數(shù)學(xué)解題錯誤分類例析

劉淵樞

【摘要】數(shù)學(xué)解題錯誤是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進(jìn)行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進(jìn)行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學(xué)反饋，以便適時調(diào)整教學(xué)方案；又可提升學(xué)生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】解題錯誤 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 策略性錯誤 等價轉(zhuǎn)換 正難則反

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0130-02

對于數(shù)學(xué)習(xí)題來說，雖然一些探索性或開放性的問題解決不能依靠固定的模式，但解題策略的確定，依然是問題解決順利進(jìn)行的先決條件。一個數(shù)學(xué)問題的解決，可采用的策略一定是多種多樣的，但一個好的策略不僅可以使解題的過程簡潔明快，而且決定著問題的最終解決。而不合理的策略可以產(chǎn)生錯誤導(dǎo)向，從而使問題不能得解；或者，策略的選擇增加了求解過程的難度或長度，在思維與時間上造成浪費(fèi)。比如，數(shù)學(xué)家西蒙曾研究過解決“河內(nèi)塔問題”的四種不同策略：目標(biāo)遞歸、知覺策略、模式和機(jī)械記憶策略，并做過非常精彩的比較。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，通過實(shí)例對策略性錯誤進(jìn)行詳細(xì)分析。

一、缺乏整體概念

例1.（1）已知a，b均為正數(shù)，且有a+2b=1，求■+■ 的最小值。

（2）已知x>0，y>0，且x+y+■+■=10，求x+y的最大值。

事實(shí)上，問（1）是問（2）的鋪墊，學(xué)生對問（1）的充分理解有益于確立問（2）的解題模式，這實(shí)質(zhì)上思維的遷移。但教學(xué)中絕大多數(shù)學(xué)生對問（2）一籌莫展，或者通過變元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題而陷入繁瑣冗長的計算之中。正確的策略是：（1）■+■=（■+■）（a+2b）=■+■+3≥2■+3=2■+3，當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時，取最小值。（2）令x+y=t>0，則x+y+■+■=10可化為t+■（■+■）（x+y）=10，即10=t+■（■+■+10）≥t+■？圯t2-10t+16≤0？圯2≤t≤8，故x+y的最大值是8。選對策略，問題簡潔明快，而不能快速求解的原因則是由于缺乏整體概念造成策略性失誤或錯解。

二、模式識別有誤

數(shù)學(xué)家與心理學(xué)家早在20世紀(jì)50年代起，以信息加工觀點(diǎn)對學(xué)生解決問題的過程進(jìn)行了系列研究，認(rèn)為學(xué)生所面臨的大多數(shù)問題是通過模式識別來解決的。所以，從根本上看，良好的問題儲備對模式辨認(rèn)有著非常重要的意義。“辨認(rèn)的正確與否決定著所提取的方法合適與否，從而也就決定著解題結(jié)果的正確與否。”

例2.人教版必修二P110B組第8題：已知0

■+■+■+■≥2■

學(xué)生把它當(dāng)成難題，是因?yàn)榘汛死闯墒且粋€不等式證明問題，覺得自己難以應(yīng)對，若是仔細(xì)觀察每個根式的特點(diǎn)，則不難找到“距離”的影子，注意到已知中的條件，這是一個典型的數(shù)形結(jié)合的解析幾何問題。背景變了，問題的性質(zhì)就變了。

如圖，0

再比如，學(xué)生對于恒成立問題與有解問題經(jīng)常分不清，表面上看似知識性錯誤，但錯誤的背后實(shí)質(zhì)有模式識別的成份——這是從記憶存貯中提取的過程。

例3. （1）若x-1+x+2 >a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是________。

（2）若不等式x+1-x-2 >a在x∈R上有解，則a的取值范圍是________。

這兩個不等式的左側(cè)部分可以看成關(guān)于x的分段函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合找到最值；或者利用三角不等式a-b≤a+b≤a+b求最值。（1）的正確答案應(yīng)該是a<（x-1+x+2min=3；（2）的正確答案是a<（x+1-x-2max=3。

例4. 不等式（x-1）（■+1）+（2x-3）（■+1）>0的解集是________。

此問題依然會被學(xué)生當(dāng)成一般不等式求解問題，或者從形式上被嚇倒而無法做到本質(zhì)抽象，這是典型的模式識別有誤。分別對兩個根式進(jìn)行變形：（x-1）（■+1），（2x-3）（■+1），兩式結(jié)構(gòu)完全相同，故構(gòu)造函數(shù)f（x）=x（■+1），不難證明f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，原不等式化為f（x-1）+f（2x-3）>0？圯f（x-1）>f（3-2x）？圯x-1>2x-3？圯x<2。

該問題的考點(diǎn)組合與模式構(gòu)造，可謂精彩。

三、不能成功轉(zhuǎn)化

這類策略性錯誤并非學(xué)生不懂相關(guān)的知識點(diǎn)，而是由于思維廣闊性與深刻性的局限，不能把這些單點(diǎn)知識或問題有機(jī)聯(lián)系起來，從而不能把問題成功轉(zhuǎn)化為新的形式，以期達(dá)到簡單化、熟悉化的目的。

例5.教材中介紹對數(shù)運(yùn)算時對公式loga （MN）=loga M+loga N給出了證明，并說明同理可證loga■=loga M-loga N。

學(xué)生在應(yīng)用及記憶公式的過程中，會把這兩個公式當(dāng)成完全獨(dú)立的兩條，第二條可否轉(zhuǎn)化為第一條公式呢？事實(shí)上，這兩條公式的本質(zhì)是一樣的，loga■=loga■+loga N-loga N=loga■·N-loga N=loga M-loga N。

化歸的思想是化難為易、化復(fù)雜為簡單的重要思想方法，對知識間內(nèi)在聯(lián)系的理解會更加深刻，這當(dāng)然大大提高了學(xué)生解題過程中的模式識別能力，在面對問題時快速辨認(rèn)、提取與轉(zhuǎn)化。

例6.已知關(guān)于x的不等式x-2+3-x

此問題若單純辨認(rèn)為求解不等式的問題，則不會是好的策略選擇，如若看成兩個函數(shù)的比較問題，則可以選擇數(shù)形結(jié)合來解，這是更為經(jīng)濟(jì)的策略選擇。

策略1.原不等式左邊看成分段函數(shù)f（x）=5-2x（x<2）1 （x≥2），則不等有解轉(zhuǎn)化為m>fmin（x）=1。

策略2.原不等式可化為x-21

四、“正難則反”思維偏弱

數(shù)學(xué)問題的解決，大多從條件出發(fā)，借助于具體的模式與方法，進(jìn)行正面、順向的思考，在思維的方向具有定向性、層次性和整合性。但事物往往是互為因果的，具有雙向性和可逆性，所以“正難則反”則是正向思維受阻時的逆向思維，反向的思考便為一種非常合理的解題策略，如補(bǔ)集思想或反證法等。

例7.若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍。

很多學(xué)生并不理解“至少”的概念，所以題意的理解模糊，在正面分類較多難以入手的情況下，并未從“正難則反”的策略上入手，從而導(dǎo)致出錯。

正解1.若這三條拋物線都與x軸無交點(diǎn)，則△1=16a2-4（-4a+3）<0△2=（a-1）2-4a2<0△3=4a2+8a<0？圯-■

正解2. △1=16a2-4（-4a+3）≥0，或△2=（a-1）2-4a2≥0，或△3=4a2+8a≥0，則三個解集的并集為a∈-∞，-■∪[-1，+∞）。

例8.已知y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，試判斷并證明a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的什么條件。

錯解：由a+b>0？圯a>-b？圯f（-a）>f（-b），a+b>0？圯b>-a？圯f（b）>f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b），反之不成立，故a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的充分非必要條件。

正解：充分性和上同，關(guān)鍵是要合理說明f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）是a+b>0的什么條件，由已知條件可知正向入手困難，故“正難則反”，從逆否命題的觀點(diǎn)把原問題轉(zhuǎn)化為只需證a+b≤0是f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）的什么條件，這和充分性證明的過程完全相同。故，a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）>f（-a）+f（-b）的充分必要條件。

通過上述若干實(shí)例發(fā)現(xiàn)，策略性錯誤（失誤）與心理性錯誤、邏輯性錯誤和知識性錯誤不同，策略性錯誤可能是因?yàn)楸嬲J(rèn)與提取錯誤而導(dǎo)致解錯，也可能是由于策略選擇不當(dāng)使求解過程過難過長，導(dǎo)致思維與時間上的浪費(fèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]戴再平.《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》.上海：上海教育出版社，1996第二版

[2]張奠宙，過伯祥.《數(shù)學(xué)方法論稿》.上海：上海教育出版社，1996

[3]波利亞（美） 《怎樣解題》.上海：上海科技教育出版社 2011