古典概型解題技巧解析

韓寶燕

【摘 要】古典概型在概率論中占有相當重要的地位。本文將對古典概型問題的解法進行探討，題分析，歸納總結出古典概型問題的解題方法。

【關鍵詞】古典概型；分球入盒；對立事件；樣本空間；全概率公式

古典概型在概率論中有著相當重要的地位，在概率論的學習中起著奠基性的作用。古典概型是一類特定的隨機試驗的概率類型，它的主要特點是“各可能結果具有等可能性”。古典概型涉及形式多樣的實際問題，本文將對古典概型的解法進行討論，通過典型例題分析，歸納出解題方法。

1 巧選樣本空間解題

例1 n個小朋友隨機圍圓桌而坐，求其中甲、乙兩人坐在一起（座位相鄰）的概率。

評：如果更具體點，可選取樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}，ωi表示乙坐在甲左邊第i個位置上，它滿足有限等可能的要求，要求的事件A={ω1，ωn-1 }。我們這樣選取的樣本空間Ω是符合古典概型要求（元素有限且等可能） 最小的樣本空間了，顯然解法二比解法一簡便很多。

2 利用分球入盒模型解題

分球如何問題是古典概型中經常遇見的一類題目，它們形式多樣，但這類問題可用以下幾個公式總結。

2.1 球是可辨別的

例1 設有m個可辨的球，每一個球都等可能地被分配到M（m≤M）個不同的盒子中去，求下列事件的概率：

（1）某指定的m個盒子中各有一球；

解：每一個球有M個盒子可供選擇，所以m個球放入M個盒子的放法共有Mm種，且它們都是等可能的。

M個可辨的球放入M個盒子中的分布，是一種理想化的概率模型，可用以描述許多很多直觀背景不同的隨機試驗。如生日問題，性別問題，旅客下站問題，分房問題，意外事件問題。

2.2 球是不可分辨的

這種情形還可以解決其它不同背景的古典問題，例如隨機取數問題，英文字母排列問題。

3 利用對立事件方法解題

古典概型中樣本空間每一基本事件的等可能性，使古典概型問題具有對稱性，也就是考慮對立事件，利用對稱思想是解決古典概型的一種常用的思想，如果解決一個問題很困難，可以考慮它的對立事件，則可使問題簡單化。

例1 打橋牌時把一副撲克牌分發給4人，問指定某人沒有同時得到黑桃A、黑桃K的概率為多少？

4 運用化歸的思想解題

化歸方法是解決古典概型的另一基本方法，它的基本思想是：當原問題難以解決時，將原問題化為一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。最常見的就是具體問題一般化。具體問題一般化就是說把特殊問題當作一般問題處理，通過一般問題的解決然后再將問題特殊化就解決了。

例 甲、乙兩人各有本錢50元，20元，他們以擲一枚硬幣決定勝負，規定每擲一次，若正面朝上則甲付給乙1元，反之，則乙付給甲1元。如此繼續下去，直至一人輸光。求下列事件的概率a）甲輸光b）已輸光c）永不輸光

評：由上例可以可看出，對于一些求總量的古典概型，如果問題的條件描述了它的逐步變化規則，那么用特殊到一般的方法，通過建立遞推關系求解往往是很有效的。

5 利用全概率，條件概率公式解題

例 1 設某類產品是由1，2，3三個加工廠生產的，它們的市場占有率分別為0.5，0.25，0.25，其產品的次品率分別為0.02，0.02，0.04。今從市場任購一件這類產品，試問買到次品的概率是多少？

例2 某保險公司的統計表明，新保險的汽車司機中可化分為兩類：第一類人易出事故，其在1年內出事故的概率為0.4，第二類的人比較謹慎，其在1年內出事故的概率為0.2.假定第一類占新保險司機的30%。那么一個新保險客戶在買保險后1年內出事故的概率為多少？

解：設事件A=“客戶在一年內出事故”，直接求A的概率不容易，要設法找到與A有關的分割，設B=“第一類投保司機”C=“第二類投保司機”，且{B、C}構成Ω的一個分割，并且知道p（B）=0.3，p（A/B）=0.4，p（C）=0.7，p（A/C）=0.2，利用全概率公式可得p（A）=p（B）p（A/B）+p（C）p（A/C）=0.26，這表明，100位新客戶在1年內大約有26人出事故。

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