常微分方程——一種數學建模方法

李美華

【摘要】常微分方程作為一種數學思想方法已融入到數學建模中，廣泛應用于自然科學和社會科學.常微分方程的建立主要是利用事物的已知規律，或是事物的部分與整體之間的關系，抑或是對復雜事物內在規律的近似模擬.

【關鍵詞】常微分方程；數學建模；方法

一、引 言

數學建模是把自然現象轉化為數學問題并應用數學方法求解最終對現實問題作出解釋的過程，其關鍵是如何把一個現實問題經過觀察、抽象、假設、歸納、演繹轉化為一個數學問題.導數是函數的變化率問題，由一切事物都處于絕對變化中可知導數也普遍存在，故而把導數與實際問題聯系起來建立描述研究對象變化規律的微分方程模型就是一種數學建模方法.

常微分方程建模是利用常微分方程來模擬某些自然現象隨時間推移而連續發生的變化的本質.這中間通常涉及對問題的分析假設到常微分方程模型的建立，然后求解，再回歸到實際問題，把求得的結果與實際情況對比，以修正或改善模型，使之更準確地描述實際問題，最終達到推廣應用的目的.以圖表示如下：

二、常微分方程建模方法舉例

在諸如化學、力學、物理學等自然科學中，常微分方程模型通常以事物內含的客觀規律為基礎建立，而在諸如經濟學、人口學等社會科學中則在類比假設的基礎上建立微分方程模型.下面列舉常微分方程建模中三種比較常見的方法.

1．利用事物的已知規律建立微分方程模型

在物理學、力學等領域，很多自然現象所表現出來的規律經過前人大量分析研究已為人們所掌握并應用到實際生活中，如放射性物質衰變規律、牛頓第二定律等，在建模時可直接根據事物內含規律構建微分方程.

例1 （古生物年代推斷問題）14C是一種放射性物質，12C是一種非放射性物質.活性生物體因吸納食物和空氣，補償14C衰減損失量，使得14C和12C始終保持平衡.但生物體一旦死亡，這種平衡就會失去.考古學者通常利用這種特點來推斷古生物的死亡年代.1950年巴比倫的一個洞穴里發現了一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，史書上對這一朝代未有記載.經測量其14C衰減速度為4.09個/g?min，新砍伐燒成的木炭中14C衰減速度為6.68個/g?min.已知14C半衰期為5568年，估計該王朝大約存在于多少年前（從1950年算起）？

假設：現代生物體中14C衰減速度與生物體死亡年代14C衰減速度相同

分析 放射性元素衰變規律指出：放射性元素衰變速度與其現存物質質量成正比.此比例系數設為k（通常稱為衰變常數，且k>0），14C在t時刻的質量設為x(t)，另生物體死亡時間記為t0=0，此時14C含量設為x0，則可列出相應微分方程dxdt=－kx,

x(0)=x0.

此為一階齊次線性微分方程初值問題.

解得 x(t)=x0e－kt

（1）

故t=lnx(t)x0－k

（2）

t時刻的衰變速度即是x(t)在t時刻的導數，故由（1）求導得

x′(t)=－kx0e－kt=－kx(t).

（3）

所以 x′(0)=－kx0.

（4）

（3）式與（4）式兩式相除得x(t)x0=x′(t)x′(0).

(5)

把（5）代入（2）中，則t=lnx′(t)x′(0)－k（其中可由14C半衰期為5568年，代入（1）知比例系數k=ln25568）.

所以t=ln4.096.68－ln25568≈3940.

故該王朝大約存在于3900～4000年前（從1950年算起）.

放射性元素的衰變規律及其所適用的微分方程模型在一些實際問題中都有所應用，如對Van Meegeren 偽造品的鑒定直到1967年才由Carnegie睲ellon大學的科學家們根據畫作所采用原料的放射性特點用微分方程模型計算分析得以基本解決.

動力學基本定律——牛頓第二定律在微分方程建模中也有廣泛運用，如美國原子能委員會處理放射性廢料的方法一度是裝桶后扔到水深300ft的海里，后來工程師們進行了大量破壞性試驗，利用牛頓第二定律建立二階微分方程計算發現，圓桶的極限速度和將它扔到300ft深的海里與海底的碰撞速度的近似值都超過了安全值，繼而證實了這種處理方法是不安全的.

2.利用微元分析法建立微分方程模型

微元分析法也稱為元抽象法（Method of elementary abstraction）是通過分析微元的動態過程以求得整體的運動規律的方法.通常假設物體是均勻的、連續的.這種方法在微積分學中經常碰到，取物體運動過程中微小部分即微元，通過分析其運動特點列出微分方程，實質是從部分演繹到整體的過程.比如流體混合問題、軍事宣傳心理學等研究中都有所涉及.

例2 （環境污染問題）某池塘原有清水50000噸（不含有害物質），從某一時刻開始，含有有害物質5%的污水流入該池塘，流入的速度為3噸/分，后又以2噸/分的速度流出池塘.求池塘內有害物質濃度隨時間變化的數學模型.

假設：污水流入池塘后與原有清水均勻混合，池塘本身不具備自然凈化能力.

分析 從t到t+dt（假設dt非常微小）時間段內，有害物質改變量設為dQ，則dQ=流入的污水中有害物質含量－流出池塘水中有害物質含量.由于dt微小，可以把t到t+dt時間段內池塘中有害物質濃度近似認為不變.

污水流入開始時刻記為t=0，此時池塘有害物質含量記為Q=0，設t時刻有害物質含量為Q(t).于是

dQ=5%×3dt－Q(t)50000+(3－2)t×2dt,

即dQdt=15%－2Q50000+t.

又t=0時，Q=0，

故該數學模型為dQdt+2Q50000+t=15%，

Q(0)=0.

此為一階非齊次線性微分方程初值問題.

解為：Q(t)=0.05(50000+t)－6.25×1012(50000+t)2.

所以t時刻有害物質的濃度P(t)=0.05－6.25×1012(50000+t)3.

上式即為池塘內有害物質濃度隨時間變化的數學表達式.

從上式可以看出，當t→∞時，P(t)→0.05，即若污水長時間流入池塘，則池塘內有害物質濃度將趨近于流入池塘的污水中所含有害物質的濃度，這樣對環境的負面影響會越來越大，故而一旦出現污染要及早防治，盡量減小危害.

該模型也可推廣到其他液體、氣體等流體混合模型問題，這里不再列舉.

3.利用模擬近似法建立微分方程模型

生活中的實際問題所隱含的變化規律往往并不清晰，且影響問題本身的因素是多方面的，此時就需要根據實際資料或是大量實驗數據，抽取主要因素，提出假設，找出相應規律，再建立相應的微分方程模型.這類方法在實際建模中有廣泛應用，且有很多典型模型得到了推廣，如logistic模型.

例3 （流言傳播問題）流言特別是具有消極作用的流言給人們生活帶來較大危害，故而利用數學建模知識建立流言傳播的數學模型來描述流言的傳播過程，探索制止流言蔓延的舉措顯得尤為重要.若某一小鎮有N個居民，在流言傳播之初就有x0個人聽說過.試建立已聽說流言人數隨時間變化的數學模型.

假設：（1）在流言傳播期間所考察小鎮的總人數N不變，即忽略人員的遷移與死亡等人數變化因素；

（2）該小鎮居民劃分為已聽說流言者和未聽說流言者，且t時刻已聽說流言者和未聽說流言者在總人數中所占比例分別為x(t)，1-x(t)；

（3）每個聽說過流言者單位時間內有效接觸（即與未聽過者接觸并把流言告之）的人數為k，k即為有效接觸率.

分析 依假設，每個聽過流言者單位時間內可傳播流言給k(1－x(t))個未聽過者，又因為t時刻聽過流言人數為Nx(t)，所以單位時間內共有kN(1－x(t))x(t)個未聽過流言者被告知，此即為聽過流言人數的增加率，故在t到t+Δt時間段內，有：Nx(t+Δt)－x(t)=kN(1－x(t))x(t)Δt.

又因為流言傳播開始時刻即t=0時x(0)=x0N,

利用導數定義得dxdt=kx(1－x)，

x(0)=x0N.

這實質是logistic模型當環境容納量k=1時的情形.

其解為x(t)=11+(Nx0－1)e－kt.

由上式易知當x(t)=12即t=k－1ln(Nx0－1)時，dxdt達到最大值，亦即流言傳播得最快.此外，t與k成反比，意味著聽過流言者有效接觸的人數越少，流言傳播高潮到來越晚.當t→∞時，x(t)→1，即隨著時間的無限增加，小鎮上居民都聽說了此則流言.故而在流言傳播中，t與k都是我們應該注意的因素.

在實際流言傳播過程中，比上述情況可能更復雜，如若小鎮人口流動量較大，傳播方式已不限于口耳相傳，現有更多的網絡環境下的流言傳播模型出現，但上述傳統流言傳播模型也有它簡便實用的價值.

總的來說，隨著事物本身變化的復雜性，其模型建立的前提假設也不盡相同，自然其微分方程的建立也會有所不同.如F盬盠anchester根據作戰雙方軍隊正規與否建立了三種預測戰爭結局的模型；傳染病模型也根據傳染病類型的不同劃分了SIS、SIR等種類.

三、結 語

事實上，在把自然現象抽象化為數學問題過程中，微分方程模型的建立往往是多種方法綜合應用的結果，且方程也只是在一定程度上對實際問題的一種近似反映，故而需把求得的解與實際情況相對照，不斷改進模型，盡可能地達到實際問題的精確性和數學處理的可能性之間的平衡.即便如此，常微分方程理論的出現及其數學思想的應用在實際問題的解決中發揮著重大作用，正如我國數學家秦元勛所說“常微分方程……是一個表現客觀自然規律的工具學科，又是一個數學可以為實際服務的學科”.

【參考文獻】

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