探討幾種常見的三角函數最值問題

張桂祥

近些年來，有關三角函數的最值問題逐漸成為各等級高中數學考試的重點。通過對三角函數最值一類問題的教學，可以幫助學生強化數學知識與數學思想之間的聯系，同時有利于培養學生的數學思維。下面，我們來探討幾種常見的三角函數最值問題。

一、 三角函數最值常見類型

（1）一次型三角函數。一次型三角函數是指那些三角函數的冪次數等于一的函數類型，例如：y=asin（bx）、y=asinbx+c cosdx、y=asinx cosx等。對此，此類函數的求法較為多樣，也較為簡單，可以總結為“遇不同，化相同”。

（2）二次型三角函數。二次型三角函數即是三角函數的冪指數出現大于一的情形，如：y=asin2x+bcos2x+csinxcosx、y=asin2x+bcosx等。此類三角函數最值的求解，常常利用三角函數的性質來求解。

（3）分數型三角函數。分數型三角函數問題常常會給學生們的函數最值帶來困難，尤其是對分母的存在性定義是很多學生容易遺忘的地方。例如y=■、y=■等。對于分式型三角函數，我們常常是將分數型轉換成一次性，或是采用換元等方法，實現對分數型的轉換和化簡。

二、 三角函數最值問題求解策略

（1）三角函數有界性求解。三角函數的最值問題歸根到底都是函數的有界性問題，在定義域不做限制的情況下，利用三角函數自身的有界性是解決基礎性函數最值問題的有效手段。

【例題】（2009年福建高考）已知函數f（x）=sin（？棕x+？漬），其中？棕>0，|？漬|≤■。①若cos■cos？漬-sin■sin？漬=0，求？漬的值。②在①的條件下，若函數f（x）的圖像的兩相鄰的對稱軸之間的距離等于■，求函數的解析式。

【分析】對于本題的第一問，我們可以利用三角函數的有界性直接快速得到答案。由sin■=sin■，可得到cos■cos？漬-sin■sin？漬=0，即cos（■+？漬）=0。此時，結合本題的限制條件|？漬|≤■，于是可以得到？漬值為■。對于本題第二問，我們只要將？漬值帶入后，利用三角函數的周期性，結合函數圖像性質，我們即可求得具體的函數表達式。對于三角函數最基礎的有界性、單調性、周期性等原則的掌握，是學生們解決函數最值問題的核心，只有學生們的函數基礎扎實了，函數最值與其他數學知識的綜合問題學生們才能求解的得心應手。

（2）參數替換法求解。在高中數學函數教學中，學生們常常會產生畏懼情緒，面對一長串的三角函數表達式，他們常常會不知所措。對此，教師可以采用參數替換的方法，將原本的表達式進行簡化和合并，從而更加容易的發現其中的最值求解之道。提到參數替換（換元）的方法，我們不得不再次提醒關于參數的取值范圍問題，只有定義域判斷正確，才能求出正確的值域和最值。

【例題】求解函數y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。

【分析】對于本題，學生們最先想到的肯定是利用和差化積公式來求解。最終可以得到y=[sin（x+■）+■]2-1，當sin（x+■）=1時原三角函數可以取得最大值。但是，我們不妨嘗試令t=sinx+cosx，于是原函數可以等價成y=t+■（t∈[-■，■]），于是，只要利用二次函數的知識便可以快速得到該函數的值域。值得注意的就是函數變換中的中間量t，其范圍確定的正確性是影響本題解答的關鍵。

（3）三角函數數形結合法。三角函數起源于三角形的邊長關系中，對于正弦、余弦等三角函數最值問題的求解，采用單位圓的數形結合求法也是值得考慮的。在求解一些分數型的三角函數最值問題時，利用函數圖像以及函數性質來求解往往才是出題者想要考察的重點。

【例題】求y=■（0

【分析】首先，我們不妨將三角函數的形式改寫成y=■。于是，該函數可以看成是兩點A（2，0）和點（cosx，sinx）的直線的斜率。結合定義域可知，該動點的運動范圍是圓曲線的上半軸，所以，欲求該函數的最小值，即是求該曲線在圓周上半圓運動時的直線斜率的最小值。此后的工作就是利用直線與圓周相切的關系，求出該切線的斜率即是原函數的最小值。從本題的求解中，我們不難看出三角函數最值問題與幾何圖形之間的聯系，也必須堅持三角函數多樣化解題的教學，實現教學的系統性。

總之，作為高中數學教師，我們必須注重數學教學的系統系和綜合性，注重培養學生的數學思維，使學生們在面對函數最值問題時必然會更加得心應手。

（江蘇省射陽縣高級中學）