羅定汨
高中數學包含很多知識點，要學好數學就得弄清楚每一個知識點，絕對不可以一知半解，否則就會在考試中出現錯誤。基本不等式是不等式中很重要的一個內容，下面就通過幾個例子的分析來加強對該知識點的掌握。ァ糎TH〗一、與函數知識的結合〖HT〗ダ.函數y=log璦x+3－1a>0且a≠1的圖象恒過點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，期中m、n>0，則〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值為ソ馕觶河梢閻可知點A－2,－1，又點A在直線mx+ny+1=0上，則有－2m－n+1=0即2m+n=1，又m、n>0ニ以〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗1〖〗n〖SX)〗2m+n=3+〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗≥3+2〖KF(〗〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗?〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗〖KF)〗=3+2〖KF(〗2〖KF)〗サ鼻醫齙薄糞X(〗n〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗且2m+n=1即m=1－〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,n=〖KF(〗2〖KF)〗－1時上式取“=”，從而所求〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值為3+2〖KF(〗2〖KF)〗.ダ.若x>－1,求fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗的值域.ソ馕觶河蓌>－1輝+1>0ニ以fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗=〖SX(〗x+12－5x+1+5〖〗x+1〖SX)〗=x+1+〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗－5≥2〖KF(〗5〖KF)〗－5サ鼻醫齙眡+1=〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗即x=〖KF(〗5〖KF)〗－1時上式等號成立，所以fx的值域為 2〖KF(〗5〖KF)〗－5,+∞ァ糎TH〗二、與數列知識的結合〖HT〗ダ.已知等比數列〖JB({〗a璶〖JB)}〗的各項均為正數，公比q≠1，設P=〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗,Q=〖KF(〗a5?a7〖KF)〗,則P與Q的大小關系是（）AP>QBP0 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗a3?a9〖KF)〗當且僅當a3=a9時等號成立，又q≠1ニ以a3≠a9 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a3?a9〖KF)〗 又由等比數列性質可知a5?a7=a3?a9ァ唷糞X(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a5?a7〖KF)〗即P>Q，選Aダ.已知x、y>0,x、a、b、y成等差數列，x、c、d、y成等比數列，則〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗的最小值是（）A0B1C2D4ソ馕觶河蓌、a、b、y成等差數列∴a+b=x+yx、c、d、y成等比數列∴cd=xy 又x、y>0ァ唷糞X(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗=〖SX(〗x+y2〖〗xy〖SX)〗=2+〖SX(〗x〖〗y〖SX)〗+〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗≥2+2〖KF(〗〖SX(〗x〖〗y〖SX)〗?〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗〖KF)〗=4サ鼻醫齙薄糞X(〗x〖〗y〖SX)〗=〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗即x=y時上式“=”成立，所以〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗最小值為4ァ糎TH〗三、與線性規劃知識的結合〖HT〗ダ.設x、y滿足約束條件{0≤x≤10≤y≤4,若目標函數Z=abx+ya>0,b>0的最大值為8，則a+b的最小值為ソ馕觶河蒢=abx+y輞=－abx+Z 作出可行域ス原點作直線l0:y=－abx∵a、b>0∴－ab<0 從而平移l0至點M1,4時有Z﹎ax=8 所以ab+4=8輆b=4∴a+b≥2〖KF(〗ab〖KF)〗=4サ鼻醫齙盿=b又ab=4即a=b=2時上式等號成立所以a+b的最小值為4.ァ糎TH〗四、與圓錐曲線知識的結合〖HT〗ダ.已知〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1m>0,n>0，則當mn取最小值時，橢圓〖SX(〗x2〖〗m2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗n2〖SX)〗=1的離心率為ソ馕觶河蒻、n>0 ∴〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1≥2〖KF(〗〖SX(〗2〖〗mn〖SX)〗〖KF)〗蕁糞X(〗2〖〗mn〖SX)〗≤〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗 ∴mn≥8サ鼻醫齙薄糞X(〗1〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗又〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1即m=2,n=4時上式取“=”ゴ聳倍雜ν衷卜匠濤〖SX(〗x2〖〗4〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗16〖SX)〗=1 其中a=4,c=2〖KF(〗3〖KF)〗 從而e=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗=〖SX(〗〖KF(〗3〖KF)〗〖〗2〖SX)〗ダ.雙曲線實軸長與虛軸長的和為2，則焦距的最小值為.ソ馕觶河梢閻有2a+2b=2輆+b=1又〖SX(〗a+b〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗ab〖KF)〗輆b≤〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗ァ郼2=a2+b2=a+b2－2ab≥a+b2－2×〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗=1－〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗サ鼻醫齙盿=b又a+b=1即a=b=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗時上式等號成立ゼ唇咕嗟淖钚≈滴2c=〖KF(〗2〖KF)〗ヒ隕霞父隼子都涉及基本不等式的應用，希望同學們能對該知識點能有一個比較清楚的認識，并且能與其他知識點靈活的進行結合。高中數學內容雖然比較多，但只要我們在學習過程中能保持積極向上的心態，多歸納總結，細心認真，相信學好數學是不成問題的。
