隨機變量的數(shù)字特征的應用

韓寶燕

(山東工藝美術學院 公共課教學部，山東 濟南250000)

隨機變量的數(shù)字特征是由隨機變量的分布確定的,隨機變量的數(shù)字特征主要包括數(shù)學期望、方差、協(xié)方差以及相關系數(shù)。其中最重要的數(shù)字特征是數(shù)學期望和方差。數(shù)學期望E(X)描述隨機變量X取值的平均大??；方差DX=E[X-E(X)]2描述隨機變量X與它自己的數(shù)學期望E(X)的偏離程度。數(shù)學期望和方差雖然不能像分布函數(shù)、分布律、概率密度一樣完整的描述隨機變量，但它們能描述隨機變量的重要方面或人們最關心方面的特征,它們在應用和理論上都非常重要。

隨機變量的數(shù)字特征尤其是數(shù)學期望在很多領域（如：在風險決策、就業(yè)決策、投資、證券投資、經(jīng)濟決策、利潤效益和貝葉斯決策等）都有非常重要的應用。下面就幾種情況分別討論。

（1）隨機變量的數(shù)字特征在經(jīng)濟決策問題中的應用

在經(jīng)濟生活中，不論是廠家的生產還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化，供大于求或供小于求都不利于獲得最大利潤；但供應量和需求量又不是能預先知道的，理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），用數(shù)學期望結合其他知識來做決策。

假定某公司計劃開發(fā)一種新產品市場，并試圖估計其產量。估計出售一件產品公司可獲利m元，而積壓一件產品可導致?lián)p失n元。另外該公司預測產品的銷售量為一隨機變量X，其分布為p(x)。那么產品的產量該如何確定才能獲得最大利潤。假設該公司每年生產x件，盡管x是確定的，但由于需求量（銷售量）是一個隨機變量，所以收益Y也是一個隨機變量，它是X的函數(shù)于是期望收益為EY=f(x)p(x)dx。問題轉化為當x為何值時期望收益可以達到最大值。

舉一個應用數(shù)學期望解決貝葉斯決策的相似性問題.利用損失函數(shù)下的先驗期望準則來做決策。

原理：對給定的決策問題,若在狀態(tài)集Θ上有一個正常的先驗分布 π(θ)，則損失函數(shù) L(θ，a)對 π(θ)期望與方差(a)=EθL(θ，a)，Var[L(θ，a)]=Eθ[L(θ，a)]2-[EθL(θ，a)]2。

分別稱為先驗期望損失和損失的先驗方差，使先驗期望損失達到最小的行動 a′，(a′)=(a)，稱為先驗期望準則下的最優(yōu)行動，若此種最優(yōu)行動不止一個,其中先驗方差達到最小值的行動稱為二階矩準則下的最優(yōu)行動。

例如：某公司購進某種貨物可分為大批、中批和小批三種行動,依次記為a1、a2、a3。未來市場需求量可分為高、中、低三種狀態(tài),依次記為θ1、θ2、θ3。 三個行動在不同市場狀態(tài)下獲得的利潤如下（單位：千元），問題是尋找最優(yōu)決策：題干中的矩陣為一個收益矩陣,現(xiàn)在把它變換為損失矩陣,即在有先驗信息的情況下,即如今公司經(jīng)理經(jīng)過專家咨詢后認為未來市場對該商品的需求量是中等,據(jù)此公司經(jīng)理用主觀概率給出如下先驗分布π(θ1)=0.2，π(θ2)=0.7，π(θ3)=0.1，用此先驗分布算得行動 a1，a2，a3的先驗期望損失(ai)和損失的先驗方差 V(ai)，(a1)=1.07，(a2)=0.98，(a3)=3.00，V(a1)=0.9241，V(a2)=2.5636，V(a3)=6.60。比較先驗期望損失大小可得a2（中等采購量）是先驗期望損失準則下的最優(yōu)行動?？紤]到a1與a2的先驗期望損失緊差1.07-0.98=0.09，而a1的先驗方差要比a2的先驗方差小的較多，為避免大的風險，a1亦是可采取的行動。

（2）現(xiàn)今大多數(shù)人都有過購買股票或有價證券的經(jīng)歷，但其中的大多數(shù)人都不是理性的，那么理性的決策者在購買股票時會怎樣做呢?如何才能把風險降到最小也是很重要的一點。在投資環(huán)境日趨復雜的現(xiàn)代社會，幾乎所有的投資都是在風險和不確定情況下進行的，一般地說，投資者都討厭風險并力求回避風險。風險是某一行動的結果具有多樣性。風險是客觀存在的，它廣泛影響著企業(yè)的財務和經(jīng)營活動，因此,正視風險并將風險程度予以量化，成為企業(yè)財務管理中的一項重要工作。衡量風險大小需要使用概率和統(tǒng)計方法，最常用的知識就是數(shù)學期望和方差。

收益的數(shù)學期望：

例如：某公司擬對外投資,現(xiàn)有A公司、B公司和C公司有關股票收益的資料如下表：

表1 概率分布與預期收益分布表

下面,根據(jù)上述期望值公式計算 A、B、C公司的預期收益率：

在預期收益率相同的情況下,投資的風險程度同收益的概率分布有密切的聯(lián)系。A、B公司的預期收益率都是20%,但相比之下可以發(fā)現(xiàn)B公司的預期收益率非常分散,而A公司的預期收益率較集中,可認為A公司的投資風險要比B公司小,由此得如下結論：即預期收益的概率分布越狹窄,其投資風險越小,反之亦然。

（3）總結

以上內容只是隨機變量的數(shù)字特征在某些領域的相關應用，雖然還不是很成熟,面對復雜的經(jīng)濟等問題，苛求完善是不足取的，畢竟期望原理正推動著經(jīng)濟學的發(fā)展，為經(jīng)濟學定量化研究，特別是對不確定決策研究提供了有力的原理工具，隨著經(jīng)濟學和數(shù)學的發(fā)展,期望原理的實用性將會逐漸提高。相信隨著時代和經(jīng)濟的發(fā)展不僅是隨機變量的數(shù)字特征更多的和統(tǒng)計知識方法有關的研究會應用到越來越多地方，一定會發(fā)揮著不可估測的作用。

［1］遼寧，齊飛.概率論的產生與發(fā)展[J].

［2］林少宮，李楚霖.簡明經(jīng)濟統(tǒng)計與計量經(jīng)濟[M].上海人民出版社.

［3］徐建中，編.證券投資策略與方法[M].上海遠東出版社.

［4］司志本.概率論在就業(yè)決策中的應用[J].