淺談立體幾何中的轉化思想

謝立君

摘要：立體幾何中所蘊含的數學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉化的思想方法，它貫穿于立體幾何教學的始終，在立體幾何中占有很重要的地位。本文列舉了五種轉化方法，旨在讓學生提高解決立體幾何問題的能力。

關鍵詞：立體幾何；轉化思想；例題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0156

立體幾何中所蘊含的數學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉化的思想方法，它貫穿于立體幾何教學的始終，在立體幾何中占有很重要的地位。立體幾何中的轉化主要是空間問題向平面問題的轉化，具體可以從以下五方面入手：

一、位置關系的轉化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關系是立體幾何中的一個重點內容，其精髓是平行與垂直位置關系的相互依存及轉化，平行與垂直問題不但能橫向轉化，而且可以縱向轉化。

例1. 已知三棱錐S-ABC中，∠ABC=90°，側棱SA⊥底面ABC，點A在棱SB和SC上的射影分別是點E、F。求證EF⊥SC。

分析：∵A、E、F三點不共線，AF⊥SC，

∴要證EF⊥SC，只要證SC⊥平面AEF，

只要證SC⊥AE（如圖1）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要證AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例2. 設矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點，以EF為棱將矩形折成二面角A-EF-C1（如圖2）。求證：平面AB1E∥平面C1DF。

分析一（縱向轉化）：

∵AE∥DF，AE 平面C1DF，

∴ AE∥平面C1DF。同理，B1E∥平面C1DF，

又AE∩B1E=E，∴平面AB1E∥平面C1DF。

分析二（橫向轉化）：

∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E=E，∴EF⊥平面C1DF。

同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。

二、降維轉化

由三維空間向二維平面轉化，是研究立體幾何問題的重要數學方法之一。降維轉化的目的是把空間的基本元素轉化到某一個平面中去，用學生們比較熟悉的平面幾何知識來解決問題。如線面垂直的判定定理的證明就是轉化為三角形全等的平面問題。

例3. （2005年高考·江西卷·理15）如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=■，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為 。（■■）

分析：這類問題通常都是將幾何體的側面展開成平面圖形來解決。

又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計算，最終都是轉化為平面上兩相交直線成的角來進行的。

例4. （2005年高考·上海卷·理17）如圖4直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線BC1與DC所成角的大小。（結果用反三角函數值表示）

解：由題意AB∥CD，

∴∠C1BA是異面直線BC1與DC所成的角，

連結AC1與AC，在Rt△ADC中，可得AC=■，

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。

在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H，

得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，∴CB=■

又在Rt△CBC1中，可得BC1=■，

在△ABC中，cos∠ABC1=■=■，

∴∠ABC1=arccos■

∴異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos■。

實現空間問題向平面問題轉化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等。

三、割補轉化

“割形”與“補形”是解決立體幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補”可化復雜圖形為已熟知的簡單幾何體，從而較快地找到解決問題的突破口。

例5. 如圖5，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=n，

PA與BC的公垂線ED=h，

求證：三棱錐P-ABC的體積V=■n2h。

此題證法很多，下面用割補法證明如下：

分析一：如圖5，連結AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD=■BC·S△APD=■n2h。

分析二：如圖6，以三棱錐P-ABC的底面為底面，側棱PA為側棱，補成三棱拄 PB1C1-ABC，連結EC、EB，則易證AP⊥平面EBC，

∴V三棱柱=AP·S△EBC= 2n2h。

∴VP-ABC = V三棱柱 =■n2h。

四、等積轉化

“等積法”在初中平面幾何中就已經有所應用，（下轉第120頁）（上接第156頁）是一種很實用的數學方法與技巧。立體幾何中的“等積轉化”是以面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介來溝通有關元素之間的聯系，從而使問題得到解決。

例6. 如圖7，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積。

略解：易證四邊形EBFD1是菱形，

連結A1C1、EC1、AC1、AD1，

則VA -EBFD =2VA-EFD=2VF- A ED =2VC - A ED

=2VE- A C D =VA-A C D =■V正方體AC =■a3。

五、抽象向具體轉化

例7. A、B、C是球O面上三點，弧AB、AC、BC的度數分別是90°、90°、60°。求球O夾在二面角B-AO-C間部分的體積。

分析：此題的難點在于空間想象，即較抽象。教師引導學生讀題：條件即∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，然后給出圖形（如圖8），則可想象此題意即為用刀沿60°二面角，以直徑為棱將一個西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：■）。這樣，問題就變得直觀具體多了。

立體幾何的教學，關鍵是要調動學生的學習興趣，讓他們學會聯想與轉化。立體幾何的許多定理、結論源自生活實際，源自平面幾何，教師要教會學生聯想實際模型，聯想平面幾何中已經熟悉的東西，借助可取之材來建立空間想象，加強直觀教學，這樣就容易讓學生接受，讓他們喜歡上這一門學科，從而更有效地培養他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力。

（作者單位：黑龍江省雙城市兆麟中學 150100）