一道例題的教育價值

趙冬歌 沈福剛

（1.河北大學 質量技術監督學院，河北 保定 071002；2.河北大學 化學與環境科學學院，河北 保定 071002）

同濟大學數學系編寫的 《高等數學》（本科少學時類型）（第三版）（下冊）教材第158頁的例1是這樣的［1］：計算，其中L 為上半圓弧 x2+y2=ax，y≥0（圖 1）

圖1

如果不認真思考，就會此題解得很有條理，但是通過仔細思考，就會發現本題在求解過程中存在著矛盾。那是什么矛盾呢？本題里所給出圓的方程：x2+y2=ax，化為它的一般方程（，于是想當然地畫出了上半圓弧，位于第一象限，但是仔細思考一下，這是在假定a＞0的前提下（可是題目卻沒有給出a＞0），然后寫出上半圓弧的極坐標方程 ρ＝acosφ （0≤φ≤）。 然而在接下來計算的過程中，遇到a2的開方時，計算時卻沒有將a開出來，而是寫成|asinφ|，說明這時又考慮到a可能為正也可能為負。同時，又巧妙地躲過了關于a是正是負的討論。整個解題過程中，關于a的正負問題立場不堅定，模模糊糊。也許關于a的正負不是本次課的重點，本次課的重點是關于對弧長的曲線積分如何計算。但是這樣解題是不嚴謹、不合理的，考試時這樣解題是不全面，不正確的。

嚴格來說，對于這道題應該考慮a的正負，合理的解答應該是這樣的：

實際上，編者的意圖是要在a＞0的條件下求解的，可能是因為一時的疏忽忘了加a＞0這個限定條件。但是沒有這個條件就該分兩種情況解答。

對于這道例題，老師可以首先引導學生來檢查這道例題的解題過程是否嚴謹，是否正確，如果不正確那么問題在哪里。通過老師的啟發，學生也能發現這道例題上不嚴謹的地方，這樣把他們的積極性調動起來了，能把課本上的錯誤找出來使學生體會到成就感［2］。這時候就調動起學生的主動性，老師這時要教導學生：“盡信書則不如無書”，學好任何課程任何知識不能只靠看課本和聽老師講課，不能僅僅被動地去接受，而應該自己認真地閱讀，用心思考，任何書都可能存在錯誤，我們要自己根據所學知識發現書中錯誤的地方。老師借此機會向學生強調數學學科的嚴謹性，數學學科相對其它學科最大的特點就是數學學科的嚴謹性［3］，是就是，不是就不是，沒有中間地帶。老師還可以進一步地要求學生寫出完整的求解過程。這個時候學生的積極性和主動性被調動起來［4］，大腦活躍起來，他們很愿意把這個正確的答案完完整整地寫下來，這個過程培養了他們的嚴謹性。當然在求解過程中，他們也會遇到困難，比如a＜0，圓的極坐標方程中極角的范圍，這是他們通過努力可以解決的。同時，他們又重溫了一下對弧長的曲線積分的計算，這個過程是積極主動的，學生不僅學到了知識，也在思想上得到教育。

由此可見，通過這道教材上的錯誤例題，老師經過精心引導和設計［5］，不僅調動了學生學習的積極性，而且也教育學生不能盲目地相信教材，教材本身也有不完善的地方。學生經過努力推導出了完整的答案，不僅數學知識得到了鞏固和提高，而且在這個過程中體會到成就感，為數學學科以及其它學科的學習提高了興趣和信心！也培養了學生嚴謹的邏輯思維能力！在老師的引導下，學生從這道例題中受益匪淺！

［1］同濟大學數學系.高等數學[M].3版.北京：高等教育出版社.

［2］霍春光.如何提高學生對高等數學的興趣[J].遼寧教育行政學院學報,2009，26（6）：100-101.

［3］李國成,關于高等數學課程教學的問題與思考[J].河北大學成人教育學院學報，2007,9：72-74.

［4］胡嘉卉，孫彩賢.高等數學教學改革研究與探索[J].太遠城市職業技術學院學報，2012,9：144.

［5］陳之兵.一道例題的引申和啟發[J].高等數學研究，2011，14（5）：41-42.