。

例6 設 （）在[， +）上一致連續而（）在[， +）上連續，且（ （）（）） = 0。證明：（）在[， +）上一致連續。

分析：分別證（）在[， +1]， [，+）上一致連續。

證明：1壩捎冢ǎ┰赱， +）上連續，故（）在[， +1]上連續，從而（）在[， +1]上一致連續。

2壩桑？（）（）） = 0知：對任意>0，存在 >0，當，>且∣∣<時，有∣（ （）（））（ （） （））∣<。

又由 （）在[， +）上一致連續，故對上述>0，存在>0，

當，[， +）且∣∣<時，有∣ （）（ （）∣<。所以取 = {，}，當，[， +）∣∣<時，有

所以（）在[，+）上一致連續。

由定理2得（）在[， +） = [， +1]∪[， +） = [， +）上一致連續。

2.2.3 分段處理在定積分上的應用

我們常常利用定積分的性質求極限，而當被積函數含有三角函數，且這些三角函數又不是初等函數的時候，我們便可利用三角函數的周期性，將被積區間分段，進而再運用其他定義或性質進行計算或證明。

例7 證明 = 0。

注：這是著名的黎曼公式，證明這個公式的方法很多，在這里我們運用分段處理的方法來證明。

證明：對任意>0，因為

要證（） = 0，只要∣（）0∣= ∣（）∣≤。即∣（）∣≤。

兩邊取對數，有 （）≤ 。

取 = ，當>時，有∣（）∣<。

由迫斂性知， = 0。從而

0< = + < + = 2，

即∣0∣<2。所以 = 0。

從上述幾個例子中，我們可得出運用分段處理法進行解題的一般思路。在用定義來證明數列收斂時，可用“加一項減一項”的方法，將所求的式子分成兩部分，然后根據條件分別利用定義及性質證明其收斂，從而證明整個數列收斂。在證明函數一致連續的題目中，將函數定義域所表示的區間分成兩個重疊或不重疊的分區間，然后分別證明該函數在這兩個分區間內一致連續，從而得到該函數在兩個分區間的并集上一致連續，即函數在整個定義域上一致連續；而在有關定積分的題目中，可根據一些已知條件或隱含條件（如三角函數的周期性），將積分區間分段，從而用定義及性質對分段所得的式子進行求解。

總之，分段處理法能使題目更易于處理，解題思路更為開闊。因此，分段處理法在解題中具有廣泛的應用。

參考文獻

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