“簡單美”的典范

李開國

在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式的形式為簡單多面體的頂點數（[V]）與面數（[F]）之和減去棱數（[E]）是一個不變的量2。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。

公式：V+F-E=2

我們知道，多邊形中正多邊形有無數種，但為什么在多面體中只有五種正多面體呢？古希臘的畢達哥拉斯學派曾經對正多面體進行過很多研究，因為在柏拉圖的唯心主義體系中，正多面體被認為是可以作為宇宙基石的最簡單的理想物體。這些結果都被收入在了《幾何原本》中，它們分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

古希臘數學家歐幾里得曾嘗試證明在多面體中只有這五種正多面體，但沒有成功。隨后很長一段時間內，又有很多數學家采用各種方法想要給出證明，但均以失敗告終。可見對于這一問題的證明方法，完全不同于我們平時所習慣的幾何證明方法。它不是依靠可以度量的量（長度、面積、體積、角度等），而是依靠簡單的算術量——多面體的面數、棱數和頂點數之間的內在數量關系，即簡單多面體的歐拉公式來解決的。

17世紀法國著名數學家、解析幾何之父笛卡爾已經注意到，任意的封閉多面體的面、棱、頂點的數目之間存在一定的關系。1639年，笛卡爾通過考察圖中的五種正多面體，采取不完全歸納法猜測到，頂點數與面數之和減去棱數是一個不變的量2。也就是說：[V+F-E=2]。后來，笛卡爾對多個簡單的多面體進行了驗證，發現都符合自己的猜想，但是他沒法給出嚴格的證明，也沒有將此猜想公開發表。……