金融時間序列多分辨分析的描述性研究

代軍

[摘 要] 小波理論近年來已經被廣泛應用于金融時間序列分析，然而實踐證明想要掌握好該方法并不容易。本文以簡單的時間序列為樣本，詳細地描述了小波分解與重構的全部過程，意在通過詳實的步驟，揭示出小波多分辨分析的本質。最后，實際演示了如何運用Matlab小波工具箱對包含600個交易數據的金融時間序列進行多分辨分析。

[關鍵詞] 小波；多分辨分析；描述性研究

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 02. 018

[中圖分類號] F830 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）02- 0025- 03

0 引 言

對于很多信號，由于它的低頻部分能夠較好地反映信息變化的一致性，因此通常會更受人們的關注。以人類的聲音為例，低頻信息蘊含了語義，高頻信息表達了語調。此時即使高頻信息被剔除，也不會影響人們正常的交流。同理，在金融時間序列分析當中，一些重要的經濟規律也被隱藏在月、季等長周期的數據變化當中。

近20年來，小波分析作為一種具有時頻特性的序列分析方法，日益被廣泛地應用于金融工程研究領域。該理論能夠很好地通過尺度、小波函數的伸縮與平移，對非平穩的原始數據按不同的時間刻度進行分解，并自適應地調整時頻窗寬，分析數據在各時頻的局部細節特征。然而，目前小波分析操作主要通過Matlab的小波工具箱完成。對于很多不熟悉復變函數和小波理論的金融從業人員，拿著軟件直接生成的結果，往往不知所措。針對上述問題，為了更好地揭示金融時間序列的多分辨分析過程，本文旨在通過詳實的例子，對整個小波分解與重構進行詳細的描述性研究，來幫助讀者透析其中的原理。

1 離散小波變換的基本原理

離散小波變換是一個對金融時間序列進行不同周期的分解與重構的過程。其中第一步是小波分解，也就是將原始信號乘以特定的低通或高通濾波器，以此實現對原始信號的分解，其中經過低通（尺度）濾波器處理后的信號稱為“尺度系數”，它能反映數據變換的長期趨勢；經過高通（小波）濾波器處理后的信號稱為“小波系數”，它蘊含了信號對長期趨勢的偏離。本文利用余弦波和高頻噪聲構造出一個數量為1 000的原始信號X。該信號通過低通與高通濾波，可以得到數量各為500的小波系數s1與尺度系數d1。具體過程如圖1所示。

觀察圖1可以看到：由于尺度系數s1為原信號在尺度2上的非重疊平均，因此它保留了與原信號相似的形狀；小波系數d1則反映了實際信號對每一均值的偏離。人們形象的將這一過程稱之為“下抽樣”。選取不同的尺度和小波類型可以構造出形式各異的小波分解。例如，圖1中的第一層小波分解選取的就是尺度為2的Harr小波。目前常見的小波還有Mexican Hat、Guass等在內的15種。此外，圖1中的小波分解還可以繼續下去，例如對尺度系數s1的再分解能夠得到尺度為22的小波系數d2和尺度系數s2，兩者能夠在更長周期上反映信號的均值變化和偏離程度。

第二步就是在小波系數與尺度系數的基礎上對原始信號進行重構，即將原始信號表示成一個常數向量SJ和J個常數向量 Dj（j=1，…，J）的和：

X=■Dj+SJ （1）

其中，X為原始信號，SJ為第J層光滑，Dj代表第j層小波粗糙。上述過程定義了序列的一個多分辨分析。

2 離散小波變換的數學描述

為了解釋小波變換的基本原理，本文采用一個簡單的金融資產價格序列f（t）=（2，6，5，11，8，5，2，4）對整個離散小波變換過程進行詳細的描述性研究。出于簡化的目的，這里采用的是形式最為簡單的Harr小波。該小波在（-1，0]和（0，1]的區間上分別取值■和■，在其余區間取值為0。

2.1 離線小波變換的分解

根據f（t）的序列長度和Harr小波濾波器的特點，可以很容易地構造出如下第一層小波分解的尺度濾波器scale1和小波濾波器wave1：

scale1=Φ1，1Φ1，2Φ1，3Φ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

wave1=ψ1，1ψ1，2ψ1，3ψ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

然后將序列f（t）乘以尺度濾波器的轉置scale1T可得：

s1=f（t）·scale1T

=（f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■）

=（4■，8■，13■/2，3■）（3）

其中，s1為該序列的第一層小波分解尺度系數。觀察s1不難發現，它是由原序列f（t）的4組非重疊樣本平均值再乘以■得到。序列f（t）的第一層小波分解尺度系數d1則是由f（t）乘以小波濾波器的轉至wave1T得到：

d1=f（t）·wave1T

=（f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■）

=（-2■，-3■，3■/2，-■）（4）

其中，小波系數d1中的每個元素都等于原序列f（t）中非重疊相鄰兩項前后差值的平均值再乘以■。觀察公式（3）和（4）不難發現，尺度系數與小波系數的長度均只有原序列的一半。另外，在求解小波和尺度系數的過程中之所以要乘以■主要是為了讓尺度濾波器和小波濾波器滿足規范正交性，即矩陣的轉置等于其逆矩陣。

一層小波分解完成后，還可以對第一層尺度系數s1進行二次分解，得到二層小波系數d2和尺度系數s2，其具體計算過程如下：

s2=f（t）*scale1T*scale2T=（12，9.5）

d2=f（t）*scale1T*wave2T=（-4，3.5）

其中，scale2=■，■，0，00，0，■，■，

wave2=■，-■，0，00，0，■，-■。

同理還可以對該序列進行第三層的小波分解，得到三層小波系數d3和尺度系數s3：

s3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

d3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

其中，scale3=■，■，scale3=■，-■。至此，針對金融價格序列f（t）的三層小波分解過程全部完成。

2.2 離散小波變換的重構

小波分解只是完成了整個離散小波變換的一半，剩下的一半則是在保留原始信號f（t）全部信息的基礎上實現從小波分解到原始信號的重構。該過程在小波變換中又被稱之為離散小波變換的逆變換（IDWT）。

根據前面小波分解過程可知，尺度濾波器和小波濾波器均滿足規范正交性，即矩陣的轉置等于其逆矩陣。因此可以通過第一層小波系數d1乘以第一層小波濾波器wave1和第一層尺度系數s1乘以第一層尺度濾波器scale1，重構原始序列：

f（t）=s1*scale1+d1*wave1=A1+D1（7）

其中，A1=s1*scale1是對原始信號的第一層近似，又被稱之為第一層光滑；D1=d1*wave1則蘊含了原始信號在第一層次變換上的細節，因此又被稱之為第一層粗糙。同理我們可以用二層小波系數d2和尺度系數s2來重構第一層小波系數s1，再通過公示（7）求出第一層光滑A1：

A1=（s1*scale2+d2*wave2）*scale1=A2+D2（8）

其中，A2=s2（scale2*scale1，D2=d2*wave2*scale1。此時，原始信號f（t）實現了二層的多分辨分析過程。

f（t）=A1+D1=A2+D2+D1（9）

由于f（t）具有三層小波分解，所以A2還可以由第三層小波系數d3和尺度系數s3按如下形式進行構造：

A2=（s3*scale3+d3wave3）*scale2*scale1

=A3+D3（10）

其中，s3*scale3+d3wave3=s2。至此，原始信號f（t）的三層多分辨分析過程全部完成。

f（t）=A3+D3+D2+D1（11）

其中，式（11）中各細節Dj，j=1，2，3以及第三層光滑A3的具體數值均由表1所示。