淺談構造法在中職數學解題中的實際運用

斯日古楞 山丹

【摘 要】著名數學家華羅庚說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數學來表達。”數學是一種精靈古怪的學科，它蘊含的是智慧，展示的是風流，是科學領域中最為神秘的宮殿。數學是一種貫穿思維的理性藝術，是打開科學大門的一把金鑰匙。美國當代數學家哈爾斯提出了“問題是數學心臟”的論說，它簡潔生動地揭示了數學學習就是“生疑—質疑—釋疑”的過程。然而有些問題是無法通過直接推理能夠順利進行的，只能通過題設和結論的橋梁來加以溝通解決。這種橋梁往往隱含在題設之中，需要人們去發現和構造。數學構造法既十分巧妙又很有價值。本文結合中職數學教學的實踐與思考，試簡要闡述之。

【關鍵詞】中職數學 構造法運用 學生能力培養 實踐與思考

數學宗師喬治·波利亞曾經指出：“構造一個輔助問題是一項重要的思維活動。”這是在突出強調數學思維的必要性和重要性。在科學發展史上，諸如高斯、拉格朗日等人都曾經運用構造法非常成功地解決過數學方面的重大難題。什么是數學構造法呢？就是人們在實際解題過程中，經過認真地觀察、分析和思考，把所要解決的問題轉化為一個比較合適的等價問題，并把原問題作為已知問題去思考一個可能相關的問題，或者首先去解決一個既可特殊又可一般的問題，然后促使原來數學問題得以最終解決的一種方法。構造法既是數學運用的基本思想方法，也是數學思維的一種巧妙藝術。在中職數學教學中如何進行實際運用呢？本文試從以下幾個方面對此作出拋磚引玉之論。

一、數學構造法的價值意義和解題步驟

在數學解題中恰當而合理地運用構造法，一方面可以有效地提高學生的解題能力，從中收獲簡潔明了、出奇制勝的效果；另一方面，還有利于培養學生以抽象思維能力和發散思維能力。它是培養創新意識和創新思維能力的有效手段之一，具有極其重要的數學價值和解題意義。構造法的主要特點是“構造”，而審題則是其中最為關鍵的環節。在運用這種解題方法時，我們要注意把握兩個方面問題，即“為什么而構造”和“如何把握題設條件的特點”。在此基礎上，構造法的一般性解題步驟可以歸納流程如下：①認真審題，精準把握題意。主要體現在“確認問題類型”“弄清其中主要已知項”“明確所求問題的結論”等三個方面；②根據已知條件，精準構造一個與原命題緊密關聯的數學模型；③利用上述所構的數學模型，把原本復雜的數學問題轉化為相對簡單、具體的新問題，從而迅速獲解并得出最終結論。

二、數學構造法的主要類型及實際運用

1、逆向構造法的類型及其運用。就是按照逆向思維（或求異思維）的方式，讓學習思維向其對立方向發展，從問題的相反面進行推導；或者對于某些特殊問題，從結論往回推進行倒過來思考，使得問題更趨簡單化，以便于最終解決。【例1】求和：S=1×3+2×4+3×5+…+n（n+1）（1+2）.分析如下：若按照常規求和方法考慮上述題目是比較困難的，我們引導學生不妨進行逆向性思考，構造一個比數列更高階但結構比較相似的數列S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+n（n+1）（n+2）（+3）.然后順其方向繼續深入地思維下去，問題就可以得到最后的解決。這是一種與由繁到簡的習慣方向完全相反的思考途徑。歷史上的“司馬光砸缸”就是逆反思維的聰明之舉。在中職數學教學過程中，適當開展逆向思維的訓練活動，能夠有效打破學生的慣性思維模式，促使他們在實踐活動中敢于“反其道而思之”，對于活化思維方式和培養創新能力，能夠發揮不可或缺的促進作用。

2、歸納構造法的類型及其運用。就是通過許多個別現象歸納出共有特性，從而得出一般性結論的一種論證方法。歸納法既可先舉事例再歸納結論，也可先提出結論再舉例加以證明。【例2】已知f（n）=（2n+7）×3^n+9，存在任意自然數m，使得對任意n屬于整數，都能使m整除f（n），求m的最大值。解題程序如下：由f（n）=（2n+7）×3^n+9得f（1）=36， f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.接著用歸納法予以證明：①當n=1時，顯然成立。②假設n=k時，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）×3^k+9能被36整除；當n=k+1時，[2（k+1）+7]×3^（k+1）+9=3[（2k+7）×3^k+9]+18（3^（k-1）-1），由于3^（k-1）-1是2的倍數，所以18（3^（k-1）-1）能被36整除。也就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除。由①②可知對一切正整數n都有f（n）=（2n+7）×3^n+9能被36整除，m的最大值為36.有目的地聯想能打開思路、拓寬視野。

3、直覺構造法的類型及其運用。“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起。”而直覺思維雖是非邏輯思維的一種，但它與邏輯思維的統一構成了創造性思維，又因“是持久探索和思考的結果”，仍然具有邏輯性。【例3】求sin10×sin30×sin50×sin70的值。首先假設A=sinlO×sin30×sin50×sin70，再構造對偶式B=coslO×cos30×cos50×cos70，由A×B 可逐步求出A 的值。在這一解題過程中，對于式子B=oslO×cos30×cos50×cos70的構造，就是憑借感性經驗、已有知識結構和潛在性解題意識匯合作用而產生的想法。這種具有創造性的思維方式就是直覺構造。換言之，直覺是一種直接的領悟性的思維方式，其活動原理正如錢學森所言：“…是在潛意識中醞釀問題，然后與顯意識突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對信息加工的具體過程，我們則沒有意識到。”如是而已。

此外，構造法還有類比和聯想等其它類型。數學解題構造法是一種富含創造性元素的方法，它在抽象、聯想、概括、歸納、類比等數學方法中都有實質性體現。在中職數學教學中，運用構造法對培養學生的自主學習能力、促進其可持續發展能力將產生深刻久遠的影響。