初中數學幾何定理的運用

吳春雷

摘要：教師在教學時經常需要面對不同的學生，如何根據不同的情況采取相應的措施顯得非常必要。一些學生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了“定理教學”，采取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發，通過建立表象、組合定理、聯想定理等教學對策，從而使學生具備“用定理”的意識。

關鍵詞：建立表象；組合定理；聯想定理

幾何證明從來都是初中數學的重點和難點，縱觀本人帶的數屆學生在幾何證明題上都學的各有差異。往往是幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；或者知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容。更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。針對學生表現出的各種問題本人決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我把它歸納為以下幾點：

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。 ⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。 ⑶推理過程因果關系模糊不清。

針對以上的原因，我在教學中采取了一些自救措施。

一、教學環節

對幾何定理的教學，我在集中講授時分5個環節。第1、2 環節是理解定理的基本要求；第3 環節是基本推理模式，第4 環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式+定理”的書寫方法；第5 環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形+定理”的思考方法。程序圖設計如下：

基本要求 →重新建立表象 →推理模式 → 組合定理 → 聯想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求 要想正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理，集中展示給學生。

例如定理：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

一劃：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。

二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。

三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達 ，允許采用等同條件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（條件也可寫成：∠ACB=90°，∠CDB=90°等）

∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。

⒉重新建立表象 從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我在教學中提供了一定的便利。我要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。這對理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。

⒊ 推理模式 從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復雜而又琢磨不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三步推理模式。即：條件 → 結論 → 新結論 。這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。

⒋組合定理 基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構造圖形，進一步強化學生“用定理”的意識。由于學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。實踐表明：經過“模式+定理”書寫方法的熏陶后，學生基本具備了完整書寫的意識。

⒌聯想定理 分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的“已知、求證”上給學生支招，

即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想象。

三、幾點認識

復習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳復習途徑，因此在復習時，我們始終堅持主體性原則。在組織復習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。

“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生盡快形成一種解題思路、書寫方法。

集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反復滲透。

（作者單位：新疆烏魯木齊第十中學初中數學組 830000 ）