隨機(jī)變量的數(shù)字特征的應(yīng)用

韓寶燕

(山東工藝美術(shù)學(xué)院 公共課教學(xué)部，山東 濟(jì)南250000)

隨機(jī)變量的數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的分布確定的,隨機(jī)變量的數(shù)字特征主要包括數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差以及相關(guān)系數(shù)。其中最重要的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。數(shù)學(xué)期望E(X)描述隨機(jī)變量X取值的平均大小；方差DX=E[X-E(X)]2描述隨機(jī)變量X與它自己的數(shù)學(xué)期望E(X)的偏離程度。數(shù)學(xué)期望和方差雖然不能像分布函數(shù)、分布律、概率密度一樣完整的描述隨機(jī)變量，但它們能描述隨機(jī)變量的重要方面或人們最關(guān)心方面的特征,它們在應(yīng)用和理論上都非常重要。

隨機(jī)變量的數(shù)字特征尤其是數(shù)學(xué)期望在很多領(lǐng)域（如：在風(fēng)險決策、就業(yè)決策、投資、證券投資、經(jīng)濟(jì)決策、利潤效益和貝葉斯決策等）都有非常重要的應(yīng)用。下面就幾種情況分別討論。

（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征在經(jīng)濟(jì)決策問題中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)生活中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化，供大于求或供小于求都不利于獲得最大利潤；但供應(yīng)量和需求量又不是能預(yù)先知道的，理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合其他知識來做決策。

假定某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖估計其產(chǎn)量。估計出售一件產(chǎn)品公司可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品可導(dǎo)致?lián)p失n元。另外該公司預(yù)測產(chǎn)品的銷售量為一隨機(jī)變量X，其分布為p(x)。那么產(chǎn)品的產(chǎn)量該如何確定才能獲得最大利潤。假設(shè)該公司每年生產(chǎn)x件，盡管x是確定的，但由于需求量（銷售量）是一個隨機(jī)變量，所以收益Y也是一個隨機(jī)變量，它是X的函數(shù)于是期望收益為EY=f(x)p(x)dx。問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x為何值時期望收益可以達(dá)到最大值。

舉一個應(yīng)用數(shù)學(xué)期望解決貝葉斯決策的相似性問題.利用損失函數(shù)下的先驗期望準(zhǔn)則來做決策。

原理：對給定的決策問題,若在狀態(tài)集Θ上有一個正常的先驗分布 π(θ)，則損失函數(shù) L(θ，a)對 π(θ)期望與方差(a)=EθL(θ，a)，Var[L(θ，a)]=Eθ[L(θ，a)]2-[EθL(θ，a)]2。

分別稱為先驗期望損失和損失的先驗方差，使先驗期望損失達(dá)到最小的行動 a′，(a′)=(a)，稱為先驗期望準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動，若此種最優(yōu)行動不止一個,其中先驗方差達(dá)到最小值的行動稱為二階矩準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動。

例如：某公司購進(jìn)某種貨物可分為大批、中批和小批三種行動,依次記為a1、a2、a3。未來市場需求量可分為高、中、低三種狀態(tài),依次記為θ1、θ2、θ3。 三個行動在不同市場狀態(tài)下獲得的利潤如下（單位：千元），問題是尋找最優(yōu)決策：題干中的矩陣為一個收益矩陣,現(xiàn)在把它變換為損失矩陣,即在有先驗信息的情況下,即如今公司經(jīng)理經(jīng)過專家咨詢后認(rèn)為未來市場對該商品的需求量是中等,據(jù)此公司經(jīng)理用主觀概率給出如下先驗分布π(θ1)=0.2，π(θ2)=0.7，π(θ3)=0.1，用此先驗分布算得行動 a1，a2，a3的先驗期望損失(ai)和損失的先驗方差 V(ai)，(a1)=1.07，(a2)=0.98，(a3)=3.00，V(a1)=0.9241，V(a2)=2.5636，V(a3)=6.60。比較先驗期望損失大小可得a2（中等采購量）是先驗期望損失準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動。考慮到a1與a2的先驗期望損失緊差1.07-0.98=0.09，而a1的先驗方差要比a2的先驗方差小的較多，為避免大的風(fēng)險，a1亦是可采取的行動。

（2）現(xiàn)今大多數(shù)人都有過購買股票或有價證券的經(jīng)歷，但其中的大多數(shù)人都不是理性的，那么理性的決策者在購買股票時會怎樣做呢?如何才能把風(fēng)險降到最小也是很重要的一點。在投資環(huán)境日趨復(fù)雜的現(xiàn)代社會，幾乎所有的投資都是在風(fēng)險和不確定情況下進(jìn)行的，一般地說，投資者都討厭風(fēng)險并力求回避風(fēng)險。風(fēng)險是某一行動的結(jié)果具有多樣性。風(fēng)險是客觀存在的，它廣泛影響著企業(yè)的財務(wù)和經(jīng)營活動，因此,正視風(fēng)險并將風(fēng)險程度予以量化，成為企業(yè)財務(wù)管理中的一項重要工作。衡量風(fēng)險大小需要使用概率和統(tǒng)計方法，最常用的知識就是數(shù)學(xué)期望和方差。

收益的數(shù)學(xué)期望：

例如：某公司擬對外投資,現(xiàn)有A公司、B公司和C公司有關(guān)股票收益的資料如下表：

表1 概率分布與預(yù)期收益分布表

下面,根據(jù)上述期望值公式計算 A、B、C公司的預(yù)期收益率：

在預(yù)期收益率相同的情況下,投資的風(fēng)險程度同收益的概率分布有密切的聯(lián)系。A、B公司的預(yù)期收益率都是20%,但相比之下可以發(fā)現(xiàn)B公司的預(yù)期收益率非常分散,而A公司的預(yù)期收益率較集中,可認(rèn)為A公司的投資風(fēng)險要比B公司小,由此得如下結(jié)論：即預(yù)期收益的概率分布越狹窄,其投資風(fēng)險越小,反之亦然。

（3）總結(jié)

以上內(nèi)容只是隨機(jī)變量的數(shù)字特征在某些領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用，雖然還不是很成熟,面對復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)等問題，苛求完善是不足取的，畢竟期望原理正推動著經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，為經(jīng)濟(jì)學(xué)定量化研究，特別是對不確定決策研究提供了有力的原理工具，隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展,期望原理的實用性將會逐漸提高。相信隨著時代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展不僅是隨機(jī)變量的數(shù)字特征更多的和統(tǒng)計知識方法有關(guān)的研究會應(yīng)用到越來越多地方，一定會發(fā)揮著不可估測的作用。

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［2］林少宮，李楚霖.簡明經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計與計量經(jīng)濟(jì)[M].上海人民出版社.

［3］徐建中，編.證券投資策略與方法[M].上海遠(yuǎn)東出版社.

［4］司志本.概率論在就業(yè)決策中的應(yīng)用[J].