數學解決問題方法的培養途徑研究

劉艷青

新課程改革背景下，小學數學教學在許多方面發生了重大變化，解決問題教學便是其中之一。實驗教材不再專門設置應用題教學單元，而代之以“解決問題”或“用數學”的稱呼，并把它滲透在四個學習領域之中。以前，在舊版本的教材中，有的數學題目有固定的解題思路與公式，做題時，有的學生常常會根據一種題型的解題思路去聯想，思考并解決另外的題型，還有一種學生是能看清題型，用此類題型特有的套路去列式解答，這類學生對題目不能很好地分析理解，只有盲目、機械地照套公式。新課程在編排時更多的是考慮學生的原有知識水平，從學生已有的生活經驗出發，提倡用多種方法解題，更多地放手讓學生自己去解決問題，形成一套個體特有的解題方法，不再強調方法的簡略，而是注重方法的形成過程，自己解決問題的能力。這些現象的存在，嚴重影響了部分學生數學學習的自信。隨著解決問題教學的不斷深入，學生中出現了更為嚴重的兩極分化現象，在一部分學生感受到學習的成功與快樂的同時，越來越多的學生卻在品味學習失敗與痛苦。

“解決問題”是這一輪數學課程改革中變化較大的內容之一，給我們一線教師的教學實踐也帶來了比較大的挑戰。《數學課程標準》對解決問題目標的闡述大致包含四方面要求：具有數學化能力與應用意識；掌握解決數學問題的基本策略與發展創新意識；學會合作與交流；形成評價與反思意識。“解決問題”不是一種知識形態。對教師而言，它是教學目標、教學方式與教學過程；而對學生而言，它是一種綜合的數學能力，也是解決數學問題的過程。解決問題的關鍵在于解決問題的方法，最終要通過一些途徑培養學生掌握并靈活運用這些方法，這就要求我們要清楚地把握解決問題的方法、構建解決問題的課堂教學模型、拓展延伸解決問題方法的具體操作意義。

一、解決問題方法的培養途徑一——借助各種資源，歸納解決問題的方法

1. 借助文獻，歸納解決問題的方法。任何研究都是建立在已有成果基礎之上的，我們通過借鑒前人的研究成果以及查閱文獻資料，了解到小學數學解決問題的方法有40種。從解決問題方法層面上來講，把它分為算法和啟發式兩大類。

算法是指解決問題的一套規則。它精確地指明解決問題的步驟。就小學數學解決問題學習的一般步驟而言，它主要包括以下幾步：（1）弄清題意，并找出已知條件和所求問題；（2）分析問題里數量間的關系，確定先算什么，再算什么……最后算什么；（3）確定每一步該怎樣算，列出算式，算出得數；（4）進行檢驗，寫出答案。通過算法的使用，就將策略性知識的學習轉化為程序性知識的學習，可以使得思維難度較大的問題解決的學習變成思維難度相對較低的規則的學習，利于學生迅速、正確地解決問題。

啟發式是一種憑借經驗解決問題的方法。它也可以稱為解決問題的經驗規則。如，畫圖、分類、倒推、轉化等都是小學數學中解決問題的啟發式。算法和啟發式是兩類不同性質的解決問題的策略，兩者有明顯不同的使用范圍。算法側重于一般的解題步驟；啟發式側重于特殊的、某一類型的解題方法。雖然算法能夠保證問題一定得到解決，但它不能取代啟發式。因為不是所有的問題都有算法，有些問題是沒有或尚未發現算法的；有些問題雖有算法，但還是應用啟發式能夠迅速解決問題；還有些問題過于繁雜，實際上是無法應用算法的。

2. 借助新舊教材的對比，歸納解決問題的方法。新課程下的實驗教材都不再單獨設立“應用題”單元，而是將“解決問題”融入到“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四大領域的學習中，教材的這一變化給我們的教學實踐帶來了新的困難，新的任務，新的挑戰。

（1）教學目標多元化，決定解決問題方法的多樣化。通過研究，我們了解到，與傳統教材中的應用題教學相比較，新教材中“解決問題”的價值取向發生了明顯的變化。從教學目標來看， 原來的“應用題”教學注重“使學生獲得常見的一些數量關系和解答應用題的方法”，側重于解題技能和方法的指導。但是，新課程下的“解決問題”更關注學生數學應用意識的培養，注重數學思考，關注“解決問題”策略的形成，關注學生問題意識的培養，還關注學生“體驗解決問題的過程”，關注學生“合作交流能力”“評價與反思的意識”的培養。這樣的目標就對教師提出了更高的要求，我們在教學時要好好的研究教材，把握好教學目標，全面提高學生的數學素養。

（2）呈現方式多樣化，決定解決問題方法的多樣化。傳統教材中的“應用題”都是提供一些直接運用數量關系，讓學生套用計算公式解答，而不是為了解決實際問題，離學生的生活較遠，純粹是為了做題而做題，不能貼近學生的生活。并且題目的形式是以純文字形式呈現，形式比較單一，對于學生沒有太大的吸引力。尤其是低年級的孩子，純文字的應用題對于他們來說更是覺得枯燥乏味，導致其缺乏興趣和解題思路。

新課標教材，從學生已有的知識經驗出發，從學生的現實出發，設計了很多趣味性的、富有意義的、具有一定數學價值的具備一定探索性的問題。教材中信息與問題都是在學生一個個熟悉的情境中提出來的，這樣就大大調動了學生探索的欲望。信息的呈現方式也由原來單一、簡單的方式演變為現在圖片、文字單獨呈現或兩者相結合的方式，同時也有一部分信息運用對話、表格、圖形、漫畫等更加生動的方式呈現出來，信息呈現的多樣化使得學生更有動力去探索和研究問題；另外題目中提供的信息有對解題有用的，也有對解題無用或缺乏的信息，這種信息的復合型鍛煉了學生提取有用信息、排除無用信息、挖掘潛在信息的能力。

3. 借助學生資源的積累，歸納解決問題的方法。我們對學生解決問題方法的有關方面進行了問卷調查。該問卷主要針對六年級的同學，從學生對解決問題的興趣和積極性、解題習慣、解題方法和課后反思幾個方面進行問卷調查。調查結果如下：

資料來源：作者根據解決問題調查問卷整理而來

從調查報告中我們可以看到，學生對解決問題的興趣和學習積極性還是比較高的，主要是因為學生認為通過解決問題的學習可以提高他們解決實際問題的能力，并且解決問題可以開動他們的大腦去深入思考問題，同時也有學生認為喜歡解決問題的主要原因是因為授課老師的講課方式比較幽默，比較吸引人；從學生的解題習慣統計分析，發現學生的解題習慣水平參差不齊，有的學生讀題、解題比較認真，有自己的方法，所以效率比較高，但是有的同學不能認真高效的讀題，獲取解題的有用信息導致花費了時間也不行能正確解答題目；從解題方法的統計分析來看，學生掌握了解決問題的基本方法，對老師在課堂教授的內容的掌握能發到一定程度，但是也由此看出學生解題時思路的狹隘和方法的單一，不能自主有效地探索新的解題方法；從課后反思的統計來看，學生錯題的主要原因是粗心或不能完整地讀題，并且老師在課堂上講解問題解決的方式比較單調。

二、解決問題方法的培養途徑二——依托課堂教學，構建解決問題模型

課堂是師生交流的一個重要場所，教學的功能是幫助學生習得解決問題一些常用的基本方法，并引導他們靈活應用這些方法，適應問題的千變萬化，形成自己的解題策略。

1. 創設情境，生成問題。新課程所要求“解決問題”教學要讓學生能從現實生活中發現并提出簡單的數學問題。讓學生從現實生活中發現問題、提出問題、解決問題，是提高學生解決問題能力的重要途徑。在課堂中，教師可以通過創設與研究問題相關的情境來激發學生的學習興趣，我們創設的情境要盡量生活化，并符合學生的認知特點和知識經驗，這更有利于煥發學生的主體意識，挖掘學生自主學習探索的潛力。

比如，在教學人教版五年級上冊數學第65頁《稍復雜的方程》時，我是這樣設計的：同學們喜歡踢足球嗎？喜歡踢足球的請舉手，對這個足球的構成有所了解的請舉手（交流討論）。小小足球的完美構成引起了數學家、建筑學家、美學家極大的興趣，都從中發現了自己研究的價值。今天我們就以一位數學家的眼光來發現這個足球在構成中隱藏著的數學秘密，好不好？請同學們觀察這個足球，然后看題，尋找你所需要的信息。通過這樣的情境，很好的調動了學生學習的積極性，勾起了他們主動探索新知的欲望。

2. 構建問題解決的模型。

（1）明確已知條件和問題。指導學生帶著問題去讀，在讀的過程當中明確題目中的條件和問題，初步了解題意。在讀題時可以讓學生有意識地重讀需要注意的地方和關鍵詞語，這樣更有助于學生理解題義，并要求學生在讀的時候盡量做到不添字、不漏字，讀懂題目的意思，讓學生養成在解決問題以前認真閱讀題目要求的良好習慣。如果是情境圖式的問題或者是圖文并茂的問題，指導學生能從情境圖中發現有用的數學信息，從而為解決問題打好基礎。

（2）找出關鍵詞。在初讀的基礎上，指導學生再次讀題，對題目的了解更深一層，找出題目中的關鍵詞語，準確理解其表達的意義。只有學生在讀題中養成認真推敲、咬文嚼字的習慣，才能真正理解題意。為了讓學生能把認真讀題、仔細推敲的過程表現出來，強化學生認真審題的意識，可以要求學生一邊讀題，一邊重要的字詞圈起來，提醒自己注意。比如，在學生解決分數問題的時候，指導學生找到“是”、“占”、“比”這些關鍵的字眼，找出“1”，幫助解決問題；在解決圓柱圓錐體積的時候，指導學生圈出圓柱還是圓錐，提醒并明確體積公式，提高做題的正確率。

（3）分析數量關系。解決問題的核心就是分析數量關系，突出數量關系分析，找到解題思路與方法，是解決問題教學的重點。數量關系是問題求解的決定性因素，解決問題教學要體現學生“逐步掌握并靈活運用數量關系”的過程，讓學生經歷以熟悉基本的數量關系，到對比較復雜的數量關系進行分析綜合、抽象概括、判斷推理的過程。比如，在進行“速度×時間=路程”、“單產量×數量=總產量”、“單價×數量=總價”、“工效×工時=工作總量”這四個常見數量關系的教學時，通過前兩次的讀題，就引導學生明確問題，選擇合適的數量關系式解決問題；不如在解決分數問題時，引導學生找出“1”，確定“1”已知還是未知，明確是“1”的一部分還是比“1”多或比“1”少，從而確定運算的方法。

（4）確定解決問題的方法。這是解決問題的一個中心環節，在前面對分析感知、分析的基礎上，已經使問題與數量關系明朗化，我們要調動學生的學習經驗和生活經驗，采用學生獨立思考、動手實踐與合作交流等方式，根據問題的類型、特征，讓學生主動探索選用適當的解決問題的方法，并將實際問題數字化或符號化，建立解決問題的數學模型，并根據模型的特征，采用適當的數學思想、方法和數學知識，對數學模型進行求解，從而解決問題。在教學過程中，讓學生已掌握的知識技能能對解決新問題產生積極的影響，并體現學生學習的自主性。一般情況下學生都能獨立完成，有困難的學生也可以通過小組合作完成這個過程。

（5）調整解決問題的方法。在解決問題的過程中，學生會根據自己的知識體系的特點和生活經驗的積累對問題產生不同的理解，從而形成不同的解題策略。在這一過程中，學生極容易受知識體系或生活經驗中定向思維的影響而對問題的理解產生偏差。當學生的解題方法偏離時，教師可以引導學生正確地再次理解問題，通過引導學生關注題目的關鍵詞、關鍵語句來理清文中的數量關系；通過提問“你再看看問題”，“有沒有新的思考？”“你又想到了什么新方法？”讓他在闡述中檢索自己的思維過程，重新調整思考方向，進而把握正確的解題策略。同時在這一過程中，通過及時的調整學生的問題解決方法，也可以激發學生開創性思維，拓寬學生的思路，提高學生綜合運用數學知識的能力。

（6）反思、推廣解決問題的方法。當學生能夠正確解答問題后，事后的反思和回憶是至關重要的，這一過程是學生自我總結、自我提升的重要步驟。教師應該鼓勵引導學生個體進行反思，反思自己在解題中的邏輯順序和思考方式，來審視自己在解題過程中的表現，發現優缺點，從而不斷完善自己的問題解決方法。當學生個體反思完成后，教師引導他們借助動作、圖畫、符號、文字等形式把解決問題的結果呈現出來，引導學生間的交流與評價，鼓勵學生口頭描述自己的解題方法，鼓勵其他學生提出意見、予以評價；這一過程中，教師引導學生不斷探討、互相學習借鑒，鞏固自己的解題模式，學習其他同學更好的解題方法。在反思的最后階段，教師應指導學生動手將反思交流結果進行總結，加強記憶，并舉一反三，推廣到解決其他類似的問題。

三、解決問題方法的培養途徑三——借助教師指導，掌握解決問題的方法

我們根據小學生的認知規律及小學數學解決問題的特點歸納出適合小學生解決問題的多種方法。選取了其中的6種方法——列表法、圖解法、對應法、逆推法、假設法、轉化法、比較法對學生進行了培養，主要針對學生解決問題的方法進行了研究與應用，加強了數學解題方法的指導，優化學生的思維品質，提高解題能力。通過研究我們發現，這些方法的應用切實提高了學生的解題能力。

（1）指導掌握“圖解法”。圖形是數學研究的對象，也是數學思維和表達的工具。在解決問題時，如果用圖形把題意表達出來，題中的數量關系就會具體而形象。圖形可起到啟發思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時，作出了圖形，答案便在圖形中。畫圖常用的方法有示意圖、線段圖、思路圖、條形圖等類型，只要學生能用自己的方式表示題目的意思，幫助他們理解題意就是好的方法。

如：

這是一道學生的作業題。通過畫線段圖分析實際問題，畫出了“1”球類比賽的人數，田徑比賽的人數和“1”的關系，明確已知條件和問題，化難為易，準確找出數量見的對應關系，使題中的數量關系一目了然，把抽象的語言具體、形象、直觀地展示出來，從而輕松地解決問題。

（2）指導掌握“假設法”。當解決的問題用一般方法很難解答時，可假設題中的情節發生了變化，假設題中兩個或幾個數量相等，假設題中某個數量增加了或減少了，然后在假設的基礎上推理，調整由于假設而引起變化的數量的大小，題中隱蔽的數量關系就可能變得明顯，從而找到解題方法。這種解題方法就叫做假設法。小學數學六年級上冊（人教版）的雞兔同籠問題是我國古代《孫子算經》中的一道數學問題，它富趣味、解法多樣、應用廣泛。教材提供三種解題方法：列表嘗試法、方程法和假設法。其中假設法為算術方法，算術是小學數學學習的主要內容，也是運用于解決問題的主要方法，計算簡便，但理解算理有一定難度。通過對問題對象要素的分析，通過列表法引導學生找出問題對象數量間關系的規律后，問題就簡單化了。再引導學生用假設法解決問題。這里是假設情結變化，如果我們假設雞為0只，全部是兔，那么得出的雞與實際差距的數量就是雞的數量，也可以假設都是兔來解決。

（3）指導掌握“對應法”。找出題中“對應”的數量關系，是解答應用題的基本方法之一。用對應的觀點，發現應用題數量之間的對應關系，通過對應數量求未知數的解題方法，稱為對應法。解應用題時要找出題中數量間的對應關系。如解平均數應用題需找出“總數量”所對應的“總份數”；解倍數應用題需找出具體數量和倍數的對應關系；解分數應用題需找出數量與分率的對應關系。比如，在解行程問題的時候，在距離、速度、時間三個量中，已知其中兩個量而求另一個量。 它可以分為一般行程問題、相向運動問題、同向運動問題（即追及問題）三類。在解行程問題的時候，要找準速度、時間和距離之間的對應關系，然后再按照公式“速度×時間=距離”、“速度和×相遇所需對間=原來相隔距離”、“速度差×追及所需時間=追及距離”來計算，或者根據題目中提供的已知條件和問題的不同，也可以把這幾個公式進行變式，從而解決問題。

（4）指導掌握其它方法——“轉換法”、“逆推法”、“比較法”。在教學的過程中，根據題目的不同、情境的不一樣，我們還指導學生掌握了“轉化法”、俗話說：解題有法而無定法。這正說明了數學問題的紛繁復雜，解題技法的靈活多變。一個數學問題擺在面前，其思維的觸須是多端的，本課題中研究的幾種解題策略只是平時常用的導引途徑，為了能夠更有效地提高解題能力，還要我們學生在解題實踐中注意不斷思索探求、逐步積累解題經驗，以掌握更多、更具體的解題方法和思維策略。

四、解決問題方法的培養途徑四——借助跟進作業，延伸解決問題方法

練習是數學教學中的重要環節，是學生掌握數學知識、鞏固解題方法、形成數學能力、培養數學情感的重要手段，對學生認知結構的形成和發展起著重要的作用。所以，有效的練習是必不可少的。根據學生解決問題方法的掌握情況，遵循學生的學習規律，本著由易到難、由簡到繁、由單一到綜合的原則，利用以下形式的練習，引領學生將所學的解決問題的方法內化為自己解決問題的策略，提高解決問題的能力。

1. 模仿練習。與例題類型、難度、解題方法基本相同的題目。通過練習，鞏固學生所掌握的解決問題的方法。比如通過課堂教學學生了解并掌握了“圖解法”以后，設計了一些可以借助“圖解法”分析題意，解決問題的練習，讓學生通過練習，能夠熟練的通過畫圖找出題目中存在的數量關系，從而解決問題。

2. 變式練習。在例題類型的基礎上，稍加變動，有利于學生掌握解題方法的關鍵特征，加深對解題方法的理解與認識。比如在研究完工程問題的數量關系以后，可以設計了一系列工程問題的練習題，讓學生在掌握了基本的工作效率×工作時間=工作總量的數量關系基礎上，解決稍微復雜一些的有變動的練習題。

3. 拓展練習。這部分練習是讓學生綜合和靈活運用所學的數學知識與方法解決問題的練習，有利于提高學生綜合的分析問題、解決問題的能力。比如：在六年級下冊數學中有這樣一道題目：甲、乙兩種糖果共有70袋，乙種糖果的袋數是甲種糖果的2/5。甲、乙兩種糖果各有多少袋？這類題目的練習讓學生多方面的分析問題，找到多種解決問題的方法。第一種：根據分數應用題解決，以甲種糖果為“1”，乙種糖果占單位1的2/5，列出算式70÷（1+2/5）算出未知“1”乙袋，再根據甲乙兩種糖果的關系，算出甲袋；第二種，按比例分配解決。題目中已知乙種糖果的袋鼠是甲種糖果的2/5，可以得出甲乙兩種糖果的比是5：2，再把70按照5：2分配，反別算出甲和乙兩種糖果各自的重量；第三種方法，找出數量關系，列方程。可以設單位1甲種糖果為x袋，那么乙種糖果就是2/5X袋，列出X+2/5X=70，解方程，算出甲、乙兩種糖果各有多少袋。這些是學生在綜合掌握了解決的方法與策略，熟練地運用所學的知識，所想到的解決方法。

總之，小學生解決問題能力的培養是一個長期而又復雜的過程，正如《數學課程標準》中指出的，解決問題的教學一直是小學數學教學的重點與難點，也是教學的出發點與歸宿，需要我們在教育教學實踐中，承認與尊重孩子們的差異，采取有效的策略，培養學生的“問題意識”，培養他們用數學的眼光觀察生活，探索解決問題思路與方法的積極性，把我們的孩子培養成善于“發現問題、提出問題、解決問題”的人。