基于Copula函數(shù)的滬深股市尾部相關(guān)性分析

姜鳳利

[摘 要] 利用Granger因果檢驗考察上證指數(shù)與深證指數(shù)之間的聯(lián)動特性，發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)是深證指數(shù)的Granger原因。由于上證、深證指數(shù)之間的尾部非對稱性，F(xiàn)rank Copula函數(shù)無法準(zhǔn)確擬合數(shù)據(jù)分布，進(jìn)而通過選擇Archimedean Copula函數(shù)族中Gumbel Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)分別度量美國次貸危機(jī)前后上證、深證指數(shù)之間的尾部相關(guān)性。實證結(jié)果表明，上漲期和下跌期上證、深證指數(shù)之間分別具有較強(qiáng)的上尾和下尾相關(guān)性。但相比較而言，下跌期尾部相關(guān)系數(shù)大于上漲期尾部相關(guān)系數(shù)。

[關(guān)鍵詞] Granger因果檢驗；Copula函數(shù)；尾部相關(guān)性

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 18. 056

[中圖分類號] F832.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）18- 0087- 04

1 引 言

近年來，隨著金融市場的不斷發(fā)展，金融市場內(nèi)部的相關(guān)關(guān)系越來越復(fù)雜，這也使得對于市場間的相關(guān)性研究成為金融市場相關(guān)關(guān)系量化分析的一個重要問題。但由于金融數(shù)據(jù)往往不滿足線性相關(guān)性和正態(tài)分布等常規(guī)假設(shè)，如（Rosenberg & Schuermann，2006）實證分析發(fā)現(xiàn)，金融風(fēng)險數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布；Di Clemente & Romano（2004）和Das & Geng（2006）研究發(fā)現(xiàn)，信用風(fēng)險尾部相關(guān)性是非對稱的、有偏的。因此傳統(tǒng)的多元分布函數(shù)理論很難在分析金融市場的相關(guān)性中得到廣泛應(yīng)用。90年代后期Frees & Valdez（1998）開創(chuàng)性地把Copula函數(shù)引入到金融風(fēng)險管理領(lǐng)域中，由于Copula函數(shù)可以較好地刻畫變量之間的非線性、非對稱性和尾部特性等優(yōu)點而得到廣泛應(yīng)用。大量研究者正是基于Copula理論這一有力工具，取得了許多有意義的研究成果。如Andrew.J.P（2002）提出了條件Copula函數(shù)，并利用其分析研究了匯率之間的非對稱性相關(guān)結(jié)構(gòu)；Helder和Luiz（2006）利用動態(tài)條件Copula函數(shù)研究了金融資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)；國內(nèi)學(xué)者結(jié)合國內(nèi)金融實際情況對Copula函數(shù)也進(jìn)行了許多有意義的研究。如余平 等（2007）利用Clayton Copula函數(shù)度量了上證綜指和深圳成指尾部相關(guān)性；于波 等（2008）利用Gumbel Copula函數(shù)對上證A股指數(shù)和B股指數(shù)進(jìn)行了相關(guān)性分析；任仙玲 等（2008）應(yīng)用雙參數(shù)非對稱BBx-Copula函數(shù)對民生銀行和浦發(fā)銀行的尾部相關(guān)性進(jìn)行實證分析。但是我國金融市場內(nèi)部相關(guān)結(jié)構(gòu)如何，市場間的相關(guān)結(jié)構(gòu)應(yīng)該利用哪種適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)來度量，目前還沒有統(tǒng)一的結(jié)論。

本文以滬深兩市日收益率為樣本數(shù)據(jù)，考察上證指數(shù)與深證指數(shù)之間的聯(lián)動性，并利用Copula函數(shù)分別對美國次貸危機(jī)發(fā)生前后的滬深兩個市場指數(shù)之間的尾部相關(guān)性進(jìn)行實證分析。

2 Copula函數(shù)及相關(guān)理論

Copula函數(shù)理論的提出為研究變量之間的相關(guān)性提供了很好的方法。Sklar（1959）指出可以將一個n維聯(lián)合分布分解為n個邊緣分布函數(shù)和一個Copula函數(shù)，而這個Copula函數(shù)描述了變量之間的相關(guān)性。

2.1 Copula函數(shù)基本理論

假設(shè)F（x1，x2，…，xn）為具有邊緣分布F1（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)n（xn）的n維聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個Copula函數(shù)C（u1，u2，…，un）滿足：

F（x1，x2，…，xn）=C[F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn）]（1）

若F1（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)n（xn）是連續(xù)函數(shù)，則C（u1，u2，…，un）是唯一確定的；反之，若F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn）為一元分布函數(shù)，C（u1，u2，…，un）是一個Copula函數(shù)，則由式（1）確定的F（x1，x2，…，xn）是具有邊緣分布F1（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)n（xn）的n維聯(lián)合分布函數(shù)。

2.2 Copula函數(shù)分布族

在金融市場研究中常用的Copula函數(shù)族包括Elliptical Copula分布族和Archimedean Copula分布族。但由于Elliptical Copula分布族具有尾部徑向?qū)ΨQ性，因此在描述金融數(shù)據(jù)之間的非對稱性具有一定的局限性；Archimedean Copula分布族則可以較好刻畫尾部特性且計算簡單得到了廣泛應(yīng)用。Archimedean Copula分布族包含Gumbel、Clayton和Frank Copula函數(shù)。

2.2.1 Gumbel Copula函數(shù)

Gumbel Copula函數(shù)的生成元和分布函數(shù)分別為：

?（t）=（-ln t）α（2）

CG（u，v；α）=exp-（-ln u

）+（-ln v

）

（3）

式中，α∈（0，1]為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)α=1時，隨機(jī)變量u，v，獨立；當(dāng)α→0時，隨機(jī)變量u，v趨向于完全相關(guān)。

根據(jù)分布函數(shù)（3）特征知，Gumbel Copula函數(shù)對變量在分布上尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到上尾相關(guān)的變化。因此Gumbel Copula函數(shù)可用于描述具有上尾相關(guān)特性的金融市場之間的相關(guān)關(guān)系。

2.2.2 Clayton Copula函數(shù)

Clayton Copula函數(shù)的生成元和分布函數(shù)分別為：

?（t）=（4）

CCl（u，v；α）=（u-α+v-α-1）（5）

式中，α∈（0，8）為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)α→0時，隨機(jī)變量u，v趨向于獨立；當(dāng)α→0時，隨機(jī)變量u，v趨向于完全相關(guān)。

根據(jù)分布函數(shù)（5）特征知，Clayton Copula函數(shù)對變量在分布下尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到下尾相關(guān)的變化。因此Clayton Copula函數(shù)可用于描述具有下尾相關(guān)特性的金融市場之間的相關(guān)關(guān)系。

2.2.3 Frank Copula函數(shù)

Frank Copula函數(shù)的生成元和分布函數(shù)分別為：

?（t）=-ln（6）

CF（u，v；α）=-ln

1+（7）

式中，α≠0為相關(guān)參數(shù)。α>0表示隨機(jī)變量u，v正相關(guān)，α→0表示隨機(jī)變量u，v趨向于獨立，α<0表示隨機(jī)變量u，v負(fù)相關(guān)。

根據(jù)分布函數(shù)（7）特征知，F(xiàn)rank Copula函數(shù)分布具有對稱性，無法捕捉到隨機(jī)變量之間非對稱的相關(guān)關(guān)系。因此Frank Copula函數(shù)只適用于描述具有對稱相關(guān)結(jié)構(gòu)的變量之間的相關(guān)關(guān)系。

2.3 尾部相關(guān)性度量

由于傳統(tǒng)的Kendall τ和Spearman ρ等相關(guān)系數(shù)只是對隨機(jī)變量的全局相關(guān)性進(jìn)行度量，而在金融領(lǐng)域研究中，更多的是考慮極端事件發(fā)生時，一個金融市場的變化對另一個金融市場趨勢的影響，即二者尾部相關(guān)性的度量。

設(shè)隨機(jī)變量X，Y的邊緣分布分別為F（x）和G（y），Copula函數(shù)為C（u，v），則Copula函數(shù)相對應(yīng)的上尾相關(guān)系數(shù)λup和下尾相關(guān)系數(shù)λlo分別為：

λup=P[X>F-1（q）|Y>G-1（q）]=（8）

λlo=P[X

式中，u=F（x），v=G（y），u，v∈[0，1]。

由式（8）和（9）知，Copula函數(shù)對應(yīng)的上尾、下尾相關(guān)系數(shù)均屬于[0，1]區(qū)間。若λup（或λlo）存在且在區(qū)間（0，1]內(nèi)，則隨機(jī)變量X，Y上尾（或下尾）相關(guān)；若λup（或λlo）等于零，則隨機(jī)變量X，Y上尾（或下尾）獨立。對于上述3種Archimedean Copula函數(shù)而言，Gumbel Copula上尾相關(guān)系數(shù)為2-21/α，下尾相關(guān)系數(shù)為0；Clayton Copula函數(shù)的上尾相關(guān)系數(shù)為0，下尾相關(guān)系數(shù)為2-1/α；Frank Copula函數(shù)尾部具有對稱性且上、下尾相關(guān)系數(shù)均為0。

3 實證分析

為了考察美國次貸危機(jī)發(fā)生前后的不同時期內(nèi)上證綜合指數(shù)與深證成份指數(shù)之間的尾部相關(guān)關(guān)系，我們選取2006-01-04至2008-12-31期間上證、深證股票市場指數(shù)日收益率為研究對象，共729組數(shù)據(jù)。定義股票市場指數(shù)日收益率的計算公式為：

rt=ln（Pt/Pt-1），t=1，2，…，T（10）

式中，Pt為第t日的市場收盤價格指數(shù)。

鑒于2007-07-10美國穆迪、標(biāo)準(zhǔn)普爾宣布次貸級債降級而導(dǎo)致全球金融市場的動蕩，標(biāo)志著美國次貸危機(jī)正式爆發(fā)，相對應(yīng)我國股市市場也隨之發(fā)生劇烈波動。因此，本文以2007-10-12為分界點將樣本劃分為上漲期和下跌期2個子區(qū)間，即2006-01-04至2007-10-12為上漲期，共428組數(shù)據(jù)；2007-10-15至2008-12-31為下跌期，共301組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)處理利用EViews6.0及Matlab7.1軟件。

3.1 平穩(wěn)性檢驗

通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF檢驗及P-P檢驗（見表1），我們發(fā)現(xiàn)上證和深證指數(shù)收益率序列的ADF檢驗統(tǒng)計值及P-P檢驗統(tǒng)計值均小于不同顯著性水平的臨界值，因此樣本期間內(nèi)上證和深證指數(shù)收益率序列均具有整體平穩(wěn)性。

3.2 Granger因果檢驗

在實際經(jīng)濟(jì)問題研究中，雖然變量中有一些變量可能顯著相關(guān)，但它們未必都有意義。因此，對于如何分析變量之間的相關(guān)關(guān)系就顯得尤為重要。Granger（1969）提出一個檢驗變量之間因果關(guān)系的方法——Granger因果檢驗法。該因果檢驗方法不同于通常意義的因果關(guān)系，它的應(yīng)用有助于減少時間序列的預(yù)測誤差。為了考察樣本期間內(nèi)上證和深證指數(shù)收益率序列之間的相互關(guān)系，我們利用Granger因果檢驗法進(jìn)行檢驗，結(jié)果見表2。

由Granger因果檢驗的結(jié)果可以看出，對于上證指數(shù)不是深證指數(shù)的Granger原因的檢驗的相伴概率為0.045 15，表明在95%的置信水平下，可以認(rèn)為上證指數(shù)是深證指數(shù)的Granger原因；對于深證指數(shù)不是上證指數(shù)的Granger原因的檢驗的相伴概率為0.412 04，表明深證指數(shù)不是上證指數(shù)的Granger原因的概率較大，不能拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為深證指數(shù)不是上證指數(shù)的Granger原因。

3.3 數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計

表3給出上漲期和下跌期上證與深證市場指數(shù)收益率的統(tǒng)計性描述。從均值來看，上漲期兩市均呈現(xiàn)正的平均收益率，而下跌期兩市平均收益率出現(xiàn)大幅下降且均為負(fù)值，表明美國次貸危機(jī)的發(fā)生對我國證券市場指數(shù)收益率具有較大的負(fù)面影響。從標(biāo)準(zhǔn)差來看，下跌期的標(biāo)準(zhǔn)差顯著大于上漲期的標(biāo)準(zhǔn)差，表明美國次貸危機(jī)的發(fā)生在一定程度上加劇了股市的波動。從偏度和峰度指標(biāo)來看，不論上漲期還是下跌期上證與深證市場指數(shù)收益率均存在尖峰厚尾的特性，且結(jié)合Jarque-Bera統(tǒng)計量檢驗結(jié)果，表明滬深兩個市場的日收益率序列均不滿足正態(tài)分布的假設(shè)。

利用Matlab軟件描繪出不同時期內(nèi)上證與深證兩市日收益率的散點圖（如圖1）。由散點圖可以發(fā)現(xiàn)，不論上漲期或是下跌期上證和深證指數(shù)之間均具有較強(qiáng)的相關(guān)性和尾部特性。

3.4 Copula函數(shù)的參數(shù)估計與選擇

由于常用的參數(shù)估計法都是在假定邊緣分布形式的前提下進(jìn)行，如果邊緣分布的假設(shè)出現(xiàn)偏差，則Copula函數(shù)參數(shù)估計的精度性將會受到很大的影響。因此，本文利用Copula函數(shù)的非參數(shù)估計法進(jìn)行參數(shù)估計，結(jié)果見表4。

對于不同時期內(nèi)上證和深證市場指數(shù)之間的相關(guān)性研究，哪個Copula函數(shù)是最優(yōu)的呢？本文利用擬合優(yōu)度檢驗法：

Kc（t）=P（C（u，v）≤t）=t-（11）

式中，C（u，v）為分布函數(shù)，Kc（t）為（0，1）上均勻分布函數(shù)。

利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行Kc（t）與U（0，1）的Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗選擇Copula函數(shù)。結(jié)果見表5。

表5檢驗結(jié)果表明，當(dāng)市場處于上漲期時，Gumbel Copula函數(shù)對滬深兩市指數(shù)日收益率的聯(lián)合分布的擬合是最優(yōu)的；當(dāng)市場處于下跌期時，則Clayton Copula函數(shù)對滬深兩市指數(shù)日收益率的聯(lián)合分布的擬合是最優(yōu)的。

3.5 尾部相關(guān)性研究

根據(jù)擇優(yōu)選取的Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和式（8）、（9）分別計算上漲期和下跌期上證、深證兩個市場在不同置信水平α下的尾部相關(guān)系數(shù)。結(jié)果見表6。

表6中前3列為下尾相關(guān)系數(shù)，后3列為上尾相關(guān)系數(shù)。從表6可以看出，當(dāng)市場處于上漲期時，上尾相關(guān)系數(shù)在α=0.95時就已經(jīng)趨于α=1時的極限值了。進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上證指數(shù)日收益率超過q0.95，q0.975，q0.99時，深證指數(shù)日收益率超過對應(yīng)的分位數(shù)的概率分別為：0.753 6，0.749 5，0.747 1，均超過0.05，0.025，0.01。這說明上證指數(shù)和深證指數(shù)之間在指數(shù)上漲期內(nèi)具有較強(qiáng)的上尾相關(guān)性；當(dāng)市場處于下跌期時，下尾相關(guān)系數(shù)在α=0.05時就已經(jīng)趨于α=0時的極限值了。進(jìn)一步亦可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上證指數(shù)日收益率低于q0.01，q0.025，q0.05時，深證指數(shù)日收益率低于對應(yīng)的分位數(shù)的概率分別為：0.858 529，0.858 538，0.858 541，均低于0.99，0.975，0.95。這說明上證指數(shù)和深證指數(shù)之間在指數(shù)下跌期內(nèi)具有較強(qiáng)的下尾相關(guān)性。但相比較而言，下跌期尾部相關(guān)系數(shù)大于上漲期尾部相關(guān)系數(shù)，這意味著股市下跌時的聯(lián)動趨勢較上漲時的聯(lián)動趨勢更加明顯。

4 結(jié) 論

本文通過Granger因果檢驗，發(fā)現(xiàn)深證指數(shù)的波動不能夠引致上證指數(shù)的波動，而上證指數(shù)的波動沒有引致深證指數(shù)波動的原假設(shè)被拒絕，說明深證指數(shù)的變化受到了上證指數(shù)變化的影響。Granger因果檢驗結(jié)果表明，上證指數(shù)在中國股市中具有一定的主導(dǎo)性，而且上證和深證市場之間具有一定的相關(guān)性。

相關(guān)系數(shù)是描述變量之間相關(guān)性的重要度量工具。常見的線性相關(guān)系數(shù)在應(yīng)用中具有很大的局限性，尤其是對于具有厚尾分布特征的變量之間的相關(guān)性問題。而大量研究表明，金融市場中很多問題恰恰具有非正態(tài)、厚尾等特性，因此，尾部相關(guān)系數(shù)的研究就顯得尤為重要。文中利用Copula函數(shù)研究了不同時期內(nèi)上證與深證指數(shù)之間的尾部相關(guān)性，通過擇優(yōu)準(zhǔn)則選取Archimedean Copula函數(shù)族中具有尾部相關(guān)特性的Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)擬合不同時期樣本數(shù)據(jù)，結(jié)果表明滬深兩市在上漲期和下跌期具有較強(qiáng)的尾部相關(guān)性，且股市下跌時的聯(lián)動趨勢較上漲時的聯(lián)動趨勢更加明顯。這說明滬深兩市的相關(guān)性呈非對稱性，其相關(guān)性在熊市期間強(qiáng)于牛市期間。

主要參考文獻(xiàn)

[1]余平，鐘波.基于Copula函數(shù)的滬深股市相關(guān)性研究[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報，2007（9）：28-32.

[2]韋艷華，張世英.Copula理論及其在金融分析上的應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[4]李柏年，吳禮斌，等.MATLAB數(shù)據(jù)分析方法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.