淺談變式訓(xùn)練

田青莉

摘要：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的是在短時(shí)間內(nèi)幫助學(xué)生熟練地掌握所學(xué)知識(shí)，并能運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題。筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與摸索探究，認(rèn)為“變式訓(xùn)練”教學(xué)是完成這一目標(biāo)的良好方法。

關(guān)鍵詞：一題多解；一法多用；一題多變；變式訓(xùn)練

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0158

變式訓(xùn)練是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要的教學(xué)策略，是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一。變式教學(xué)在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)解題能力、提高教學(xué)質(zhì)量方面有著不可忽視的作用。特別是在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，它能使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化，能使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行整體構(gòu)建，在有限的時(shí)間內(nèi)高效地完成學(xué)習(xí)內(nèi)容，適合學(xué)生的發(fā)展性需要。以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出的變式訓(xùn)練的幾種方法：

一、一題多解

一題多解就是從不同的角度、不同的側(cè)面分析同一問(wèn)題中的已知條件和題目中所隱含的條件，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)使條件和結(jié)論之間建構(gòu)為某一數(shù)學(xué)模型，用不同的解法得到相同結(jié)果的思維活動(dòng)過(guò)程。在九年級(jí)緊張的復(fù)習(xí)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匕才乓活}多解，既可以加大課堂容量，又可以使學(xué)生加深鞏固對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)及其內(nèi)在聯(lián)系的理解，掌握各部分知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化，擴(kuò)大學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的發(fā)展需求，從而解決“吃不飽”和“吃不了”的問(wèn)題，提高課堂教學(xué)的效果。

例如，一個(gè)圓錐形麥堆，底面周長(zhǎng)是25.12米，高是3米，把這些小麥裝入一個(gè)底面直徑是4米的圓柱形糧囤內(nèi)正好裝滿(mǎn)，這個(gè)圓柱形糧囤的高是多少米？

筆者在引導(dǎo)教學(xué)時(shí)，首先把問(wèn)題情景化，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)、討論、分析這道題解題的關(guān)鍵、涉及到的知識(shí)以及圓錐、圓柱體積公式的應(yīng)用。在筆者的鼓勵(lì)下，學(xué)生運(yùn)用小組合作研究，匯報(bào)出三種不同的解法：

解法1. 由于圓柱糧囤的體積和麥堆的體積相等，于是先求出麥堆的體積后直接被圓柱糧囤的底面積除，就會(huì)得到糧囤的高。

解法2. 根據(jù)麥堆的體積和圓柱糧囤體積相等的關(guān)系列方程解。

解法3. 由于糧囤和圓柱體積相等，依據(jù)圓柱體積=πr2h可以推出，半徑的平方r2和圓柱高h(yuǎn)成反比例關(guān)系。據(jù)此原理可以列方程解題。

最后，學(xué)生討論哪種方法是解決問(wèn)題的最佳方法，在這樣的過(guò)程中，由一個(gè)例題創(chuàng)情境，進(jìn)行多元化解決，使課堂達(dá)成了最佳的教學(xué)效果。

二、一法多用

九年級(jí)復(fù)習(xí)時(shí)間短，內(nèi)容多，教材中知識(shí)板塊的安排不容易在學(xué)生的頭腦中形成體系，教師應(yīng)針對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容對(duì)教材的各章知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合。因此，在教學(xué)中，教師要善于以典型例題或習(xí)題為源問(wèn)題，通過(guò)變式形成同類(lèi)的異型，把它們集中在一起，對(duì)其題目的立意、解題思路、解題策略和易產(chǎn)生的誤區(qū)等進(jìn)行歸納總結(jié)，使學(xué)生形成一個(gè)共同的認(rèn)知體系。這可以使我們對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的某一個(gè)側(cè)面的考查變?yōu)槎鄠€(gè)方面的考查，變單一知識(shí)點(diǎn)的考查為多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，以一題的解答達(dá)到解決一類(lèi)題的學(xué)習(xí)效果。

例如，函數(shù)關(guān)系式的求法，無(wú)論是反比例函數(shù)、一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都可以用待定系數(shù)法。

1. 待定系數(shù)法的定義

一般地，在求一個(gè)函數(shù)時(shí)，如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式，可先把所求函數(shù)寫(xiě)為一般形式，其中系數(shù)待定，然后根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)。這種通過(guò)求待定系數(shù)來(lái)確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。

2. 利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟

（1）確定所求問(wèn)題中含有待定系數(shù)的解析式。

（2）根據(jù)解析式列出含有待定系數(shù)的方程（組）。

（3）解方程（組）或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。

例如，點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（2，5）在一次函數(shù)的圖像上，求一次函數(shù)的解析式。

設(shè)一次函數(shù)解析式為：

∵一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn)

∴關(guān)于K，B的方程組為

∴K= ，B

∴一次函數(shù)解析式為：

即：求一次函數(shù)Y=Kx+B的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)

和 的值，由已知條件（一次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的坐標(biāo)），列出關(guān)于 的方程組，就可以求出一次函數(shù)的解析式。

類(lèi)似地，二次函數(shù)的解析式是 ，要寫(xiě)出解析式，需求出 的值，為此，可以由二次函數(shù)圖像上 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，列出關(guān)于 的三元一次方程組，求出三個(gè)待定系數(shù) 的值。

再如：一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，10），（1，4），（2，7），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

設(shè)二次函數(shù)解析式為：

∵二次函數(shù)圖像過(guò) 、 、 三點(diǎn)

∴關(guān)于a，b，c三元一次方程組為：

∴a= b= c=

∴二次函數(shù)解析式為：

即：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù) ， ， 的值，由已知條件（二次函數(shù)圖像上三點(diǎn)的坐標(biāo)），列出關(guān)于 的方程組，求出三個(gè)待定系數(shù) 的值就可以寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式。

三、一題多變

教科書(shū)凝聚了在教學(xué)教材研究方面造詣深厚的眾多專(zhuān)家教授的心智，是一線(xiàn)教師平時(shí)教學(xué)的基礎(chǔ)和根本，但教材是“物化”的東西，教師是“人師”，不應(yīng)該“教教材”，而是要“用教材教”，教師應(yīng)考慮學(xué)生間的差異性和多樣性，注意滿(mǎn)足不同學(xué)生的不同需求。新課標(biāo)指出“必須關(guān)注學(xué)生的主體參與，師生互動(dòng)”，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要讓不同層次的學(xué)生有不同的表現(xiàn)，不一樣的收獲。在教學(xué)中，教師要精心備課，將各知識(shí)點(diǎn)串珠成線(xiàn)，連線(xiàn)成面，形成體系，對(duì)圖形或題目中的數(shù)字（文字）進(jìn)行簡(jiǎn)單的變式，雖然圖形和題目的敘述發(fā)生了變化，但解決問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)卻是一致的，都是運(yùn)用相同的定理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，不同層次的學(xué)生均能下手嘗試，在不斷的參與中，學(xué)生可以體驗(yàn)到成功，收獲到喜悅，增加探索知識(shí)的信心和興趣，從而積極尋求解題的規(guī)律和方法。

九年級(jí)復(fù)習(xí)的時(shí)間較短，針對(duì)時(shí)間緊、任務(wù)重的特點(diǎn)，教師可以結(jié)合所帶學(xué)生的具體情況，進(jìn)行一題多變。

例如：證明一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)是中考23題必考的一個(gè)題目，通過(guò)不同的題目，讓學(xué)生掌握切線(xiàn)的證明方法。

如圖所示，已知AB是圓O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD。

（1）求證：直線(xiàn)CE是圓O的切線(xiàn)。

（2）求證：AC2=AB·AD

證明：（1）連接OC，

因?yàn)镺A=OC

所以∠OCA=∠OAC。

又因?yàn)锳D⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因?yàn)锳C平分∠BAD，

所以∠OAC=∠CAD，

所以∠OCA+∠ACD=90°，即OC⊥CE，

所以CE是圓O的切線(xiàn)。

（2）連接BC，

因?yàn)锳B是圓O的直徑，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因?yàn)椤螼AC=∠CAD，

所以△ABC∽△ACD，

所以■=■

即AC2=AB·AD

再如：已知如圖，以等邊三角形ABC的 一邊AB為直徑的圓O與邊AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，求證：DF為圓O的切線(xiàn)。

證明：

連接OD，則△AOD是等邊三角形。

所以∠ADO=60°。在RT△DFC中，

因?yàn)椤螩=60°，

所以∠CDF=30°，

所以∠FDO=180°-（∠CDF+∠ADO）=180°-（30°+60°）=90°

而OD又是圓O的半徑。

所以DF是圓O的切線(xiàn)。

數(shù)學(xué)課變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)的有效方式。針對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的特點(diǎn)，講評(píng)習(xí)題是重頭戲。如何通過(guò)習(xí)題使學(xué)生的知識(shí)得到充分的鞏固與應(yīng)用，變式教學(xué)是一種有效的方式。在對(duì)習(xí)題的變式過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的思維定勢(shì)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，引發(fā)了學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行多角度的探索與思考，從而培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，擺脫了教條主義、形式主義和你“教”我“學(xué)”的被動(dòng)局面。通過(guò)習(xí)題的變式教學(xué)，學(xué)生可以形成由數(shù)學(xué)的基本思想、基本方法和基本態(tài)度所構(gòu)成的認(rèn)知體系以及學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)或思維習(xí)慣。

（作者單位：陜西省渭南市臨渭區(qū)故市二中 714000）