解三角形中的范圍問題

喬曉林

摘要：在近幾年的高考中，解三角形經常考查范圍問題。 為了使學生能夠更好地解決此類問題，本文在正余弦定理、面積公式及三角函數相關知識的基礎上，結合具體的例題，歸納了解決此類問題常用的兩種方法。

關鍵詞：解三角形；范圍；減少變量；三角函數；不等式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0130

一、減少變量，轉化為求函數的值域問題

1. 在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c

設向量■=（c-a，b-a），■=（a+b，c）若■∥ ■，

①求角B的大小；②求sinA+sinC的取值范圍。

分析：由向量共線可得兩邊平方和減第三邊的平方，可知要用到余弦定理；第二問中A和C有關，一個用另一個表示，減少變量進而求范圍。

解析：①∵■∥■， ∴c（c-a）-（b-a）（a+b），

∴c2-ac=b2-a2，∴■=1由余弦定理，得cosB=■，B=■。

②∵A+B+C=π， ∴ A+C=■，

∴sinA+sinC=sinA+sin（■-A）=sinA+sin■cosA-cos■sinA=■sinA+■cosA=■sin（A+■）

∵0

∴■

注意本題考查：①向量共線的坐標表示；②余弦定理、兩角差的正弦公式、輔助角公式；③第二問中通過減少變量，轉化為關于角A的三角函數求范圍。

變式1：在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a（cosB+cosC）=b+c

①證明：A=■； ②若△ABC外接圓的半徑為1，求△ABC周長的取值范圍。

分析：已知邊和角的表達式可以化簡為：邊化角或角化邊；第二問涉及外接圓的半徑考慮正弦定理，表示出周長后減少變量求范圍。

解析：①∵a（cosB+cosC）=b+c

由余弦定理得：a（■+■）=b+c

整理得：（b+c）（a2-b2-c2）=0又b+c>0

∴a2=b2+c2 即A=■

②由△ABC外接圓的半徑為1，A=■可得a=2

∴b+c=2（sinB+cosB）=2■sin（B+■）

∵0

∴2

∴△ABC的周長的取值范圍是（4，+2■]

注意本題考查：①正余弦定理、輔助角公式；②第二問中通過減少變量，轉化為關于角B的三角函數求范圍。

變式2：在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a2=b2+c2+■bc

①求角A的大小；②設a=■，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時的值。

分析：涉及兩邊平方和減第三邊的平方，考慮余弦定理；第二問從要求的出發，考慮用面積公式及兩角和差公式化簡。

解析：①∵a2+b2+c2+■bc

由余弦定理得cosA=■=■=■

又0

② 由①得sinA=■，結合正弦定理得

S=■bcsinA=■■asinC=3sinBsinC

∴S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C）

所以當B=C 即B=■=■時，S+3cosBcosC的最大值為3。

注意本題考查：①正余弦定理，面積公式；②通過減少變量，利用兩角差的余弦公式求最值。

2. 在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

已知cosC+（cosA-■sinA）cosB=0

①求角B的大小；②若a+c=1，求b的取值范圍。

分析：已知三個角的關系，求角，考慮A+B+C=π；第二問中已知三邊及一角考慮余弦定理。

解析：①由題意可知-cos（A+B）+cosAcosB-■sinAcosB=0

化簡得sinAcosB=■sinAcosB=0

∵sinA≠0∴sinB-■cosB=0

又∵cosB≠0∴tanB=■

∵0

②由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

∵a+c=1 cosB=■

b2=3（a-■）2+■（0

∴■≤b2<1 即∴■≤b<1

注意本題考查：①兩角和的余弦公式，余弦定理；②第二問中將b2轉化為a關于的二次函數，易錯點是0

變式：在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，（2a+c）cosB+bcosC=0

①求角B的值；②若a+c=4，求△ABC面積S的最大值。

分析：已知邊和角的表達式化簡方法為：角化邊或邊化角；第二問中減少變量轉化為二次函數的最值問題。

解析：①由正弦定理得，（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，

即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0

得2sinAcosB+sin（B+C）=0，因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0因為，sinA≠0所以cosB=-■，又B為三角形的內角，所以B=■

②S=■acsinB，由B=■及a+c=4

得S=■a（4-a）sin■=■（4a-a2）=■[4-（a-2）2]，

又0

注意本題考查：①正弦定理，兩角和的正弦公式及面積公式；②通過減少變量，轉化為給定區間上二次函數求最值。

二、利用不等式求最值

1. 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知a=bcosC+csinB

①求角B的大小；②若b=2，求△ABC面積S的最大值。

分析：已知邊和角的表達式化簡方法：角化邊或邊化角；第二問中可利用均值不等式求面積的最值。

解析：①∵a=bcosC+csinB

由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB

∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB即cosBsinC=sinCsinB

∵sinC≠0∴tanB=1即B=■

②由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos■即a2+c2-■ac=4

∵a2+c2≥2ac

∴（2-■）ac≤4即∴ac≤4+2■，當且僅當a=c時等號成立。

又S=■acsin■≤■（4+2■）=■+1

∴△ABC面積的最大值為■+1

注意本題考查：①正余弦定理，兩角和的正弦公式，三角形的面積公式；②利用均值不等式求最值。

變式1：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin■+sin■=■

①試判斷△ABC的形狀；②若△ABC的周長為16，求面積的最大值。

分析：通過減少變量化簡已知條件，第二問中已知和求積的最值，考慮不等式。

解析：①∵sin■+sin■=cos■+sin■=■sin（■+■）

∴■+■=■即C=■，所以此三角形為直角三角形。

②∵16=a+b+■≥2■+■，

∴ab≤64（2-■）2當且僅當a=b時取等號，

此時面積的最大值為32（6-4■）。

注意本題考查：輔助角公式，利用不等式求最值。

變式2：設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a、b、c且acosC+■c=b

①求角A的大小；②若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍。

分析：化簡邊和角的表達式方法：角化邊或者邊化角；第二問中可利用不等式或減少變量的方法求解。

解析：①由acosC+■c=b得sinAcosC+■sinC=sinB

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC

∴■sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=■，

∵0

②法1：周長l=a+b+c=1+b+c

由①及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA∴b2+c2=bc+1

∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（■）2 b+c≤2

又b+c>a=1∴l=a+b+c>2

即△ABC的周長的取值范圍為（2，3]

法2：由△ABC正弦定理得：b=■=■sinB，c=■sinC

l=a+b+c=1+■（sinB+sinC）=1+■（sinB+sin（A+B））

=1+2（■sinB+■cosB）=1+2sin（B+■）

∵A=■，∴B∈（0，■），∴B+■∈（■，■）

∴sin（B+■）∈（■，1]

故△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]。

注意本題考查：①正余弦定理，兩角和的正弦公式，輔助角公式；②通過不等式，減少變量的方法求范圍。

2. 已知設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2+c2=2b2

①若B=■，且A為鈍角，求內角A與C的大小；②求sinB的最大值。

分析：化簡邊和角的表達式方法：角化邊或者邊化角；第二問中可由余弦定理求得b的表達式，利用不等式求cosB的范圍，進而求得sinB的最大值。

解析：①由題設及正弦定理，有sin2A+sin2C=2sin2B=1。故sin2C=cos2A

因為A為鈍角，所以sinC=-cosA

由cosA=cos（π-■-C），可得sinC=sin（■-C），得C=■，A=■。

②由余弦定理及條件b2=■（a2+c2），有cosB=■，

因為a2+c2≥2ac，所以cosB≥■。故sinB≤■，

當a=c時，等號成立。從而sinB的最大值為■。

注意本題考查：正余弦定理及利用不等式求最值。

（作者單位：內蒙古包頭市一機一中 014000）