高數教學中如何培養學生的逆向思維和邏輯思維

楊年西

【摘要】高等數學中很多定理的逆命題往往是不成立的,但從數理邏輯理論分析，命題的逆否命題肯定是正確的，高數教學中教師通過對逆命題和逆否命題的討論和講解，不但能使同學能夠對高等數學知識的掌握地更加牢固，而且更好地培養學生的逆向思維和邏輯思維.

【關鍵詞】逆向思維；逆命題；逆否命題；邏輯思維

一、緒 論

我們知道，在數理邏輯中，原命題“若p，則q”，那么逆否命題“若 q，則 p”，逆命題“若q，則p”，但很多同學不完全很清楚，什么情況下命題為真命題，什么情況下為假命題，因為真命題有多種形式，給同學理解命題帶來一定難度.在數理邏輯上命題為真有三種形式[參考文獻1]：①若p為真，則q為真；②若p為假，則q為真；③若p為假，則q為假.命題為假只有一種形式：若p為真，則q為假.因為| -(p→q)( q→ p)，所以原命題和逆否命題是等價的，因為| -(q→p)( p→ q)，所以逆命題和否命題是等價的.從邏輯理論分析，需要證明一個定理為真，我們只要證明定理的逆否命題為真就行了.

思維又可分為順向思維與逆向思維，如果把從A到B的思考問題的過程稱為順向思維，那么由B到A的反向思考問題的過程就是逆向思維[2].在高等數學教學過程中，講解定理，要使同學更好地掌握定理，經常要分析定理逆命題和否命題是否成立，命題條件是否是充分必要條件.而大部分定理逆命題和否命題是不成立的.而又容易引起學生混淆，在高數中通過實例講解來培養學生的逆向思維和邏輯思維.

二、高數中如何理解和應用一些定理的逆否命題

在數理邏輯上，命題和逆否命題是等價的，定理的逆否命題肯定是正確的，所以我們可以把定理的逆否命題不需證明，直接運用.例1：如果數列xn收斂，那么數列xn一定有界[3]；那么它的逆否命題：如果數列xn無界，那么數列xn一定發散.例2：如果函數y=f(x)在點x0處可導，則函數在該點必連續；那么它的逆否命題：函數y=f(x)在點x0處不連續，那么：函數在該點必不可導.通過兩個實例，知道定理的逆否命題可以直接應用.

我們教學中要注重教導學生學會用逆否理論來證明一些命題，例3: 設級數∑∞n=1xn收斂，則必有limn→∞xn=0，它的逆否定理，若limn→∞xn≠0，則級數∑∞n=1xn發散；如證明級數∑∞n=1sinn發散，利用逆否定理證明它，因為 limn→∞sinn≠0，所以級數∑∞n=1sinn發散.在高數教學中，教導學生一些原定理和它的逆否定理是等價的，可以直接利用，借以培養和發展學生的靈活思維能力.

但有時候發現一些正確的命題，似乎逆否命題不正確.參考文獻[4]所討論問題:例4：若k<0，則方程x2+(2k+1)x+k=0必有兩相異實根.但它的逆否命題：若方程x2+(2k+1)x+k=0沒有兩個相異實根,則k≥0.我們知道如果方程x2+(2k+1)x+k=0沒有兩相異實根，則Δ<0，由計算得Δ=4k2>0與要求Δ<0是否矛盾?因為方程x2+(2k+1)x+k=0沒有兩個相異實根條件是假的，所以結論Δ<0也是假的，根據“若假p，則假q ”是真命題.高數教學中，讓學生掌握一些數理邏輯知識是必需的，充分的運用邏輯思維和方式來分析數學命題，才能更好地學習數學.

三、高數教學過程中如何理解和分析定理的逆命題和否命題

數學定理有可逆和不可逆的，教材中有的給出了逆定理，但有許多定理未討論它的可逆性.經常提醒學生不要隨意用定理的逆命題,我們都知道,高等數學中要證明一個命題是正確的,需要非常嚴密的論證過程,而要說明一個命題是錯誤的,只需舉出一個推翻結論的例子即可,高等數學中很多定理的逆命題往往是不成立的，在關于定理的教學中，講了定理后，常常要讓學生思考逆命題是否成立.例5：如果數列xn收斂，那么數列xn一定有界；它的逆命題：如果數列xn有界，那么數列xn一定收斂，如xn=sinn有界，但xn發散，所以逆命題是不正確的.例6：可導函數f(x) 的極值點必定是它的駐點，但反過來，函數的駐點卻不一定是極值點.在教學中，要教導學生反向思考，引導學生深入分析命題，不正確的逆命題，找出反例.充分地挖掘學生的思維潛力，促進學生思維能力的全面發展，達到提高學生數學能力和水平的目的.逆命題和命題的條件之間的關系，如果定理的逆定理成立，那么定理的條件是充分而必要.例如函數f(x)在x0處的極限存在，那么f(x)在x0處的左極限和右極限存在且相等；它的逆命題：f(x)在x0處的左極限和右極限存在且相等，那么函數f(x)在x0處的極限存在的，這個逆命題是正確的.如果定理的條件是充分而非必要時，這個定理的逆命題就不成立，如果定理的條件是充分而必要時，這個定理的逆命題是正確. 逆命題和否命題之間互為等價命題，在思考數學問題時，研究逆命題適當地注意從問題的反向或否定方面進行數學逆向思維，把握數學知識的內在聯系，從而對數學知識和技能的掌握產生一個質的飛躍，數學中嚴謹的推理和一絲不茍的計算，使得每一個數學結論不可動搖. 四、結論與建議 一般情況下，在思考數學問題時，人們把習慣思維的方向叫作順向思維，而與它相反的方向探索稱為逆向思維，如果課本上的定理沒有指出條件是充要的，一般說它的逆命題是不正確的，我們在教學中引導學生沖破僵硬的單向推理模式，適當地注意從問題的反向或否定方面進行數學逆向思維，如對高等數學中的定理的逆命題的思考，和采用證明逆否命題方式來證明定理，這樣學生會更好地學習高等數學，也能夠更好地培養他們的逆向思維和邏輯思維. 【參考文獻】 [1]石純一．數理邏輯和集合論[M]．北京：清華大學出版社，2002. [2]胡佑增．在高數教學中培養學生的逆向思維能力[J]．交通高教研，1995(2）：21～22. [3]同濟大學數學系．高等數學(第三版)[M]．北京:高等教育出版社，2006. [4]金瑩．逆否命題與原命題真假相同嗎? [J]． 數學通訊，2007(7)：23～23.