透析教材教法定位“雞兔”同籠教學目標

李春英

【摘要】“雞兔”同籠問題作為我國的古代趣題之一，以其豐富的教育教學內涵傳承至今并廣為流傳。各個版本教材中對這一內容都有介紹，各個年級的學生對這個問題也略有知曉。本文在分析各個版本教材和知名專家教法的基礎上定位自己的教學目標和教學方法，試圖通貫一年級到六年級甚至初中解題方法之間的聯系，培養學生靈活思維的能力，全方位認識雞兔同籠的教育教學價值。

【關鍵詞】雞兔同籠 教材教法 教學目標

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0138-03

“雞兔同籠”是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？古人解答“雞兔同籠”的方法主要是假設法，于是，假設法也成為了解答“雞兔同籠”的主要方法。發展至今，“雞兔同籠”已經成為了一類問題的代名詞，稱為“雞兔同籠”問題。

一、各種版本教材分析

“雞兔同籠”作為一種經典名題，從教育的角度看，定位于不同解題方法不是隨意的，我們所接觸到的各個版本教材都有自己的獨到之處，將解法的難度與學生的可接受水平結合起來進行了充分的考量。歸納起來，基本有這樣的邏輯序列：一年級可以應用數形結合的思想選擇畫圖法，二、三年級可以應用枚舉的思想選擇列表法，四年級可以應用假設的思想選擇假設法，五年級可以應用方程的思想選擇方程法。在國標新教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數學廣角”中用6個頁碼詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用。

人教版編排“數學廣角”主要是想“通過簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，或者介紹一些比較著名的數學問題，讓學生在解決這些問題的過程中能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，培養學生解決實際問題的實踐經驗和能力。最重要的目的是讓學生通過接觸這些重要的數學思想方法，經歷猜想、實驗、推理等數學探索的過程，激發學生對數學的好奇心和求知欲，增強學生學習數學的興趣。”從而逐步實現《標準》所提出的教育教學目標。比如“雞兔同籠”問題，就是借助于古代的數學名題，教授學生運用猜測法、列舉法、假設法、代數法等方法解決問題，教師在教學時不能僅僅局限于問題本身，而應通過解決問題幫助學生掌握解題的一般方法，獲得必要的數學知識。因此，教師要充分了解人教版編排“數學廣角”的這些目的和意義，才能在教學時做到心中有數，準確把握。

人教版實驗教材《教師用書》上對這個編排是這樣說明的：一方面可以培養學生的邏輯推理能力；另一方面使學生體會代數方法的一般性。對這個內容的編排特點是這樣闡述的：1. 由《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題引入，激發學生的解題興趣。2. 注重體現解決“雞兔同籠”問題的不同思路和方法。3. 拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，明確其在生活中的應用。

二、各地名家教法分析

按理說，教師用書上有如此清晰的說明，那么本課的教學應該是沒什么爭議，有一個統一的教學結構。然而實際卻并非我們想象的那樣。據了解，目前六年級教學“雞兔同籠”問題的方法是大相徑庭，主要有以下幾種課型結構：

1.幾種方法一起教的。

這種課現在較為多見。在我看到的網絡視頻教學實錄中，幾乎都是這樣的課型。其中以列表、假設和方程三種方法一起教學居多。因為列表可以讓那些學習能力相對較弱的學生有一個解題的模型，使他們也能較好地解答“雞兔同籠”問題。而假設法和方程則可以讓那些學習較好的學生根據自己的喜好選擇使用。這樣就可以實現“全面掌握”的目標。也有在課堂上專門教學假設法和方程的。因為列表太低級了，六年級的學生應該可以理解假設法和方程的，至少可以掌握其中的一種方法，因此在課堂上只要重點教學這兩種方法就可以了。

2.專門教一種方法的。

在一些活動中，也有只教學一種方法的。這樣做的老師認為：在一堂課40分鐘中，既要教學列表，又要教學假設法，還要教學方程，到最后往往是一樣都沒有吃透。與其如此，不如在課堂上就教學一種方法，并把這種方法放大、教透。其中，以專門教學假設法的居多。因為假設法是解答“雞兔同籠”問題的主要方法，因此選用假設法是名正言順了的事情。如果以方程為主要方法，那么除了問題本身之外，在計算層面上還要面對一個新的問題——如何解“雞兔同籠”問題的方程，因為“雞兔同籠”問題的方程明顯高于小學階段方程教學的要求。如果這樣理解，那么選擇假設法就顯得更為合理了。

3.將學生置于一種“已會”狀態的。

剛剛看了一位名師的課堂實錄。這位老師就是將學生置于了一種“已會”的狀態，具體做法是：呈現“雞兔同籠”的典型問題，學生獨立解答，反饋交流學生的方法，有假設法、方程、枚舉等，在讓學生解釋自己的方法的同時，教師進行簡單地引導，最后通過對比，讓學生感悟假設法的優點，就算完成了“雞兔同籠”問題解法的教學。教師雖然沒有明說要用假設法解題，但在無形中還是體現著以假設法為主的思想。

分析這幾種課型，雖然出現了與《教師用書》不相吻合的情況，但其做法都是有道理的，都有自己對“雞兔同籠”問題教學的理解。那么就給我們帶來了一個困惑：六年級到底該怎么教學“雞兔同籠”問題？

三、學生學習現狀分析

在上面說到的幾種課型中，出現了解答“雞兔同籠”問題的幾種基本方法：假設法、方程法、列表法、枚舉法和畫圖法。我們想象一下，在學生還不曾接觸過“雞兔同籠”問題的前提下，讓學生嘗試解答“雞兔同籠”問題，他們會出現哪些方法呢？六年級學生知道“雞兔同籠”問題也是很正常的。因為“雞兔同籠”是中國趣題之一，“雞兔同籠”這個名詞在中國夸張的說可謂“婦孺皆知”，而問題的解決方法，很多家長可能早就與孩子講過，學生也可以通過很多渠道了解甚至是掌握這方面的知識。正因為如此，就給六年級教學“雞兔同籠”問題帶來了新的挑戰。那么學生的知道程度到底怎么樣呢？我們不敢斷言。但我們可以通過一些調查，說明一些問題。檢測分兩次進行，第一次是在學生沒有一點準備的情況下的盲測，第二次是在學生自學完課本之后的再測。

調查的題目和問題：

題目：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。籠子里有雞和兔各幾只？

問題：

1.像上面這樣的問題我們一般稱為（ ）問題。

2.這個名稱你大概在（ ）年級時知道的？是怎么知道的？

3.你有什么辦法可以把這道題目解答出來？（把你的方法寫下來，列式，畫圖，方程，列表，文字說明都可以，能用幾種解答就用幾種方法。）

調研對象及樣本數量：六年級兩個班，共計65人。

調研結果分析：

學生對于列表法掌握的情況最為理想。列表法應用的是數學中的枚舉思想，其特點是簡潔，這種起點低、易操作的解題方法在學生的腦海中留下了深刻的印象，被廣大學生所接受、理解。學生應用了枚舉的思想，經歷了列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會數學的樂趣。

對于畫圖法，調研學生中有60.47%采用。通過調研后的訪談，我進一步了解到，學生基本上都會畫圖法，但是有一部分學習情況較好的學生認為畫圖法容易受數據太多太大的影響而沒有使用。看來，學生對于這一解題方法還是基本認可的，它所存在的局限性學生也是有所了解的。

假設法，調研學生中有58.14%采用。就數學學習本身而言，假設法是一種重要的解題方法，許多問題都可以用假設的方法而得到解決。而雞兔同籠問題的算術解法就是依據假設的方法來解決的。單就前文所述的列表法其中也蘊含著假設的思想，此外還有一些“化歸法”“砍足法”以及上面提到的公式法，歸根結底都是應用了假設的數學思想。因此，教師應該引導學生在反復運用列表方法的基礎上，滲透并讓學生真正理解假設的方法，以便為學生掌握雞兔同籠的算術解法奠定基礎，同時也為培養學生的思維能力奠定基礎。

方程法的調研結果僅為11.63%。單從解題方法的角度而言，方程法遠比畫圖、列表之類的方法要快捷、簡便，這種簡便有其固有的數學價值，但是六年級的學生對此卻并不樂于接受。在后續的訪談中，我進一步了解到學生不用方程法的主要原因有兩個：一是“不習慣用”；二是“不會用”。的確，解決“雞兔同籠”問題的一元一次方程，在設句、列法、解法上，明顯超過六年級所學方程的難度。同時，χ在減數位置的方程，現行教材回避教學，學生不會解答，對未知數在減數位置的情況沒有深刻的認知，只有設每份數大的為χ才可以避免。學生的這些認知基礎，導致他們對于列方程解“雞兔同籠”沒有親切感。此外，關系性思維的欠缺導致六年級學生對于方程的本質也尚未形成良好的認知（關系性思維特征包括利用基本的數字和運算形式對數學表達式進行轉換，而不僅僅是依據既定順序的程度簡單地計算出結果）。學生要想使用方程求解務必要進行建模，而建模的依據就是等號左右兩邊的兩件事情在數學上是等價的。把未知當做條件進行建模并解答的意識和能力還不夠。在這樣的情況下，強加方程于學生，事倍功半是可以預見的。我相信，當學生在以后學習了“二元一次方程組”這一解決“雞兔同籠”問題的最佳模型后，用方程組解“雞兔同籠”必定能成為學生最樂學樂用的方法，理解其數學模型也是水到渠成的事情。

列表法是從全部假設成雞或全部假設成兔開始一個一個推算的，假設法也是利用全部假設是雞或兔來思考推理的。從這個思維層面上講，這兩種方法具有一個共同的特征：全部想成雞或兔。所以，列表其實也是假設法的一種表現形式，假設法可以看成是對列表法的進一步抽象和提升。基于這樣的分析，我們可以發現，如果學生能使用假設法或列表法，那么他們首先要實現一個思維上的飛躍：全部想成雞或兔。而讓一個未曾接觸過“雞兔同籠”的學生獨立來實現這樣的思維跳飛，顯然是有一定難度的。這是因為學生的思維受到了題目語句“籠子里有若干只雞和兔”的束縛。

四、自己教學定位分析

多數老師是在三、四年級用它給孩子們講假設法；特級教師徐斌曾嘗試在二年級教雞兔同籠問題，用它講畫示意圖解題；在中學里，老師則用它來講二元一次方程組。同一個載體雞兔同籠問題，不同的老師，在不同的學段可以教出不同的知識點。教材其實只是個載體，同一個題材你可以賦予它不同的使命，這也許就是大家常掛在嘴邊的“用教材教”。經過綜合分析，我的“雞兔同籠”教學最主要的目標不應該定位在為了解決“雞兔同籠”問題的本身上；而是應該定位在借助“雞兔同籠”這個載體讓學生歷經列表、假設和方程的過程，并溝通這幾種方法之間的聯系，借助列表讓學生學會假設法，借助假設體會方程的一般性。因此讓學生認識、理解、運用假設法是本節課的教學重點，也是教學難點。采取以表格中數據變化規律為探究基礎，以小組合作、師生互動為探究方式，將學生的認知經驗和思維過程轉化成數學語言，即數學算式，從而形成解決問題的全新的一般策略，發展學生的思維水平和推理能力。因此本節課最大的價值是借助假設法，幫助學生實現“全部想成雞或兔”的思維飛躍，在發展學生的推理能力同時，形成一種解決“雞兔同籠” 問題類型的思維方法。此外也是一個重要的要實現的教學目標是滲透一些基本的數學思想和方法。如：用容易探究的小數量替代《孫子算經》原題中的大數量的“替換法”解決問題，滲透了轉化的思想和方法；用“列表法”解決問題，滲透了函數的思想和方法；用“算術法”解決問題，滲透了假設的思想和方法；用“方程法”解決問題，滲透了代數的思想和方法等等。這些對于學生而言，無疑奠定了可持續發展的堅實基礎。

本節課的教學重點和難點都是理解和運用假設法。“假設法”是科學研究中常用的一種思維方法，也是解決數學問題的一種重要策略。它是指根據題目中的已知條件或結論作出某種假設，使復雜的情境簡單化，隱蔽的數量關系明朗化，使問題較為容易地得到解決。使用“假設法”要注意兩點：一，假設要符合題意，要找準與假設內容相對應的數量關系；二，假設要周密，要善于把假定的內容和數據加以調整，從而得到正確的答案。

用假設法解決的數學問題有很多，“雞兔同籠”問題只是用假設法解決的諸多問題中的一類，其方法特征主要表現為全部假設成A或B。這個特征具體體現在“雞兔同籠”問題教學中，那就是四個步驟：假設——計算——推理——解答。根據上述分析，假設法教學的思路應該已經非常清晰了，即圍繞“假設——計算——推理——解答”這四個步驟展開。同時我們可以想象，推理應該是學生學習時的難點，只要注意引導就可以了。

【教學片斷】

1.把所有的猜測有序地表示出來就是列表法。請你試著根據黑板上的這些猜測列成完整的表格。做在作業紙上。

2.書113頁已經幫你列了一個表，看一看你的表格和它一樣嗎？還能怎樣列表格？請你把書上的表格填完整，找到正確答案圈出來。

3.觀察表格，尋找規律。

從左向右觀察 __________________________________

從右向左觀察 __________________________________

從上向下觀察 __________________________________

從下向上觀察 __________________________________

觀察第一列 __________________________________

觀察最后一列 __________________________________

觀察腳數的特征__________________________________

4.如果雞和兔一共100只呢，我們還要列表嗎？

5.是不是我們剛才列表找規律這件事白做了呢？列表有什么用呢？

當頭和腳的只數數據較大時，猜想和列表就不容易找出答案了。我們還有研究新方法的必要。那么在猜想和列表中找到的規律可以幫助去研究新的更加一般的方法。

6.如果全部假設成雞，用列表法中的哪一列進行思考？如果全部假設成兔呢，其實就是表格中的第幾列？可以畫示意圖幫助理解。 7.如果假設雞為x只，兔為（ ）只。如果假設兔為x只，雞為（ ）只。你能把表格補充完整嗎？

8.如果假設雞為x只，兔為y只。你會用這兩個字母列一個等式嗎？反過來，如果假設兔為x只，雞為y只呢？你還能把表格補充完整嗎？

讓學生在參與觀察、實驗、猜想、證明等數學活動中，用數學語言清晰地表達自己的想法。從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗證到表格中數據變化規律的發現，從列表法很快自然聯想到假設法、代數法，學生的思維經歷從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化，注重不同策略間的相互聯系和影響，注重解決問題策略的局限性和一般性，學生的思維能力隨之得到提升。

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