微諧振式壓力傳感器的差動輸出設計與建模

楊朔，邢維巍

(北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191)

0 引言

MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems)將電氣和機械部件結合在單基板上，是具有從亞微米級到毫米級結構的小型一體化設備，由于體積的縮小，機械性能的優良，設計、制造、封裝工藝的不斷發展和較好的成本效益［1］，孕育著廣闊的前景、巨大的社會和經濟效益，是傳感器發展的重要趨勢之一［2］。微傳感器因其體積小、能耗低、響應快，應用在航空航天領域有明顯優勢。其中，諧振式微傳感器將微機械加工技術和諧振傳感技術相結合，又具有高可靠性和數字輸出等優點［3］。

自J.C.Greenwood成功研制出諧振式硅微結構壓力傳感器以來，美國、日本和歐洲的眾多著名大學(如MIT、斯坦福、Twente等)以及相關領域的跨國公司 (如德魯克、橫河、斯倫貝格等)都先后加強了諧振式硅微結構傳感器及其制造工藝方面的研究力量。目前硅微機械傳感器已經開始從實驗室進入商業化階段，有的已經形成了產業［4］。

諧振式硅微機械壓力傳感器采用復合敏感結構，被測壓力直接作用于一次敏感結構感壓膜片的下表面，感壓膜片產生相應的應變與應力，二次敏感結構硅諧振梁 (簡稱硅梁)的兩個固支端受到應力作用，從而使硅梁的固有頻率產生變化［5］。在這種典型的微結構諧振式傳感器的敏感結構的基礎上，本文提出一種改進方案，使其具有差動輸出，提高了抗干擾能力。通過建立數學模型，設計實際尺寸參數進行計算分析，得出硅梁的分布位置和幾何參數對其振動特性的影響規律，驗證了所提出的結構的設計思想和優化參數的可行性，為諧振式壓力傳感器敏感結構的設計提供了參考。

1 諧振敏感結構

有一種被研究過的微諧振式壓力傳感器的敏感結構，其一次敏感單元為矩形硅膜片，當敏感壓力變化并將之轉化為膜片的應變與應力時，膜片上表面架設的硅梁感受膜片的應力，其固有頻率隨被測壓力的變化而變化。由文獻 ［6］中對矩形硅膜片的相關分析知，在受到壓力時，膜片中部受拉伸，而邊緣受壓縮，如在兩區域內均架設梁諧振子，則膜片感受壓力時，兩區域內的梁諧振子的固有頻率將向相反的方向變化。據此提出一種可實現差動測量的諧振敏感結構，示于圖1。

圖1所示敏感結構由矩形硅膜片、3個硅梁和邊界隔離區域組成。被測壓力直接作用于矩形硅膜片，使之轉化為應力與應變，3個硅梁作為二次敏感元件，感受膜片上表面的應力與應變。膜片的半邊長、半邊寬和厚度分別用A，B，H表示。在真空封裝中，將三個雙端固支的硅梁鍵和在膜片上表面的凹槽上，使之成為整體。硅梁1的長度、寬度和厚度分別用l1，b1，h1表示;硅梁2的長度、寬度和厚度分別用l2，b2，h2表示，硅梁3使整個結構對稱，其分析與硅梁2相同，下文將省略。

圖1 差動輸出的硅微結構諧振梁式壓力傳感敏感結構

2 矩形膜片模型

建立坐標系，如圖2所示 (圖中量值單位為mm)。要利用硅的頻率特性實現測量，此種敏感結構在工作時，應使矩形膜片處于小撓度線性范圍。

圖2 坐標系示意和機械結構

矩形膜片底部受到壓力時，其法線z方向的位移為［2］

式中:p為均布壓力，Pa;μ為梁材料的泊松比，kg/m3;E為梁材料的彈性模量，Pa;為膜的最大法向位移與其厚度之比［2］。

在均布壓力p作用下，矩形膜片的上表面 (z=+H/2)沿x軸和y軸的正應力分布分別為

圖3所示為由公式 (3)，(4)得到的x軸和y軸上的應力曲線 (μ取0.278)。

圖3 沿坐標軸分布的應力

由圖3知，硅梁所感受的應力會因其所處位置的不同而不同，其固有頻率也會產生相應的差別。當把梁架設的位于膜片中部一定范圍內則受拉伸，固有頻率隨均布壓力p單調增加;把梁架設的靠近膜片邊緣一定范圍內則受壓縮，固有頻率隨均布壓力p單調減小，這是實現差動輸出的關鍵所在。

3 梁諧振子的位置與尺寸的確定

鍵合在膜片上的硅梁的尺寸相對于膜片來說足夠小，以至于公式 (3)，(4)所表示的膜表面引力可以作為硅梁所受的“初始應力”。由文獻 ［6］知，沿y軸的硅梁1以架設在正中央為佳。而硅梁2的一段應緊靠膜片邊緣以受到最大的壓縮作用。

由圖3可知，x和y軸上的包含原點 (中心點)的一定范圍內應力為正。若要使得沿y軸分布的硅梁1受拉，則它的長度需要控制在一定范圍內;同理在膜片邊緣沿x軸分布的硅梁2要受壓，長度也應控制在一定范圍內。若梁的兩端跨過了應力曲線的零點，則梁的一部分受壓，另一部分受拉，處于一種不穩定的受力狀態，這種情況應當避免。

設膜片半邊寬與半邊長的比為λ，即λ=B/A。確定參數μ=0.278，H=0.1×10-3m，A=1×10-3m。表1討論了當λ的值分別取1，0.9和0.8時，令y軸上硅梁1范圍內σy＞0，x軸上硅梁2范圍內σx＜0，得到了硅梁1與硅梁2的長度l1與l2的取值范圍。可見，當A的值固定時，λ越接近1，即膜片越接近正方形，l1和l2的極限值越大。梁的長度對于梁的頻率特性的影響很大，詳見第4節。

表1 固定A時l1，l2與λ的關系

4 梁的結構參數與頻率特性

先看硅梁1，在膜片的上表面，膜片沿y軸的位移為

根據敏感結構的實際情況及工作機理，壓力作用下的在y軸方向上的梁的位移為直線，而且在梁的兩端其軸向靜位移和矩形膜片相應位置的軸向位移十分接近［7］。當硅梁1設置在 y∈ ［-l1/2，+l1/2］ 時，由壓力引起梁的初始應力為［8］

式中:v1，v2分別為硅梁1在其兩個端點y= -l1/2和y=l1/2處的沿y方向的軸向位移。在初始應力σ0y的作用下，硅梁1兩端的一階固有頻率為［2］

對于硅梁2，也有類似的規律。

利用上述模型所知的規律，本文提供了一組微傳感器敏感結構的參數做為參考，其壓力測量范圍在0～0.1 MPa，見表2。

表2 敏感結構參數參考值

在表2的情況下，分別改變硅梁1和硅梁2的尺寸，得到相對零壓力下的頻率變化量Δf=f(p)-f(0)及頻率的相對變化率β=Δf/f(0)，p=105 Pa，見表3和表4。

可見梁的長度對固有頻率變化范圍有直接的影響，固定其他參數，梁的長度越大，其固有頻率越低。圖4所示為當硅梁1的參數滿足表2、表3，且長度連續變化時，其長度與頻率相對變化率的關系曲線。圖5所示為當硅梁1的參數滿足表2、表3，固定梁的長度不變，令其厚度連續變化時，其厚度與頻率相對變化率的關系曲線。

表3 硅梁1長度尺寸對頻率特性的影響

表4 硅梁2長度尺寸對頻率特性的影響

圖4 硅梁1長度與頻率相對變化率關系曲線

圖5 硅梁1厚度與頻率相對變化率關系曲線

由以上可知，在硅梁長度的受限值范圍內，其它參數固定且相同時，梁的長度越長，其頻率相對變化率β越大，相對靈敏度越大;而當長度固定時，梁的厚度越厚，其頻率相對變化率β越小，相對靈敏度越小。而由式 (6)～(9)可知，當梁的長度和厚度成固定比例時，其相對靈敏度不隨長度或厚度的變化而變化。對于硅梁2，亦有類似的曲線和規律。

5 壓力的解算

諧振式傳感器的核心思想是將被測量轉化為對諧振子的固有頻率的測量，解算時，可使硅梁1與硅梁2的固有頻率的函數做差，以消除共模干擾，得到表達壓力大小的數字量。

對于硅梁1，其在壓力p下的固有頻率為

對于硅梁2，有類似表達。式中，沿y軸和x軸的應變分別為

則沿y軸和x軸的應變又可分別簡化為

令固有頻率的一個函數為

則硅梁1和硅梁2在壓力p下的固有頻率的函數可表示為

計算 γ1-γ2，提取公因子 0.2949ξp并令 X=(l1/h1)2η -(l2/h2)2θ，有

參數ξ，η，θ，X僅與結構參數有關，當各結構參數確定后，參數η，θ，ξ，X均為固定常量。所以公式(16)是一個僅與硅梁1和硅梁2的諧振頻率有關的簡單表達式。

6 結論

針對一種差動輸出的微結構諧振式壓力傳感器敏感結構，對此結構進行了方案的設計和結構建模、優化，研究了關于膜片形狀、梁的位置與長度、以及相對靈敏度的設計規律，給出了壓力輸出的差動解算方法，驗證了所提出的結構的設計思想和優化參數的可行性，為諧振式壓力傳感器敏感結構的設計提供了參考。

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