基于行為偏差的投資組合優化模型研究

陳亦然

摘要：本文利用效用最大化投資原理，提出了將行為偏差作為投資組合的影響因子，構建新的投資組合優化模型。基于展望理論下的行為偏差，利用構建的概率函數進行模型化，融入到效用最大化投資組合模型中，最終達到不同行為偏差下效用函數的最大化。

關鍵詞：行為偏差；效用函數；展望理論

一、引言

Markowitz（1952）在定義傳統的投資過程時，都以給定的風險承受程度、限制約束條件和金融目標來代入均值-方差模型來求最優解。但在實際的投資過程中會存在投資者的行為偏差影響理論投資。Tversky 和 Kahneman（1992）指出，投資者在獲得投資收益時處于風險厭惡狀態，而在投資虧時往往處于風險尋求狀態，這就是所謂的不對稱風險承擔行為。同時，當投資者面臨同樣的投資收益時，投資者表現更多的是損失厭惡。Giorgi等 （2004）認為，投資者以展望理論為基礎選取的投資組合和以期望效用理論為基礎選取的投資組合在某些方面有所區別，主要在于：行為投資組合的投資分配主要依據投資者的自然心里偏好（情感偏差），即使這個投資組合的收益低于同風險水平下的最大化期望收益。簡單而言，投資者最好的實際投資配置可能是一個稍微欠佳的長期投資，但投資者能夠接受。從傳統的投資組合角度分析，行為投資者的投資組合方式是隨機的，但這并不意味著所有的個人投資者都是非理性的，不理性的僅僅是投資者把情感偏差作為影響因素來調整符合自己偏好的投資決策。

Tversky 和 Kahneman（1992）在展望理論中指出，個人風險偏好主要有四個方面：第一，心理賬戶，投資者僅以獲利和損失來衡量資產；第二，損失厭惡，投資者在獲得收益時會更加厭惡損失；第三，非對稱風險偏好，投資者在損失發生時處于風險尋求狀態，而在獲利時處于風險厭惡狀態；第四，概率權重函數，投資者在面對極端概率事件時，往往會高估低概率事件，低估高概率事件。盡管大量文獻證實行為偏差與展望理論，但這些行為偏差在資產配置框架中還是很稀少。Barberis和Huang（2001）用損失厭惡和心理賬戶來解釋股票定價中出現的行為偏差，但并不是把展望理論中的所有框架都考慮到優化投資模型中。

因而，本研究將把心理賬戶、損失厭惡、非對稱性風險、處置效應和概率權重函數融入到投資組合優化模型中，來尋求符合投資者行為偏好的投資組合。

二、模型的建立

在我們的框架中，金融市場只有兩個可交易資產：無風險債券和風險證券（具有正態分布的回報率假設下的證券資產）。投資者在投資過程中不允許賣空。同時，假定無風險資產的收益率Rf是給定的，風險資產的收益率是R=μ+σ·n，其中n～N（0，1）。投資者的初始資金為W0，且無其他收入所得。θ為投資風險資產的權重，（1-θ）為投資無風險資產的權重。

那么，投資組合的損失或者收益可以表示為

x=ΔW=（1-θ）Rf+θR（1）

Vlcek （2006）指出，區別于傳統投資組合理論，投資者會根據自身心理偏好調整初始的投資組合概率函數，即p=f（x），定義其概率權重函數為π（p）。基于實證，投資者在調整結果的可能性時會存在高估小概率事件，而低估大概率事件。根據行為的差異改變初始投資比例的概率權重函數為

π（p）=（2）

其中，p=f（x），γ為調整因子

同時，Giorgi 等（2004） 也提出了價值函數，即

v（x）=λ+-λ+e-αx， if x≥0

λ-eαx-λ-， if x<0 （3）

其中，α是絕對偏好系數，λ->λ+>0使得價值函數在損失區域更為陡峭。

在投資過程中，投資者會選擇一定的投資比例，使得期望效用V最大化。在給θ定值時，投資組合的總期望價值為

V=ν（x）π（f（x））dx（4）

三、模型的優化求解

投資組合模型的目標函數是

V=ν（x）π（f（x））dx

由于x=（1-θ0）Rf+θ0μ+θ0σn，則分別定義：（1-θ0）Rf+θ0μ=B和θ0σ=C，那么x=B+Cn，并且有x>0且n>-。

V=ν（x）π（f（x））dx

∴V=（-λe+λ）dπ（f（x））+（λe-λ）dπ（f（x））

∴V=（-λe+λ）dπf（n）+（λe-λ）dπ（f（n））

∴V=λ-（λ+λ）π（-）+e[λeπ（--aC）-λe（-aC）]

其中，edφ（x）=eφ（-aσ-z）。

={ae[λe×π（--aθσ）+λe×--a

θσ]}·θ

={aθσe[λeπ×（--aθσ）-λ+e-aθσ）-a（λ--λ+）π（）}·θ×π（-aθσ）]-a（λ--λ+）π（）}θ

具有以下屬性。

（i）>0；（ii）σ=0或σ=∞時，=0；（iii）<0 for σ>0

最終，當風險資產的權重為θ*0時，價值函數V（θ*0）最大化，即

V=λ+-（λ++λ-）π（）+e[λ-eaBπ（--aC）-λ+eaB（--aC）

其中，B=[（1-θ*0）Rf+θ*0μ]，C=θ*0σ

四、實證結論

①假設當Rf=2.73%，μ=7.61%，σ=12.98%，γ=0.90，α=3，λ-=2.25，λ+=1時，如圖1，θ*0=81%

②假設（i）成立時，且當θ0=50%時，改變μ，圖1中其他變量恒定，如圖2。

③假設（ii）和（iii）成立時，且當=50%時，改變σ，圖1中其他變量恒定，則如圖3所示。

根據以上數據和圖示結果，可以說明行為偏差投資組合模型，存在以下結論。

一是期望效用V與風險資產的預期收益率μ的關系：V隨μ的增加而增加。

二是期望效用V與風險資產的波動率σ的關系：V隨σ的增加而減少。

三是風險資產的權重θ0與μ和無風險資產收益率Rf的關系：θ0隨μ增加而增加，θ0隨Rf增加而減少。當Rf高時，θ0隨μ平緩變化；當Rf低時，θ0隨μ陡峭變化。

五、結語

本文根據展望理論建立了一個一般均衡模型，把心理賬戶、損失厭惡、非對稱風險承擔行為和概率權重函數引入到投資者優化投資組合模型中，表明投資者在不同的投資標的下，由于行為偏差的存在，導致投資組合差異化的配置行為。長遠的研究可以考慮，增加市場的風險資產數目。當引進多個風險資產時，心理賬戶是否在每項資產都要考慮，成為一個關鍵問題。

參考文獻：

[1]Giorgi，E.，Hens，T.，Levy，H..Existence of CAPM equilibria with prospect theory preferences[A].National Centre of Competence in Research Financial Valuation and Risk Management[C].Working Paper，2004（85）.

[2]Barberis，N.，Huang，M.，Mental acco

unting， loss aversion， and individual stock returns[J].Journal of Finance， 2001（175）.

[3]劉鵬，張秀麗，史本山.基于展望理論的投資組合保險均衡研究[J].華東經濟管理，2011（25）.

（作者單位：華南師范大學經濟與管理學院）