數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤分類例析

劉淵樞

【摘要】數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯(cuò)誤進(jìn)行合理分類，從心理上、知識(shí)上、邏輯上和策略上等進(jìn)行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學(xué)反饋，以便適時(shí)調(diào)整教學(xué)方案；又可提升學(xué)生自我糾錯(cuò)能力，并獲得有益的心理發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】解題錯(cuò)誤 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 策略性錯(cuò)誤 等價(jià)轉(zhuǎn)換 正難則反

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）03-0130-02

對于數(shù)學(xué)習(xí)題來說，雖然一些探索性或開放性的問題解決不能依靠固定的模式，但解題策略的確定，依然是問題解決順利進(jìn)行的先決條件。一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，可采用的策略一定是多種多樣的，但一個(gè)好的策略不僅可以使解題的過程簡潔明快，而且決定著問題的最終解決。而不合理的策略可以產(chǎn)生錯(cuò)誤導(dǎo)向，從而使問題不能得解；或者，策略的選擇增加了求解過程的難度或長度，在思維與時(shí)間上造成浪費(fèi)。比如，數(shù)學(xué)家西蒙曾研究過解決“河內(nèi)塔問題”的四種不同策略：目標(biāo)遞歸、知覺策略、模式和機(jī)械記憶策略，并做過非常精彩的比較。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，通過實(shí)例對策略性錯(cuò)誤進(jìn)行詳細(xì)分析。

一、缺乏整體概念

例1.（1）已知a，b均為正數(shù)，且有a+2b=1，求■+■ 的最小值。

（2）已知x>0，y>0，且x+y+■+■=10，求x+y的最大值。

事實(shí)上，問（1）是問（2）的鋪墊，學(xué)生對問（1）的充分理解有益于確立問（2）的解題模式，這實(shí)質(zhì)上思維的遷移。但教學(xué)中絕大多數(shù)學(xué)生對問（2）一籌莫展，或者通過變元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題而陷入繁瑣冗長的計(jì)算之中。正確的策略是：（1）■+■=（■+■）（a+2b）=■+■+3≥2■+3=2■+3，當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí)，取最小值。（2）令x+y=t>0，則x+y+■+■=10可化為t+■（■+■）（x+y）=10，即10=t+■（■+■+10）≥t+■？圯t2-10t+16≤0？圯2≤t≤8，故x+y的最大值是8。選對策略，問題簡潔明快，而不能快速求解的原因則是由于缺乏整體概念造成策略性失誤或錯(cuò)解。

二、模式識(shí)別有誤

數(shù)學(xué)家與心理學(xué)家早在20世紀(jì)50年代起，以信息加工觀點(diǎn)對學(xué)生解決問題的過程進(jìn)行了系列研究，認(rèn)為學(xué)生所面臨的大多數(shù)問題是通過模式識(shí)別來解決的。所以，從根本上看，良好的問題儲(chǔ)備對模式辨認(rèn)有著非常重要的意義。“辨認(rèn)的正確與否決定著所提取的方法合適與否，從而也就決定著解題結(jié)果的正確與否。”

例2.人教版必修二P110B組第8題：已知0

■+■+■+■≥2■

學(xué)生把它當(dāng)成難題，是因?yàn)榘汛死闯墒且粋€(gè)不等式證明問題，覺得自己難以應(yīng)對，若是仔細(xì)觀察每個(gè)根式的特點(diǎn)，則不難找到“距離”的影子，注意到已知中的條件，這是一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的解析幾何問題。背景變了，問題的性質(zhì)就變了。

如圖，0

再比如，學(xué)生對于恒成立問題與有解問題經(jīng)常分不清，表面上看似知識(shí)性錯(cuò)誤，但錯(cuò)誤的背后實(shí)質(zhì)有模式識(shí)別的成份——這是從記憶存貯中提取的過程。

例3. （1）若x-1+x+2 >a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是________。

（2）若不等式x+1-x-2 >a在x∈R上有解，則a的取值范圍是________。

這兩個(gè)不等式的左側(cè)部分可以看成關(guān)于x的分段函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合找到最值；或者利用三角不等式a-b≤a+b≤a+b求最值。（1）的正確答案應(yīng)該是a<（x-1+x+2min=3；（2）的正確答案是a<（x+1-x-2max=3。

例4. 不等式（x-1）（■+1）+（2x-3）（■+1）>0的解集是________。

此問題依然會(huì)被學(xué)生當(dāng)成一般不等式求解問題，或者從形式上被嚇倒而無法做到本質(zhì)抽象，這是典型的模式識(shí)別有誤。分別對兩個(gè)根式進(jìn)行變形：（x-1）（■+1），（2x-3）（■+1），兩式結(jié)構(gòu)完全相同，故構(gòu)造函數(shù)f（x）=x（■+1），不難證明f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，原不等式化為f（x-1）+f（2x-3）>0？圯f（x-1）>f（3-2x）？圯x-1>2x-3？圯x<2。

該問題的考點(diǎn)組合與模式構(gòu)造，可謂精彩。

三、不能成功轉(zhuǎn)化

這類策略性錯(cuò)誤并非學(xué)生不懂相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，而是由于思維廣闊性與深刻性的局限，不能把這些單點(diǎn)知識(shí)或問題有機(jī)聯(lián)系起來，從而不能把問題成功轉(zhuǎn)化為新的形式，以期達(dá)到簡單化、熟悉化的目的。

例5.教材中介紹對數(shù)運(yùn)算時(shí)對公式loga （MN）=loga M+loga N給出了證明，并說明同理可證loga■=loga M-loga N。

學(xué)生在應(yīng)用及記憶公式的過程中，會(huì)把這兩個(gè)公式當(dāng)成完全獨(dú)立的兩條，第二條可否轉(zhuǎn)化為第一條公式呢？事實(shí)上，這兩條公式的本質(zhì)是一樣的，loga■=loga■+loga N-loga N=loga■·N-loga N=loga M-loga N。

化歸的思想是化難為易、化復(fù)雜為簡單的重要思想方法，對知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的理解會(huì)更加深刻，這當(dāng)然大大提高了學(xué)生解題過程中的模式識(shí)別能力，在面對問題時(shí)快速辨認(rèn)、提取與轉(zhuǎn)化。

例6.已知關(guān)于x的不等式x-2+3-x

此問題若單純辨認(rèn)為求解不等式的問題，則不會(huì)是好的策略選擇，如若看成兩個(gè)函數(shù)的比較問題，則可以選擇數(shù)形結(jié)合來解，這是更為經(jīng)濟(jì)的策略選擇。

策略1.原不等式左邊看成分段函數(shù)f（x）=5-2x（x<2）1 （x≥2），則不等有解轉(zhuǎn)化為m>fmin（x）=1。

策略2.原不等式可化為x-21

四、“正難則反”思維偏弱

數(shù)學(xué)問題的解決，大多從條件出發(fā)，借助于具體的模式與方法，進(jìn)行正面、順向的思考，在思維的方向具有定向性、層次性和整合性。但事物往往是互為因果的，具有雙向性和可逆性，所以“正難則反”則是正向思維受阻時(shí)的逆向思維，反向的思考便為一種非常合理的解題策略，如補(bǔ)集思想或反證法等。

例7.若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍。

很多學(xué)生并不理解“至少”的概念，所以題意的理解模糊，在正面分類較多難以入手的情況下，并未從“正難則反”的策略上入手，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解1.若這三條拋物線都與x軸無交點(diǎn)，則△1=16a2-4（-4a+3）<0△2=（a-1）2-4a2<0△3=4a2+8a<0？圯-■

正解2. △1=16a2-4（-4a+3）≥0，或△2=（a-1）2-4a2≥0，或△3=4a2+8a≥0，則三個(gè)解集的并集為a∈-∞，-■∪[-1，+∞）。

例8.已知y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，試判斷并證明a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的什么條件。

錯(cuò)解：由a+b>0？圯a>-b？圯f（-a）>f（-b），a+b>0？圯b>-a？圯f（b）>f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b），反之不成立，故a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的充分非必要條件。

正解：充分性和上同，關(guān)鍵是要合理說明f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）是a+b>0的什么條件，由已知條件可知正向入手困難，故“正難則反”，從逆否命題的觀點(diǎn)把原問題轉(zhuǎn)化為只需證a+b≤0是f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）的什么條件，這和充分性證明的過程完全相同。故，a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）>f（-a）+f（-b）的充分必要條件。

通過上述若干實(shí)例發(fā)現(xiàn)，策略性錯(cuò)誤（失誤）與心理性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤和知識(shí)性錯(cuò)誤不同，策略性錯(cuò)誤可能是因?yàn)楸嬲J(rèn)與提取錯(cuò)誤而導(dǎo)致解錯(cuò)，也可能是由于策略選擇不當(dāng)使求解過程過難過長，導(dǎo)致思維與時(shí)間上的浪費(fèi)。

參考文獻(xiàn)：

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