微元法求旋轉體體積課堂設計

樊娟華

【摘要】教師的課堂設計直接關系到學生對知識的理解和接受.如何生動有趣有效地設計課堂教學是評價教師教學成敗的直接手段.微元法是根據定積分的定義抽象出來的將實際問題轉化成定積分的一種簡單有效的方法，也是利用微積分處理實際問題的難點.如何使復雜的積分問題變得容易理解，本文將給出微元法求旋轉體體積的教學設計方法.

【關鍵詞】微元法;課堂設計;類比

高等數學具有“高度的抽象性、應用的廣泛性”之特點，決定了它的嚴密和復雜.提起“高等數學”四個字，馬上“枯燥”二字就會浮現在大多數學生的眼前.那么擺在我們教師面前的就是如何改變這種認識使死氣沉沉的高等數學課堂活躍起來？如何生動有趣地組織高等數學課堂教學過程？如何讓學生自主參與高等數學的課堂教學？這就是我們高職高等數學分層分類分專業教學改革設計與實施的主要內容，也是眼下迫在眉睫的問題.下面我結合類比教學法從課改的角度“提出問題——知識講解——回歸問題”，談談微元法求旋轉體體積的教學課堂設計.如果能起到拋磚引玉的作用或對同行能有一點點啟示即達到本文之目的.

第一，提出應用型問題.旋轉體是由一個封閉的平面圖形繞該平面內的一條定直線旋轉一周而生成的幾何體.玩的籃球、足球都是半圓繞直徑旋轉得來的，它們的體積就是圓的體積比較容易計算.同樣玩的橄欖球，看上去是橢球體，是橢圓繞其長軸旋轉一周得到的，可是體積是多少呢？（學生分組討論5分鐘，給出每組關于如何計算的討論結果）此時，教師要對給出的結果予以肯定和激勵.然后教師再拿出若干個紙燈籠（旋轉開是燈籠）發給每個組（依組確定個數），再給每個組3分鐘討論時間，時間到教師開始啟發引導，確定旋轉體的每個垂直于軸的切面都是圓面，把旋轉體垂直于軸切若干下就得到若干個近似于圓柱的小圓柱體，若干小圓柱的體積和正是旋轉體的體積（時間3分鐘）.

第二，教師借助多媒體播放旋轉體旋轉的動畫，以加深對旋轉體體積的理解.推出微元法計算近似小圓柱的公式，從而結合定積分思想給出旋轉體體積的表達式（時間5分鐘）.

講個例題鞏固微元法思想（時間5分鐘）.

第三，解決橢球體體積.有了紙燈籠做前奏，此時橢球體可以看作是橢圓x2142+y2102=1繞x軸旋轉一周得到的，體積微元為dV=πf(x)2dx=πy2dx=π1－x2142×102dx,

體積為V=∫14－14π1－x2142×102dx=56003π（時間10分鐘）.

第四，疑問解決.繞x軸旋轉一周的體積已經解決了，那么繞y軸旋轉一周的體積是多少呢？讓一半的同學按照繞x軸旋轉的方法計算，另一半的同學動腦想象（時間5分鐘）.結論是：計算得到橢圓x2142+y2102=1繞y軸旋轉一周的體積為V=∫10－10π1－y2102×142dy=78403π，動腦想象的部分同學說體積應是相同的.（分組討論2分鐘）下面用類比教學法解答.類比教學法把與教學內容相似或相關聯并且為學生較熟悉的事物作類比，以建立知識模型化抽象為具體，促使復雜化為簡單.類比教學法是從日常生活中尋找較為接近的模型，讓學生從簡單模型入手，從了解與知識類似的模型入手，從中探究提煉構建知識體系，激發學生學習興趣，促進學生主動思維、充分聯想，幫助學生形成概念，使之鑒別異同，準確且深刻理解該數學模型的形式，進而強化靈活應用之目的.

用一個長為4，寬為2的矩形作類比，如下：

矩形繞x軸旋轉一周的體積為Vx=π×12×4=4π，繞y軸旋轉一周的體積為Vy=π×22×2=8π（5分鐘時間）.橢圓x2a2+y2b2=1繞x軸和y軸旋轉一周后雖然他們都是橢球體，但是它們是形狀完全不相同的橢球體，它們的差V差=Vx－Vy=43πab(a－b)，可見當a=b時V差=0，即a=b時繞x軸、y軸旋轉后的體積相等都為圓的體積，當a≠b時必有V差≠0，故繞x軸、y軸旋轉后的體積不相等.橢圓x2142+y2102=1繞x軸旋轉一周后是標準的橄欖球，繞y軸旋轉一周后是壓縮加伸長了的橄欖球（形狀酷似體育競技中的鐵餅），這樣形狀改變就造成了體積的不一致，接著師生討論糾錯.（時間7分鐘）

通過實際教學的檢驗和學生課堂教學的反饋意見，類比教學法“易學、易懂、易理解、易掌握”，可以淺化知識起到引水入河架橋過江的作用.學生在較輕松理解的基礎上既能很好地接受教師傳授的知識，同時也鍛煉了他們的空間想象能力、邏輯推理能力及遷移轉換能力.通過課堂上的啟發——想象——引導——再想象——再引導——最后解決實際問題，這一步步的教學過程都離不開教學情境的精心設計和活躍的課堂氣氛中師生間的精彩互動.有了學生的積極參與和教師的諄諄引導從而為教學營造了寬松的課堂氛圍，使教師越上越有勁，學生越學越愛學.類比教學法中化抽象為具體的教學過程不但鍛煉了學生的類比思維及形象思維，而且可以激發學生的探索欲、成功欲及求知欲，更重要的是深深銘刻于學生頭腦中的數學思想、數學思維、研究方法及著眼點也會隨時隨地發揮作用，使他們受益終生.這樣的教學可以改變以解題技巧為主的傳統教學方式，打破學科式教學內容體系的束縛，使課堂更靈活.類比教學法不僅應用于求旋轉體的體積，它也可以應用于高等數學的其他講授部分.