復數在中學數學解題中的應用舉例

林炎生

摘要：復數的應用非常廣泛，在開展數學課外活動中，教師有機地結合教材，適當地講授復數在各類問題中的應用是很有必要的。它不僅有利于溝通中學各部分知識間的聯系、開拓解題思路、激發學生的學習興趣和學習積極性，而且能使問題化繁為簡、轉難為易。本文舉例說明了復數在中學數學解題中的應用，以期能給學生帶來幫助。

關鍵詞：復數；中學數學；解題；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0153

一、復數與幾何

復數的各種運算均有特定的幾何意義，如果利用復數的性質去解某些“平幾”、“解幾”題，能使我們兼得直角坐標系及極坐標的 系方便：

1. 復數用向量表示，則復數加法、減法，可按照向量加法、減法的平行四邊形法則進行，表示線段Z1Z2中點的復數為■，Z1，Z2兩點間的距離d=Z2-Z1。

2. 復數的三角式的Z（cosθ+isinθ）表示把Z所對應的向量OZ按逆時針旋轉θ角，其模不變的向量。

3. 如果■=λ（實數），則■ ∥■。

例1. 已知：E為正方形ABCD內一點，∠ECB=∠EBC=15°

求證：△DEA為正三角形。

證明：如圖建立復平面，設正方形邊長為1，則A對應1，B對應1+i，C對應i，D對應0，設E對應復數Z，∵∠ECB=∠EBC=15°∴∠CEB=150°，且EB=EC

∴■=■（cos150°+isin150°）

即：i-Z[（1+i）-Z]（cos150°+isin150°）

=（1+i-Z）（-■+■i）

∴（2+■+i）Z=1+（■+■） i

∴Z=■=■+■i

∵Z= ■+■i=1且■+■i=cos60°+isin60°

∴Z的幅角為60°

∴△DEA為正三角形

例2. 求證：平行四邊形的對角線的平方和等于兩鄰邊的平方和的兩倍。

如圖：Z1=a+bi，Z2=c+di，Z=Z1+Z2=（a+c）+（b+d）i，則OZ1ZZ2為平行四邊形。

求證：Z2+Z2-Z12=2[Z12+Z22]

證明：∵Z2=[■]=（a+c）2+（b+d）2

Z2-Z12=[■]=（a-c）2+（b-d）2

∴Z2+Z2-Z12=2（a2+b2+c2+d2）

又Z12=（■）2=a2+b2

Z2=（■）2=c2+d2

2（Z12+Z2）2=2（a2+b2+c2+d2）

∴Z22+Z2-Z12=2[Z12+Z22]

從以上的例子看，用復數證明幾何問題的步驟是：

（1）選擇適當的坐標系。

（2）根據已知條件，假定某些點或者有向線段所表示的復數。

（3）根據假設推出與結論有關的點或者有向線段所表示的復數。

（4）根據基本公式、復數及其運算的幾何意義或者其他已知的定理、公式等作出結論。

例3. 從定點A向定圓O作任意直線AP交圓于點P，求線段AP的中點的軌跡。

解：取定圓的圓心O為坐標原點，點A和點O的連線為橫軸，設點A、P分別表示復數λa（cosπ+isinπ）r（cosθ+isinθ），其中θ可以任意改變，而a和r是實常數。那么，如果AP的中點表示θ復數Z

Z=■[2a（cosπ+isinπ）+r（cosθ+isinθ）]

=-a+■（cosθ+isinθ）

∴ Z+a=■（cosθ+isinθ）

∴Z+a=■

很顯然，AO的中點M表示復數，M是一個定點，上式就表明動點Q與定點M的距離是一個常數■，因此點Q的軌跡是以點M為圓心，■為半徑的圓。

例4. △ABC為頂點依順時針排列的等腰直角三角形，其中A為定點，B在定圓上運動，C為直角頂點，求點C的軌跡。

解：如圖建立坐標系，設點C，B的坐標分別為（x，y），（x1，y1）

定圓O的方程為（x-a）2+y2=r2

那么向量■=x1+y1i，■=x+yi

把向量■按反時針旋轉45°再把它模擴大到■倍，便得■，于是x1+y1i=■（x1+yi）（cos45°+isin45°）=（x-y）+（x+y）i

∴x1=x-yy1=x+y 而（x1-a）2+y12=r2∴（x-y-a）2+（x+y）2=r2為所求的軌跡方程。

運用復數來解決求軌跡問題的一般步驟是：選擇適當的坐標系；根據已知條件，設已知點或者線段所對應的復數，并且把它們看成常數，如果動點表示復數Z，就把Z看成變數Z=x+yi；找出含有Z的等式，從這個等式判定軌跡的形狀。

二、復數與不等式

1. 用復數表示區域比較形象如

Z-（2+3i）≤■ ■≤arc（Z）<■ 2

2. 公式Z1≠0， Z2=0 Z1-Z2≤Z1±Z2≤Z1+Z2

幾何意義是三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊差小于第三邊。

例1. 解不等式3x-2+3x+1<6

解：設Z=3x在復平面內，∴Z-2+Z+1<6的解是以-1為焦點，長半軸為3的橢圓內的所有復數，橢圓中心的橫坐標是■=■，橢圓的長軸在實軸上，長軸兩端的橫坐標分別為 -3+■=-2■和3+■=3■∴-2■<3x<3■，則原不等式的解集為-■

例2. 如果Z1，Z2，是復數，c是正實數，證明Z1+Z22≤（1+c）Z12（1+■）Z22

證：（1）Z1=Z2=0原不等式成立

（2）Z1與Z2僅一個為0 ∵c﹥0∴原不等式成立

（3）Z1≠0，Z2≠0 ∵c﹥0

∴Z1+Z22=（Z1+Z2）2=Z12+2Z1Z2+Z22≤Z12+Z1Z2+Z22+Z1Z2=Z121+■+Z221+■≤（1+■）Z12+（1+■）Z22令c=■則原不等式成立

例3. 已知在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，

求證：AC·BD≤AB·CD+AD·BC

證明：設在復平面中四邊形ABCD的四個頂點所表示的復數為A（Z3），B（0），C（Z1），D（Z2）

則BD=Z2 CD=Z1-Z2 CA=Z1-Z3

BC=Z1 DA=Z2-Z3 AB=Z3

∵Z2Z1-Z3=Z1Z2-Z2Z3=（Z1Z2-Z1Z3）+（Z1Z3-Z2Z3）≤Z1Z2-Z1Z3+Z1Z2-Z2Z3=Z1Z2-Z3+Z3Z1-Z2

∴BD·CA≤AB·CD+AD·BC

三、復數與三角

1. 在證明三角公式和三角恒等式方面的應用

（1）復數表示成三角函數后，運算特別方便，反過來，復數完全可以用三角函數來解釋。如圖，θ的正弦是復數Z的虛部系數與它模的比，角θ的余弦是Z的實部與它模的比。而tgθ是Z的虛部與它實部的比，因此用復數來解決某些三角函數問題是一件非常自然的事情。

我們知道，cos2θ=■ sin2θ=■

現在利用復數把這兩個公式加以推廣，設cosθ+isinθ=ucosθ-isinθ=ν

∴2cosθ=u+ν2isinθ=u-ν （Ⅰ）

再把這兩式的兩邊分別相乘得uν=cos2θ+sin2θ=1應用棣美分式得un=cosnθ+isinnθνn=cosnθ+isinnθ∴un+νn=2cosnθ unνn=1

從（Ⅰ）式得2ncosnθ=（u+ν）n=u2+Cn1un-1ν+Cn2un-2ν+……+CnnVn

=un+νn+Cn1uν（un-2+νn-2）+Cn2u2ν2（un-4+νn-4）+……

=2cosnθ+2Cn1cos（n-2）θ+2Cn2cos（n-4）θ+……

得一個公式cosnθ=■[cosnθ+Cn1cos（n-2）θ+Cn2cos（n-4）θ+……]

由（2isinθ）n=（u+ν）n有（2isinθ）n=2cosnθ-2Cn1cos（n-2）θ+2Cn2cos（n-4）θ-……

如n=4 sin4θ=■=■+■

（2）由歐拉公式eix=cosx+isinx得

sinx=■ cosx=■

tgx=■ ctgx=■

因此，任何三角等式均可由以上四個公式轉化為代數式等證明。

例1. 求證■=ctgθ

證：左邊=■=■=■=■=右邊。

∴原式成立。

2. 在解三角方程中的應用

例2. 解方程cos4x+sin23x=1

解：設z=cosx+isinx則z-1=cosx-isinx

∴cos4x=■……（1）

sin3x=■……（2）（ 由歐拉公式得）

將（1）（2）代入原方程得■+[■]2=1

化簡并分解得（z2-1）（z8-z4+1）=0

當（z2-1）=0 z2-1 cos2x=1∴2x=2kπ∴x=kπ（k∈z）

當z8-z4+1=0 z4=■±■i cos4x=■

∴4x=2kπ±■∴x=■±■（k∈z）

故原方程解是x=kπ或x=■±■（k∈z）

3. 在反函數方面的應用

若θ是非零得數z=x+yi的一個幅角，則2kπ+θ也是它的幅角，但-■≤arcsin■≤■，顯然角arcsin■對應的復數z=x+yi的實部不能為負，即x≥0，∴x=■

（上接第154頁）

類似地，若arccos■是復數x+yi的幅角，則y=■

例3. 已知：x>■

證明：arctg■+arctg■+arctg■=■

證明：arctg■是復數x+i的幅角，arctg■是復數（x+1）+i的幅角，arctg■是復數（2x+1）+（x2+x-1）i的幅角，而（x+i）[（x+1）+i][（2x+1）+（x2+x-1）i]=[（2x+1）2+（x2+x-1）2]i

因此，積的幅角為2kπ+■（k∈z）

∵-■≤arctg■≤■ -■≤arctg■≤■

-■≤arctg■≤■

∴-■≤arctg■+arctg■+arctg■≤■，k=0、±1、±2時幅角為■，-■，■

∵x>■>0 ∴■>0∴這些角中只能有一個角■滿足題意

∴arctg■+arctg■+arctg■=■

通過以上例子說明，復數作為一種解題輔助手段，已廣泛運用在代數、三角、幾何等數學問題中，我們應加強這一概念的教學。

（作者單位：福建省平和廣兆中學 363700）