基于2 -SMC 數控機床用PMSLM 改進ADRC 控制*

劉春芳 初 旸

(沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧 沈陽110870)

現代數控機床正在向高速度、高精度方向發展，由此也對伺服進給控制系統提出了更高的要求。高精密數控機床進給裝置多采用直線電動機(PMSLM)作為直接驅動裝置。直線電動機在數控機床伺服進給控制系統中具有定位精度高、響應速度快、靈敏度高、隨動性好等優點［1］。但是在取得諸多優勢的同時，由于直線電動機的直線運動取消了中間機械傳動環節，系統的擾動、參數變化、齒槽力、端部效應和摩擦力等直接作用在系統輸出上，使得控制難度加大。

尋找更加適合直線電動機控制要求的控制策略并對其實施有效控制，一直是重要的具有挑戰性的研究課題。目前已有很多專家學者分別采用不同方法來設計直線伺服系統的控制器，文獻［2 -3］采用無模型自適應控制方法擺脫了控制理論中被控對象模型的束縛，直接基于動態線性化模型中偽偏導數的估計和預報在線導出。但在自適應規律中包含輸入和輸出的各階導數，這就降低了自適應對干擾的抑制能力。文獻［4］針對數控機床用直線電動機的往復運動特性，采用重復控制策略減小進給系統跟蹤誤差，雖然文獻中采用的控制策略對輸入信號的控制精度有所提高，但采用了基于模型的擾動補償方法同時也降低了系統的全局魯棒性。

自抗擾控制(ADRC)是由韓京清研究員提出的一種不依賴被控對象數學模型并有很強魯棒性的新型控制方法［5-7］，其核心部分在于擴張狀態觀測器可以實時地觀測出PMSLM 的內外擾動以及參數變化，通過實時補償機制使觀測到的總擾動信號在控制信號處給予補償，以實現動態補償線性化。但要想得到理想的動態擾動估計信號就要對擴張觀測器中參數進行反復調節仿真，又由于擴張狀態觀測器中參數相互影響，很難在較短時間得到令人滿意的控制效果。本文針對擴張觀測器調節參數不易實現的問題提出了二階滑模(2 -SMC)擴張觀測器設計方法。在保障直線電動機控制精度與魯棒性的前提下降低了自抗擾控制參數調節難度。最后通過仿真對比傳統擴張觀測器與二階滑模觀測器的控制效果，得到二階滑模變結構擴張觀測器的控制效果更好。

1 直線伺服系統自抗擾控制

1.1 直線電動機數學模型

忽略電磁飽和、渦流損耗及磁滯損耗，假設電動機的反電勢是正弦的，當僅考慮基波分量時，可以應用矢量控制d-q軸模型，并使用Id=0 的矢量控制方式。通過Park 變換，得到d-q坐標下的PMSLM 的簡化系統模型為［8］:

式中:R為初級電阻，φm為永磁體磁鏈，τ 為次級極距;iq、uq、Lq分別為q軸電流、電壓、電感;m為折算到動子上的等效質量;np為極對數、v為動子運行速度;fd為系統內外擾動，主要包括負載擾動、摩擦擾動、紋波推力擾動、端部效應、參數變化以及其他不確定性擾動。

1.2 直線伺服系統離散ADRC 控制器設計

本文中PMSLM 伺服控制系統采用速度環和電流環雙環結構。速度外環采用自抗擾控制，電流內環采用傳統的PI 控制器來實現Id=0 的矢量控制。

由式(1)中第二式兩邊求導，并將式(1)中第一式代入可得:

理想情況下自抗擾控制器是通過PMSLM 的輸入控制率uq和輸出速度v觀測出系統的總擾動d(t)和加速度。為了對系統總擾動進行補償，控制率設計成如下形式。

代入式(2)中，可得

這樣就把PMSLM 速度控制系統補償為積分串聯型系統，使其可以采用高性能的非線性PD 誤差反饋控制，獲得高性能的速度閉環特性。

根據PMSLM 數學模型ADRC 的設計可分為3 大部分，即跟中微分器(TD)、擴張狀態觀測器(ESO)、非線性狀態反饋(NLSEF)。其結構如圖1 所示。TD 的作用是安排過渡過程，得到輸入信號并給出其微分信號;ESO 是ADRC 控制器的核心，可估算出被控對象的誤差變化等中擾動;NLSEF 對各階狀態誤差信號進行非線性組合來生成控制信號。一般高階控制對象可近似簡化為二階控制對象，下面以二階為例簡單介紹一下ADRC 的算法。

由于高檔數控機床進給系統中PMSLM 控制器的硬件設計多采用dsp 等數字信號控制器來實現，這就需要將控制算法離散化，但直接離散化的自抗擾控制算法易引起顫振現象影響系統性能。為克服這些問題，直接設計非線性離散型ADRC。ADRC 各部分具體的離散實現為:式中:h為采樣步長，λ 為速度因子，它決定跟蹤過渡過程的時間;h0為濾波因子，它決定對輸入信號的噪聲抑制能力。本文根據PMSLM 的最大速度和最大加速度通過仿真來確定TD 中的3 個參數。

式中:fal(·)為非線性組合函數，當α ＜1 時，它具有大誤差小增益，小誤差大增益的特性;u(k)和y(k)分別為PMSLM 的輸入控制率與經過光柵尺反饋的輸出信號，并作為ESO 的2 個輸入;z1(k)，z2(k)，z3(k)為ESO 的3 個輸出狀態估計信號。

式中:u0中的非線性函數增益β1、β2可以看成是PID控制中的比例增益和微分增益;z3(k)/b為擾動補償項，補償后的u輸入給PMSLM。

通過以上ADRC 算法可以看出，除TD 中參數和補償系數b可根據PMSLM 來確定外，ESO 和NLSEF中的β01、β02、β03、β1、β2、a、δ、δ1目前還沒有較好的整定方式確定它們的值，并且這些參數的相互作用給參數的調節帶來了較大的不便。本文通過設計二階滑模擴張狀態觀測器的方法在保證伺服系統性能的前提下，降低了ADRC 控制算法中實際參數調節難度。

2 基于二階滑模變結構的擴張狀態觀測器

2.1 變結構擴張觀測器的基本設計思想

考慮如下不確定仿射型非線性系統:

式中:x為狀態向量;f(x)和g(x)為n維光滑不確定向量場。假設系統滑模量具有相對階為2 的表達式:

式中:s(x)為系統滑模量;φ(x)和γ(x)為不確定性函數。如果s·(x)、s(x)為閉環系統狀態變量的連續函數，同時集合s(x)=s(x)=0 是非空且包含局部的Filippov 軌跡［9］，那么在集合s(x)=s(x)=0 上的運動稱為二階滑模。由于二階滑模的不連續控制是直接作用在滑模量的二階導數s··(x)上，不但可以明顯消弱系統的抖振，而且可以提高控制精度［10］。

如上所述在直線電動機控制系統中，式(6)擴張觀測器的一般形式可被寫成如下形式:

參數β01、β02、β03的適當選取可以觀測出系統的輸出量、輸出的微分量以及系統擾動量。

由文獻［11］對系統式(11)作適當變換，令系統狀態變量，假設a0(t)有界，即:|a0(t)| ＜A。并令ε1=z1-x1，(e)，可得到如下擴張觀測器表達式:

這樣可以看出只要選取好適當的函數f(ε1)保證變結構擴張觀測器式(12)穩定則原系統穩定。由此可知擴張狀態觀測器設計的關鍵就是找到合適的函數f(ε1)。對系統式(12)，取二階滑模平面為:

設計滑模面向量后，2 -SMC 設計的目標變為通過連續控制，使滑模面向量σ 及其導數σ·有限時間內收斂于零。

超螺旋算法［12］的原理是，狀態軌跡在σ -σ·平面上，以有限短時間繞零點螺旋式收斂到零點。這種控制律是二階滑模算法中唯一不需要滑模量導數及符號信息的算法。

超螺旋算法具體表示如下

考慮到z·(t)，這里對控制器式(6)進行Eulero 離散化。

式中:τ 為采樣時間，jτ ＜t＜(j+1)τ，j∈N，z0=0，σj=σ(jτ)。由于算法實現過程中需要用到微分信號，所以這里采用二階滑模控制算法中的超螺旋算法設計微分器，從仿真結果可以驗證此種方法是可行的。

3 系統仿真及結果分析

根據PMSLM 模型式(1)，運用本文提出的二階滑模擴張觀測器，在Matlab/Simulink 中搭建仿真模型。PMSLM 參數為:永磁體有效磁鏈φ =0.1717WB;動子質量m=11 kg，動子電阻R=18.7 Ω;d軸電感Ld=26.82 mH，q軸電感Lq=26.82 mH，極距τn=32 mm，極對數p=3。

PMSLM 空載起動，速度給定為1 m/s 的階躍信號，在2 s 時，分別突加500 N 階躍負載阻力和30sin(2πt)N 的周期負載阻力，分別采用本文提出的控制算法和傳統自抗擾算法進行仿真。經過反復調試確定二階滑模擴張觀測器參數如下:超螺旋算法中參數為:V1=1;V2=9;滑模面選擇中參數為:k=15;vv1=4;vv2=500。

圖2 為PMSLM 伺服控制系統在無擾動時采用傳統擴張觀測器與二階滑模擴張觀測器的仿真曲線。從仿真曲線可以看出，兩種擴張觀測器的PMSLM 輸出仿真曲線基本重合，但從局部放大曲線圖中可以看出，采用二階滑模擴張觀測器的速度響應曲線上升時間短響應速度快且無超調出現。圖3 為在2 s 時加入500 N 階躍擾動時采用兩種擴張觀測器的仿真曲線。圖4為在0.2 s 加入30sin(2πt)N 周期擾動時采用兩種擴張觀測器的仿真曲線。從圖3、圖4 中可以看出改進后的擴張觀測器的抗擾能力有所提高。

4 結語

在數控機床直線進給系統中要求有較高的控制精度，本文針對傳統ADRC 中的擴張狀態觀測器參數不易整定的問題，在深入研究SMC、ADRC 的基礎上，設計了二階滑模擴張觀測器。通過仿真結果看出，采用二階滑模算法改進后的擴張觀測器與傳統擴張觀測器相比具有以下幾個優點:

(1)在不加任何擾動的情況下兩種控制方式得到的速度輸出曲線基本相同，但改進后的輸出曲線上升時間更短。

(2)在加入擾動系統趨于穩態后，二階滑模擴張觀測器的抗擾能力更強。

(3)在保證控制器性能的前提下，自抗擾控制器參數調節更加容易。

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